2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练 提升题
一、选择题
1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·成都期中）已知α为锐角，且，则α等于（ ）
A．70° B．60° C．40° D．30°
3．（2024九上·衡阳期末）等腰三角形的底边长为，周长为，则底角的正切值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．（2023九上·蒙城月考）如图，在，，延长到点，使，连接，若，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2023九上·蒙城月考）如图，的顶点是正方形方格的格点，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
6．（2022·福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
7．（2023九上·东阿月考）在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·杭州）如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）。
A．c=bsinB B．b=csinB C．a=btanB D．b=ctanB
二、填空题
9．（2024九上·房山期末）在中，，，，则的面积为 .
10．（2024九上·汝城期末）在中，若，满足，则 ．
11．（2023九上·闵行期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，连接DB，那么∠的值是 ．
12．（2023九上·上海市期中）如图，在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正弦值 ．
13．（2023九上·青岛月考）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形，过点作的延长线的垂线，垂足为点．连接，交的延长线于点．下列说法：①；②若，，则；③；④；⑤若，，则的面积为，正确的有 ．(填序号)
三、解答题
14．（2024九上·房山期末）如图，在中，，，.求的值.
15．（2024九上·昌平期末）如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点B在双曲线上，且满足，连接．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若，求的值．
四、综合题
16．（2023·娄底模拟） 如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）延长和交于点，若，求的值；
（3）在的条件下，求的值．
17．（2022九上·青秀月考）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：cosB==.
故答案为：A.
【分析】根据余弦公式为邻边比斜边，代入即可.
2．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】
故答案为：A.
【分析】利用特殊角的三角函数值得到解之即可求解.
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，作于点D，
在中，，cm，周长为36cm，
∴（cm），
∵，
∴cm.
由勾股定理得：cm，
∴底角的正切值：．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义求解。正切=对边除以邻边．
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作，交于E，如图所示：
∴，
∵，
∴中，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】过点B作，交于E，先根据锐角三角函数的定义即可得到，进而得到，再根据相似三角形的判定与性质即可得到，从而结合题意即可求解。
5．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接，则，如图所示：
由题意得，
，，
．
故答案为：B
【分析】连接，则，由题意得，进而运用锐角三角函数的定义即可求解。
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴，
∵BC＝44cm，
∴cm.
∵△ABC，AB＝AC，，
∴.
∵AD为BC边上的高，，
∴在中，
，
∵，cm，
∴cm.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得DC=BC=22cm，∠ACB=∠ABC=27°，然后根据三角函数的概念就可求出AD.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
则
故答案为；C
【分析】根据绝对值的非负性及平方数的非负性可得，再根据三角形内角性质了求出A，B的值，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°
∵sinB= ，tanB=
∵b=csinB，b=atanB
故答案为：B
【分析】利用锐角三角函数的定义，分别对各选项进行计算，可得结果。
9．【答案】或
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得：
过点C作AB边的垂线，垂足为M
在Rt△AMC中
∴
∴
当点B在点M左侧时
∴
∴
当点B在点M右侧时
∴
故答案为： 或
【分析】根据题意画出图形，过点C作AB边的垂线，垂足为M，在在Rt△AMC中，根据锐角三角函数可得，再根据勾股定理求出AM长，BM长，再根据三角形面积公式即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=105°，
故答案为：105°
【分析】根据非负性和特殊角的三角函数值即可得到∠A=30°，∠B=45°，进而运用三角形内角和定理即可求解。
11．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设，则，
垂直平分，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质求解。设，由线段垂直平分线的性质推出，由勾股定理得到，求出，因此，根据即可求出．
12．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过点P作PA⊥x轴于点A，如图，
点，
OA=5，PA=12，
与轴正半轴的夹角的正弦值为：
【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，根据 点， 求出OP的值，再根据三角函数的定义即可求解.
13．【答案】①②③④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）；四边形的综合
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
又，
，
又，
为的中位线，
，：：，
；故③④正确；
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，故⑤错误，
故答案为：①②③④．
【分析】根据“”证明，由锐角三角函数求出，进一步求的长，再证明为的中位线，得出，：：，可求；求出的面积，利用，可求的面积，综合判定即可．
14．【答案】解：在中，，，，
由勾股定理得：.
∴.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据勾股定理可求出AC长，再在中，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案.
15．【答案】（1）解：∵点在双曲线上，
∴，
∴．
（2）解：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，如图所示：
则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵A的坐标为，
∴，．
∵中，，
∴，
∴，．
∴B的坐标为，
∴将代入得．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入双曲线解析式即可求出答案.
（2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，则，进行角之间的转换可得，则，再根据相似三角形相似比性质可得，，中，再根据锐角三角函数定义即可求出B的坐标为，将代入得，即可求出答案.
16．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
设，则，
，
，
，
；
（3）解：由知：，，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
．
【知识点】切线的判定；圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OC，先求出，再结合OC是的半径，即可得到CD是的切线；
（2）设，则，求出，再结合，可得；
（3）先求出，，利用勾股定理求出EC的长，再证出∽，可得.
17．【答案】（1）解：将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴于点，如图：
设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
当，是对角线，则，的中点重合，
，
解得与重合，舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（5，0）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，设△BMN面积为S，根据题意得ON=t，BM=t，由点B的坐标可得BN=5-t，令二次函数解析式中的x=0，求出y的值，可得点C的坐标，进而得到∠OBC=45°，然后根据三角函数的概念可得ME，再根据三角形的面积公式表示出S，利用二次函数的性质进行解答；
（3）存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设Q（m，-m+5），P（n，-n2+4n+5），然后分①PQ、AC为对角线，②QA、PC为对角线，③QC、PA为对角线，结合中点坐标公式可得m的值，进而可得点Q的坐标.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练 提升题
一、选择题
1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：cosB==.
故答案为：A.
【分析】根据余弦公式为邻边比斜边，代入即可.
2．（2023九上·成都期中）已知α为锐角，且，则α等于（ ）
A．70° B．60° C．40° D．30°
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】
故答案为：A.
【分析】利用特殊角的三角函数值得到解之即可求解.
3．（2024九上·衡阳期末）等腰三角形的底边长为，周长为，则底角的正切值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，作于点D，
在中，，cm，周长为36cm，
∴（cm），
∵，
∴cm.
由勾股定理得：cm，
∴底角的正切值：．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义求解。正切=对边除以邻边．
4．（2023九上·蒙城月考）如图，在，，延长到点，使，连接，若，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作，交于E，如图所示：
∴，
∵，
∴中，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】过点B作，交于E，先根据锐角三角函数的定义即可得到，进而得到，再根据相似三角形的判定与性质即可得到，从而结合题意即可求解。
5．（2023九上·蒙城月考）如图，的顶点是正方形方格的格点，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接，则，如图所示：
由题意得，
，，
．
故答案为：B
【分析】连接，则，由题意得，进而运用锐角三角函数的定义即可求解。
6．（2022·福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴，
∵BC＝44cm，
∴cm.
∵△ABC，AB＝AC，，
∴.
∵AD为BC边上的高，，
∴在中，
，
∵，cm，
∴cm.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得DC=BC=22cm，∠ACB=∠ABC=27°，然后根据三角函数的概念就可求出AD.
7．（2023九上·东阿月考）在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
则
故答案为；C
【分析】根据绝对值的非负性及平方数的非负性可得，再根据三角形内角性质了求出A，B的值，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
8．（2020·杭州）如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）。
A．c=bsinB B．b=csinB C．a=btanB D．b=ctanB
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°
∵sinB= ，tanB=
∵b=csinB，b=atanB
故答案为：B
【分析】利用锐角三角函数的定义，分别对各选项进行计算，可得结果。
二、填空题
9．（2024九上·房山期末）在中，，，，则的面积为 .
【答案】或
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得：
过点C作AB边的垂线，垂足为M
在Rt△AMC中
∴
∴
当点B在点M左侧时
∴
∴
当点B在点M右侧时
∴
故答案为： 或
【分析】根据题意画出图形，过点C作AB边的垂线，垂足为M，在在Rt△AMC中，根据锐角三角函数可得，再根据勾股定理求出AM长，BM长，再根据三角形面积公式即可求出答案.
10．（2024九上·汝城期末）在中，若，满足，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=105°，
故答案为：105°
【分析】根据非负性和特殊角的三角函数值即可得到∠A=30°，∠B=45°，进而运用三角形内角和定理即可求解。
11．（2023九上·闵行期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，连接DB，那么∠的值是 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设，则，
垂直平分，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质求解。设，由线段垂直平分线的性质推出，由勾股定理得到，求出，因此，根据即可求出．
12．（2023九上·上海市期中）如图，在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正弦值 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过点P作PA⊥x轴于点A，如图，
点，
OA=5，PA=12，
与轴正半轴的夹角的正弦值为：
【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，根据 点， 求出OP的值，再根据三角函数的定义即可求解.
13．（2023九上·青岛月考）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形，过点作的延长线的垂线，垂足为点．连接，交的延长线于点．下列说法：①；②若，，则；③；④；⑤若，，则的面积为，正确的有 ．(填序号)
【答案】①②③④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）；四边形的综合
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
又，
，
又，
为的中位线，
，：：，
；故③④正确；
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，故⑤错误，
故答案为：①②③④．
【分析】根据“”证明，由锐角三角函数求出，进一步求的长，再证明为的中位线，得出，：：，可求；求出的面积，利用，可求的面积，综合判定即可．
三、解答题
14．（2024九上·房山期末）如图，在中，，，.求的值.
【答案】解：在中，，，，
由勾股定理得：.
∴.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据勾股定理可求出AC长，再在中，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案.
15．（2024九上·昌平期末）如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点B在双曲线上，且满足，连接．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：∵点在双曲线上，
∴，
∴．
（2）解：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，如图所示：
则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵A的坐标为，
∴，．
∵中，，
∴，
∴，．
∴B的坐标为，
∴将代入得．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入双曲线解析式即可求出答案.
（2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，则，进行角之间的转换可得，则，再根据相似三角形相似比性质可得，，中，再根据锐角三角函数定义即可求出B的坐标为，将代入得，即可求出答案.
四、综合题
16．（2023·娄底模拟） 如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）延长和交于点，若，求的值；
（3）在的条件下，求的值．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
设，则，
，
，
，
；
（3）解：由知：，，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
．
【知识点】切线的判定；圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OC，先求出，再结合OC是的半径，即可得到CD是的切线；
（2）设，则，求出，再结合，可得；
（3）先求出，，利用勾股定理求出EC的长，再证出∽，可得.
17．（2022九上·青秀月考）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴于点，如图：
设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
当，是对角线，则，的中点重合，
，
解得与重合，舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（5，0）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，设△BMN面积为S，根据题意得ON=t，BM=t，由点B的坐标可得BN=5-t，令二次函数解析式中的x=0，求出y的值，可得点C的坐标，进而得到∠OBC=45°，然后根据三角函数的概念可得ME，再根据三角形的面积公式表示出S，利用二次函数的性质进行解答；
（3）存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设Q（m，-m+5），P（n，-n2+4n+5），然后分①PQ、AC为对角线，②QA、PC为对角线，③QC、PA为对角线，结合中点坐标公式可得m的值，进而可得点Q的坐标.
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