2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练 基础题
一、选择题
1．（2023·虹口模拟）如图，在中，，那么的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由勾股定理求出AB的乘，根据即可求解.
2．如图，已知⊙O的圆心在原点，半径OA=1，设∠AOP=a（a<90°），其始边OA与x轴重合，终边与⊙О相交于点P，设点P的坐标为（x，y），⊙O的切线AT交OP于点T，且AT=m，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．与成反比例
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：A、sina=，则 ，A正确；
B、cosa=，则 ，B正确；
C、tana=，则 ，C正确；
D、tana==m，则y=mx，y与x成正比例，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据锐角三角函数的定义列出代数式，一 一判断即可.
3．（2021九上·肇源期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则tanA的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=15，
∴tanA= .
故答案为：D.
【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=15，计算求解即可。
4．（2023九上·瑶海月考）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】A：正确，不符合题意；
B：正确，不符合题意；
C：，故不正确，符合题意；
D：正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中，利用三角函数的定义进行逐一判断即可求解.
5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选A．
【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关
6．（2024九上·房山期末）如图，建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9m，在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角为30°，旗杆底部B的俯角为45°，则旗杆AB的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
CE⊥AB，CE=BD=9
在Rt△AEC中
在Rt△BCE中，∠BCE=45°
∴
∴
故答案为：D
【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
7．（2021九上·开福期末）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为（ ）
A． B．asin26.5° C．acos26.5° D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为： ，
故答案为：A.
【分析】由锐角三角函数tan∠ABC=可求解.
8．（2023九上·蒙城月考）在中，，下列三角函数正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
∴，，，，
故答案为：C
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而运用锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
二、填空题
9．计算： .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ==.
故答案为：.
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可.
10．（2023九上·长春月考）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cosA=
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，选取Rt ΔACD，AD=4，CD=3，则AC=5，
。
故答案为：.
【分析】选取Rt ΔACD，用勾股定理计算AC的长，再根据余弦值等于∠A的邻边与斜边的比值求解。
11．如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形.把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底面为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为 cm .
【答案】144
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AO，作QM⊥OP于M，如下图：
∵，为等边三角形，
∴
∴
在中，
∴
∵
∴
∴无盖柱形盒子的体积为：
故答案为：144.
【分析】连接AO，作QM⊥OP于M，根据等边三角形的性质得到再在中，利用三角函数求出OD的长度，然后在中，再利用三角函数求出QM的长，进而根据柱形几何体的体积计算方法计算即可.
12．（2024九上·昌平期末）小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是 cm．
【答案】
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；邻补角
【解析】【解答】解：设圆形零件的圆心为O，连接OA，OB
∵圆O与直尺，三角板均相切，切点分别是B和C
∴OB⊥AB，OA平分∠BAC
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：
【分析】根据切线性质可得OB⊥AB，OA平分∠BAC，则，再根据邻补角性质可得，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
13．如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB'C'，连结B'C并延长交AB于点D，当B'D⊥AB时，的长是 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB'C'，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴的长是：
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的性质得到：然后根据旋转的性质结合三角函数即可求出∠DAB'的度数，进而得到∠BAC的度数，即可求出AB的长度，最后根据弧长计算公式计算即可.
三、解答题
14．（2024九上·房山期末）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，垂足为点E.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴.∴.
∵，∴.∴.
（2）解：在中，，设，，
则.
∵，
∴.
∵四边形是矩形，
∴.
在中，，.
∴.∴.
∴.∴.∴.
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，进行角之间的转换即可求出答案；
（2）在中，设，，再根据锐角三角形函数的定义可求出DC=5x，再根据矩形的性质结合锐角三角函数定义即可求出答案.
15．（2024九上·房山期末）如图，AB是的直径，AC，BC是弦，点D在AB的延长线上，且，的切线AE与DC的延长线交于点E.
（1）求证：CD是的切线；
（2）若的半径为2，，求AE的长.
【答案】（1）证明：连接.
∵，∴.
又∵，∴.
∵是的直径，
∴.∴.
又∵是半径，经过的半径外端.
∴是的切线.
（2）解：在△中，
∵，，，
∴.∴.
∵是的切线，切点为，
∴.
在中，
∵，，，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，则，再根据圆直径所对的圆心角为直角可得，再根据切线的判定定理即可求出答案；
（2）根据含30°角的直角三角形可得，则，再根据切线性质可得，则在中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
四、综合题
16．（2023九上·江北期末）如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，连接，点D为的中点，过D作，交的延长线于点E.
（1）求证：是半圆O的切线.
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：如图，连接交于点F.
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是半圆O的切线.
（2）解：∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD交AC于点F，根据中点的概念以及弧、圆心角的关系可得∠AOD=∠COD，结合等腰三角形的性质可得OD⊥AC，则OD⊥DE，据此证明；
（2）根据已知条件可得OE=5，OD=OC=3，利用勾股定理可得DE，根据平行线的性质可得∠FCO=∠E，结合三角函数的概念可得FC，据此求解.
17．（2023·碧江模拟）如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值．
【答案】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又，
，
即，
，
又为半径，
直线是的切线；
（2）解：，，
∽，
，
设半径，
，
，，
在中，
，
在中，
，
；
（3）解：在的条件下，，
，
，
在中，
，，
解得，，
平分，
，
又，
∽，
，
．
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接，证明得出，即可得证；
（2）设半径证明∽， 勾股定理求AB，进而根据正切的定义，即可求解；
（3）由（2）的结论，可得，证明△CAP∽△EAD，根据相似三角形的性质即可求解．
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练 基础题
一、选择题
1．（2023·虹口模拟）如图，在中，，那么的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．如图，已知⊙O的圆心在原点，半径OA=1，设∠AOP=a（a<90°），其始边OA与x轴重合，终边与⊙О相交于点P，设点P的坐标为（x，y），⊙O的切线AT交OP于点T，且AT=m，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．与成反比例
3．（2021九上·肇源期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则tanA的值为( )
A． B． C． D．
4．（2023九上·瑶海月考）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
6．（2024九上·房山期末）如图，建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9m，在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角为30°，旗杆底部B的俯角为45°，则旗杆AB的高度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·开福期末）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为（ ）
A． B．asin26.5° C．acos26.5° D．
8．（2023九上·蒙城月考）在中，，下列三角函数正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．计算： .
10．（2023九上·长春月考）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cosA=
11．如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形.把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底面为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为 cm .
12．（2024九上·昌平期末）小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是 cm．
13．如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB'C'，连结B'C并延长交AB于点D，当B'D⊥AB时，的长是 .
三、解答题
14．（2024九上·房山期末）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，垂足为点E.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
15．（2024九上·房山期末）如图，AB是的直径，AC，BC是弦，点D在AB的延长线上，且，的切线AE与DC的延长线交于点E.
（1）求证：CD是的切线；
（2）若的半径为2，，求AE的长.
四、综合题
16．（2023九上·江北期末）如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，连接，点D为的中点，过D作，交的延长线于点E.
（1）求证：是半圆O的切线.
（2）若，，求的长.
17．（2023·碧江模拟）如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由勾股定理求出AB的乘，根据即可求解.
2．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：A、sina=，则 ，A正确；
B、cosa=，则 ，B正确；
C、tana=，则 ，C正确；
D、tana==m，则y=mx，y与x成正比例，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据锐角三角函数的定义列出代数式，一 一判断即可.
3．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=15，
∴tanA= .
故答案为：D.
【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=15，计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】A：正确，不符合题意；
B：正确，不符合题意；
C：，故不正确，符合题意；
D：正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中，利用三角函数的定义进行逐一判断即可求解.
5．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选A．
【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关
6．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
CE⊥AB，CE=BD=9
在Rt△AEC中
在Rt△BCE中，∠BCE=45°
∴
∴
故答案为：D
【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为： ，
故答案为：A.
【分析】由锐角三角函数tan∠ABC=可求解.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
∴，，，，
故答案为：C
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而运用锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
9．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ==.
故答案为：.
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可.
10．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，选取Rt ΔACD，AD=4，CD=3，则AC=5，
。
故答案为：.
【分析】选取Rt ΔACD，用勾股定理计算AC的长，再根据余弦值等于∠A的邻边与斜边的比值求解。
11．【答案】144
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AO，作QM⊥OP于M，如下图：
∵，为等边三角形，
∴
∴
在中，
∴
∵
∴
∴无盖柱形盒子的体积为：
故答案为：144.
【分析】连接AO，作QM⊥OP于M，根据等边三角形的性质得到再在中，利用三角函数求出OD的长度，然后在中，再利用三角函数求出QM的长，进而根据柱形几何体的体积计算方法计算即可.
12．【答案】
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；邻补角
【解析】【解答】解：设圆形零件的圆心为O，连接OA，OB
∵圆O与直尺，三角板均相切，切点分别是B和C
∴OB⊥AB，OA平分∠BAC
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：
【分析】根据切线性质可得OB⊥AB，OA平分∠BAC，则，再根据邻补角性质可得，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB'C'，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴的长是：
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的性质得到：然后根据旋转的性质结合三角函数即可求出∠DAB'的度数，进而得到∠BAC的度数，即可求出AB的长度，最后根据弧长计算公式计算即可.
14．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴.∴.
∵，∴.∴.
（2）解：在中，，设，，
则.
∵，
∴.
∵四边形是矩形，
∴.
在中，，.
∴.∴.
∴.∴.∴.
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，进行角之间的转换即可求出答案；
（2）在中，设，，再根据锐角三角形函数的定义可求出DC=5x，再根据矩形的性质结合锐角三角函数定义即可求出答案.
15．【答案】（1）证明：连接.
∵，∴.
又∵，∴.
∵是的直径，
∴.∴.
又∵是半径，经过的半径外端.
∴是的切线.
（2）解：在△中，
∵，，，
∴.∴.
∵是的切线，切点为，
∴.
在中，
∵，，，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，则，再根据圆直径所对的圆心角为直角可得，再根据切线的判定定理即可求出答案；
（2）根据含30°角的直角三角形可得，则，再根据切线性质可得，则在中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
16．【答案】（1）证明：如图，连接交于点F.
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是半圆O的切线.
（2）解：∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD交AC于点F，根据中点的概念以及弧、圆心角的关系可得∠AOD=∠COD，结合等腰三角形的性质可得OD⊥AC，则OD⊥DE，据此证明；
（2）根据已知条件可得OE=5，OD=OC=3，利用勾股定理可得DE，根据平行线的性质可得∠FCO=∠E，结合三角函数的概念可得FC，据此求解.
17．【答案】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又，
，
即，
，
又为半径，
直线是的切线；
（2）解：，，
∽，
，
设半径，
，
，，
在中，
，
在中，
，
；
（3）解：在的条件下，，
，
，
在中，
，，
解得，，
平分，
，
又，
∽，
，
．
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接，证明得出，即可得证；
（2）设半径证明∽， 勾股定理求AB，进而根据正切的定义，即可求解；
（3）由（2）的结论，可得，证明△CAP∽△EAD，根据相似三角形的性质即可求解．
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