2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练 培优题
一、选择题
1．（2023九上·南皮期中）已知在中，，，，则等于（ ）
A．6 B．16 C．12 D．4
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
如图所示：
∵，，
∴
故答案为：B
【分析】结合题意根据锐角三角函数的定义即可求解。
2．在锐角中，=0，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴tanC，sinB，
∴∠C＝60°，∠B＝45°，
∴∠A＝75°．
故答案为：D．
【分析】先利用偶次方和绝对值的非负性，求出tanC，sinB，然后结合特殊角的三角函数值得出∠C＝60°，∠B＝45°，进而得出答案．
3．（2024九上·昌平期末）如图，在等腰中，于点，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵于点
∴
∴
∵AB=BC
∴
在Rt△DBBC中
∴
故答案为：D
【分析】根据锐角三角函数的定义可得，再根据勾股定理可得，，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
4．（2023九上·长安期中）正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，连接，
∵，，则，是等腰直角三角形，
∴
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，根据勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形， ，即可求解．
5．（2023九上·盘州期中）如图，在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】
故选：D
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半定理，推算出斜边AB的长，再根据余弦函数的定义计算余弦值即可。
6．（2020九上·天长期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴AB=2CD=2×5=10，
∴Rt△ABC中，由勾股定理，
BC= ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD，求出AB，再利用勾股定理求出BC，最后利用正切的定义求解即可。
7．（2022九下·长沙开学考）如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB.正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴△AMN∽△CBN，
∴，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝
AD＝
BC，
∴，
∴CN＝2AN，故①正确；
如图，过D作DH//BM交AC于G，
∵DH//BM，BM⊥AC，
∴DH⊥AC，
∵DH//BM，AD//BC，
∴四边形BMDH是平行四边形，
∴BH＝MD＝
AD＝
BC，
∴BH＝CH，
∵∠BNC＝90°，
∴NH＝HC，
∵DH⊥AC，
∴DH是NC的垂直平分线，
∴DN＝CD，故②正确；
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，
∴∠BAC＝∠AMB，
∵∠BAM＝∠ABC，
∴△ABM∽△BCA，
∴，
∴AB2＝
BC2，
∴AB＝
BC，
∵tan∠DAC＝tan∠ACB＝
，
∴tan∠DAC＝
，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴△AMN∽△CAB，故④正确；
故答案为：C.
【分析】由平行线可证△AMN∽△CBN，结合M是AD边的中点，可得
=
，可得CN=2AN据此判断①正确；如图，过D作DH//BM交AC于G，可证四边形BMDH是平行四边形，可得BH＝MD＝
AD＝
BC，即得BH＝CH，可求出DH是NC的垂直平分线，可得DN＝CD，故②正确；证明△ABM∽△BCA，可得
，据此可求出AB＝
BC，从而求出tan∠DAC＝tan∠ACB＝
=
，据此判断③错误；由矩形的性质可得∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，可证△AMN∽△CAB，据此判断④正确.
8．（2024九上·合肥期中）如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或 B．2或 C．或 D．或3
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得分两种情况：
①如图1，，延长交于，过点作，交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，，
，即，
设，，
，
由平移得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
②如图2，，延长交于，则，
，
由平移得：，
同理设，，则，
，
，，
，
，
，
，即，
，
；
综上，的值是或．
故答案为：A
【分析】根据题意分类讨论：①，延长交于，过点作，交的延长线于，进而根据矩形的性质得到，，再运用锐角三角函数的定义即可设，，进而根据平移的性质得到，再结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解；②，延长交于，则，根据平移的性质得到，同理设，，则，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解。
二、填空题
9．（2023·内江）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a-6=0，c-10=0，b-8=0，
∴a=6，c=10，b=8，
∴，
∴∠C=90°，
∴，
故答案为：
【分析】先根据题意进行转化即可得到，再根据非负性即可得到a、c和b的值，进而根据勾股定理的逆定理即可得到∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可求解。
10．（2023九上·安庆月考）如图，在中，，是的中点，，交于，若，则 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
∵是的中点，，
∴AE=BE，
∵，
∴可设AE=BE=5k，CE=3k，
由勾股定理可得BC=4k，
∴AC=AE+CE=8k，
∴tanA=.
故答案为：.
【分析】连接BE，由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，由题意可设AE=BE=5k，CE=3k，
由勾股定理可得BC=4k，利用tanA=即可求解.
11．（2023九上·莱芜期中）已知抛物线与直线只有一个交点，则锐角 度．
【答案】60
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求特殊角的三角函数值；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，3x2+1=4sina·x，
3x2+1-4sina·x=0，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴△=16sin2a-4×3×1=0，解得sina=，a=60°；
故答案为：60.
【分析】根据一元二次方程根的判别式以及锐角三角函数的定义求出a即可。
12．（2023九上·松江期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，若，，则的正切值为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：
DE是线段AB的垂直平分线，
设CD=x，则BD=CD=10-x，
在Rt中，根据勾股定理得：，
16+.
x=，
在Rt中，tan
故答案为：
【分析】先根据垂直平分线的性质得到BD=AD，再设CD=x，在Rt中根据勾股定理求出x，再根据正切定义求值.
13．（2023九上·石家庄期中）如图，已知点坐标为，为轴正半轴上一动点，则度数为 ，在点运动的过程中的最小值为 ．
【答案】30°；
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图所示， 点坐标为
故第一空填：30°
过点A作AC x轴，并延长到D点，使AC=DC，过D作DEOA于E，交x轴于F
由作图知，点D是A关于x轴的对称点
又在直角三角形AED中
当点B与F重合时，
故填：
【分析】根据点坐标和正切函数的意义，计算出正切函数值是个特殊角的函数值，这个特殊角是30°；根据轴对称求最短距离即将军饮马模型，作辅助线；有30°角和OB，很容易将二者联系起来思考，将AB和OB转化到一条直线上来，且垂线段最短可知DE即为所求，再根据三角形函数计算求得最小值。
三、解答题
14．（2024九上·昌平期末）如图，是的直径，点在上，点为的中点，过点作的切线，交延长线于点，连接交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）作射线交的延长线于点F，若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接OC
∵AB为直径，C为上一点，
∴，∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DP是的切线，D为切点，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：如图补全图形，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵矩形DECP对边平行，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角为直角可得，由点D为的中点，可得，则，再根据切线性质，矩形判定定理即可求出答案；
（2）在中，根据锐角三角函数定义可得，，则，在中，再根据勾股定理可得OE=3，，根据直线平行性质即可求出答案.
15．在中，是钝角，交BC的延长线于点D，E，分别为AC，AB的中点，.连结DF，EF，设DF与EC交于点.
（1）求证：.
（2）若时，求AC的长.
【答案】（1）证明：∵ E，F分别为AC，AB的中点，
∴ BC=2FE，FE∥BD，
∵ ∠FCE=∠CED，
∴ CF∥DE，
∴ 四边形CDEF为平行四边形，
∴ OD=OF；
（2）解：∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
∵ 点F为AB的中点，
∴ AB=2DF=4OF=10，
∵ tanB=，
∴ 设AD=4x，则BD=3x，
∴ AB=5x=10，
∴ AD=8，BD=6，
∵ BC=2FE，FE=CD，
∴ 3CD=BD，即CD=2，
∵ AD=8，∠ADC=90°，
∴ AC=.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据对边分别平行的四边形为四边形CDEF为平行四边形，即可求得OD=OF，
（2）根据直角三角形的斜边上的中线定理可得AB=2DF，再根据锐角三角函数求得AD、BD，再根据三角形的中位线得BC=2FE，根据平行四边形的性质得FE=CD，再根据勾股定理即可求得AC的长.
四、综合题
16．（2023九下·松原月考）如图，在中，，，.点D和点E分别为AC和BC的中点，连接DE.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作，交折线AC-CB于点F，以PF为一边向PF的右侧作正方形PFGH.设点P的运动时间为t秒.
（1）DE的长为 ；
（2）当点F在AC边上，且时，求t的值；
（3）当点E落在正方形PFGH的内部时，求t的取值范围；
（4）当线段DE将正方形PFGH的边PF分成两部分的比为时，直接写出t的值.
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：当点E落在GH上时，，，四边形PFGH是正方形，，，. ，，解得；当点E落在PF上时，，，，，解得.综上所述，t的取值范围是.
（4）解：t的值为或.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．
∴，
∵点D和点E分别为AC和BC的中点，
∴；
故答案为：
（2）∵，，
∴
∵
∴，
解得t=；
（4）设PF交DE于点M，如图，当点F在AC上，时，
∵DE∥AB，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
解得：；
如图，当点F在BC上， 时，则，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵DE∥AB，
∴∠FEM=∠B，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
综上所述，t的值为或．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到AB，进而根据三角形中位线定理即可求解；
（2）根据锐角三角函数的定义即可得到t；
（3）先根据正方形的性质得到，，进而结合锐角三角函数的定义即可求解；
（4）设PF交DE于点M，进而分类讨论：当点F在AC上，时，当点F在BC上， 时，则，再结合题意解直角三角形即可求解。
17．（2022·婺城模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在直线AB上，连结DE，过点A作AF⊥DE交直线BC于点F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF.直线DG交直线AB于点H.
（1）当点E在线段AB上时，求证：△ABF ∽△DAE.
（2）当AE=2时，求EH的长.
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH为等腰三角形.若存在，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴.
又∵，
∴△ABF ∽△DAE；
（2）解：①当E在点A上方时，
由AB=2，得点E与B重合，如图，
∵△ABF∽△DAE，
∴，
∴，
∴.
∵四边形AEGF是平行四边形，，
∴GF=AB=CD=2，，
即在△GMF和△DMC中，，
∴△GMF≌△DMC(AAS)，
∴，
∴.
∵，
∴△MGF∽△MHE，
∴，即，
∴EH=；
②当E在点A下方时，如图，
∵FG=AE=CD=2，
∴G、A、D共线
此时，H与A重合，
∴HE=2.
综上可知，EH的长为或2；
（3）解：①当点H在点A的上方时，如图，△EGH为钝角三角形
由等腰△EGH得，GH=GE.
作GQ⊥BH于点Q，则HQ=EQ.
∴四边形BFGQ为矩形，
∴QB=GF=EA，
∴QE=AB=2，
∴HQ=EQ=2.
设AE=2t，
由（1）得，
∴，
∴GQ=BF=t.
∵QG//AD，
∴△HQG ∽△HAD
∴，即，
解得 (舍去）
∴AE=2t=；
②当点H在点A的下方时，
（ⅰ）若GH=GE，如图，作GQ⊥BE于点Q，则HQ=EQ.
∵AE=GF=BQ，
∴QE=AB=2，HQ=EQ=2.
设AE=2t，同理：GQ=BF=t
由，得，
解得(舍去）
∴AE=2t=；
（ⅱ）若HG=HE，如图，
∴∠2=∠1.
同理△ABF ∽△DAE，则，
∵AF=GE，AF∥GE，AF⊥DE，
∴GE⊥DE，，
∴△DGE是直角三角形，
∵∠2+∠3=90°，∠GDE+∠1=90°，
∴∠3=∠1，
∴tan∠3= tan∠GDE==，
∴=，
∴AE=2AD=8；
（ⅲ）若EG=EH，如图，
同理可求出tan∠HGE=2，
则tan∠AHD=tan∠GHQ=tan∠HGE=2，
∴.
设AE=2t，
同理可得：GQ=BF=t，EQ=AB=2，
由，得，解得，
∴ AE=2t=.
综上可知：AE=或8或.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可求，由矩形的性质可求，利用余角的性质可得，根据两角相等可证△ABF ∽△DAE；
（2）①当E在点A上方时，由AB=2，得点E与B重合，如图，由相似三角形的性质得，从而求出CF=1，证明△GMF≌△DMC(AAS)，可求出MF、ME，易证△MGF∽△MHE，根据相似三角形的对应边成比例即可求解；②当E在点A下方时，如图，由FG=AE=CD=2可得G、A、D共线，此时，H与A重合，即得HE=2；
（3） 分两种情况：①当H在点A的上方时，如图，△EGH为钝角三角形，由等腰△EGH得，GH=GE.
②当点H在点A的下方时，分三种（ⅰ）若GH=GE， （ⅱ）若HG=HE，（ⅲ）若EG=EH，据此分别求解即可.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练 培优题
一、选择题
1．（2023九上·南皮期中）已知在中，，，，则等于（ ）
A．6 B．16 C．12 D．4
2．在锐角中，=0，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·昌平期末）如图，在等腰中，于点，则的值（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·长安期中）正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2023九上·盘州期中）如图，在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·天长期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九下·长沙开学考）如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB.正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
8．（2024九上·合肥期中）如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或 B．2或 C．或 D．或3
二、填空题
9．（2023·内江）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ．
10．（2023九上·安庆月考）如图，在中，，是的中点，，交于，若，则 .
11．（2023九上·莱芜期中）已知抛物线与直线只有一个交点，则锐角 度．
12．（2023九上·松江期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，若，，则的正切值为 ．
13．（2023九上·石家庄期中）如图，已知点坐标为，为轴正半轴上一动点，则度数为 ，在点运动的过程中的最小值为 ．
三、解答题
14．（2024九上·昌平期末）如图，是的直径，点在上，点为的中点，过点作的切线，交延长线于点，连接交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）作射线交的延长线于点F，若，，求的长．
15．在中，是钝角，交BC的延长线于点D，E，分别为AC，AB的中点，.连结DF，EF，设DF与EC交于点.
（1）求证：.
（2）若时，求AC的长.
四、综合题
16．（2023九下·松原月考）如图，在中，，，.点D和点E分别为AC和BC的中点，连接DE.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作，交折线AC-CB于点F，以PF为一边向PF的右侧作正方形PFGH.设点P的运动时间为t秒.
（1）DE的长为 ；
（2）当点F在AC边上，且时，求t的值；
（3）当点E落在正方形PFGH的内部时，求t的取值范围；
（4）当线段DE将正方形PFGH的边PF分成两部分的比为时，直接写出t的值.
17．（2022·婺城模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在直线AB上，连结DE，过点A作AF⊥DE交直线BC于点F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF.直线DG交直线AB于点H.
（1）当点E在线段AB上时，求证：△ABF ∽△DAE.
（2）当AE=2时，求EH的长.
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH为等腰三角形.若存在，求AE的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
如图所示：
∵，，
∴
故答案为：B
【分析】结合题意根据锐角三角函数的定义即可求解。
2．【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴tanC，sinB，
∴∠C＝60°，∠B＝45°，
∴∠A＝75°．
故答案为：D．
【分析】先利用偶次方和绝对值的非负性，求出tanC，sinB，然后结合特殊角的三角函数值得出∠C＝60°，∠B＝45°，进而得出答案．
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵于点
∴
∴
∵AB=BC
∴
在Rt△DBBC中
∴
故答案为：D
【分析】根据锐角三角函数的定义可得，再根据勾股定理可得，，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，连接，
∵，，则，是等腰直角三角形，
∴
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，根据勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形， ，即可求解．
5．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】
故选：D
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半定理，推算出斜边AB的长，再根据余弦函数的定义计算余弦值即可。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴AB=2CD=2×5=10，
∴Rt△ABC中，由勾股定理，
BC= ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD，求出AB，再利用勾股定理求出BC，最后利用正切的定义求解即可。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴△AMN∽△CBN，
∴，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝
AD＝
BC，
∴，
∴CN＝2AN，故①正确；
如图，过D作DH//BM交AC于G，
∵DH//BM，BM⊥AC，
∴DH⊥AC，
∵DH//BM，AD//BC，
∴四边形BMDH是平行四边形，
∴BH＝MD＝
AD＝
BC，
∴BH＝CH，
∵∠BNC＝90°，
∴NH＝HC，
∵DH⊥AC，
∴DH是NC的垂直平分线，
∴DN＝CD，故②正确；
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，
∴∠BAC＝∠AMB，
∵∠BAM＝∠ABC，
∴△ABM∽△BCA，
∴，
∴AB2＝
BC2，
∴AB＝
BC，
∵tan∠DAC＝tan∠ACB＝
，
∴tan∠DAC＝
，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴△AMN∽△CAB，故④正确；
故答案为：C.
【分析】由平行线可证△AMN∽△CBN，结合M是AD边的中点，可得
=
，可得CN=2AN据此判断①正确；如图，过D作DH//BM交AC于G，可证四边形BMDH是平行四边形，可得BH＝MD＝
AD＝
BC，即得BH＝CH，可求出DH是NC的垂直平分线，可得DN＝CD，故②正确；证明△ABM∽△BCA，可得
，据此可求出AB＝
BC，从而求出tan∠DAC＝tan∠ACB＝
=
，据此判断③错误；由矩形的性质可得∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，可证△AMN∽△CAB，据此判断④正确.
8．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得分两种情况：
①如图1，，延长交于，过点作，交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，，
，即，
设，，
，
由平移得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
②如图2，，延长交于，则，
，
由平移得：，
同理设，，则，
，
，，
，
，
，
，即，
，
；
综上，的值是或．
故答案为：A
【分析】根据题意分类讨论：①，延长交于，过点作，交的延长线于，进而根据矩形的性质得到，，再运用锐角三角函数的定义即可设，，进而根据平移的性质得到，再结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解；②，延长交于，则，根据平移的性质得到，同理设，，则，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解。
9．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a-6=0，c-10=0，b-8=0，
∴a=6，c=10，b=8，
∴，
∴∠C=90°，
∴，
故答案为：
【分析】先根据题意进行转化即可得到，再根据非负性即可得到a、c和b的值，进而根据勾股定理的逆定理即可得到∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可求解。
10．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
∵是的中点，，
∴AE=BE，
∵，
∴可设AE=BE=5k，CE=3k，
由勾股定理可得BC=4k，
∴AC=AE+CE=8k，
∴tanA=.
故答案为：.
【分析】连接BE，由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，由题意可设AE=BE=5k，CE=3k，
由勾股定理可得BC=4k，利用tanA=即可求解.
11．【答案】60
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求特殊角的三角函数值；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，3x2+1=4sina·x，
3x2+1-4sina·x=0，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴△=16sin2a-4×3×1=0，解得sina=，a=60°；
故答案为：60.
【分析】根据一元二次方程根的判别式以及锐角三角函数的定义求出a即可。
12．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：
DE是线段AB的垂直平分线，
设CD=x，则BD=CD=10-x，
在Rt中，根据勾股定理得：，
16+.
x=，
在Rt中，tan
故答案为：
【分析】先根据垂直平分线的性质得到BD=AD，再设CD=x，在Rt中根据勾股定理求出x，再根据正切定义求值.
13．【答案】30°；
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图所示， 点坐标为
故第一空填：30°
过点A作AC x轴，并延长到D点，使AC=DC，过D作DEOA于E，交x轴于F
由作图知，点D是A关于x轴的对称点
又在直角三角形AED中
当点B与F重合时，
故填：
【分析】根据点坐标和正切函数的意义，计算出正切函数值是个特殊角的函数值，这个特殊角是30°；根据轴对称求最短距离即将军饮马模型，作辅助线；有30°角和OB，很容易将二者联系起来思考，将AB和OB转化到一条直线上来，且垂线段最短可知DE即为所求，再根据三角形函数计算求得最小值。
14．【答案】（1）证明：连接OC
∵AB为直径，C为上一点，
∴，∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DP是的切线，D为切点，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：如图补全图形，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵矩形DECP对边平行，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角为直角可得，由点D为的中点，可得，则，再根据切线性质，矩形判定定理即可求出答案；
（2）在中，根据锐角三角函数定义可得，，则，在中，再根据勾股定理可得OE=3，，根据直线平行性质即可求出答案.
15．【答案】（1）证明：∵ E，F分别为AC，AB的中点，
∴ BC=2FE，FE∥BD，
∵ ∠FCE=∠CED，
∴ CF∥DE，
∴ 四边形CDEF为平行四边形，
∴ OD=OF；
（2）解：∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
∵ 点F为AB的中点，
∴ AB=2DF=4OF=10，
∵ tanB=，
∴ 设AD=4x，则BD=3x，
∴ AB=5x=10，
∴ AD=8，BD=6，
∵ BC=2FE，FE=CD，
∴ 3CD=BD，即CD=2，
∵ AD=8，∠ADC=90°，
∴ AC=.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据对边分别平行的四边形为四边形CDEF为平行四边形，即可求得OD=OF，
（2）根据直角三角形的斜边上的中线定理可得AB=2DF，再根据锐角三角函数求得AD、BD，再根据三角形的中位线得BC=2FE，根据平行四边形的性质得FE=CD，再根据勾股定理即可求得AC的长.
16．【答案】（1）
（2）解：
（3）解：当点E落在GH上时，，，四边形PFGH是正方形，，，. ，，解得；当点E落在PF上时，，，，，解得.综上所述，t的取值范围是.
（4）解：t的值为或.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．
∴，
∵点D和点E分别为AC和BC的中点，
∴；
故答案为：
（2）∵，，
∴
∵
∴，
解得t=；
（4）设PF交DE于点M，如图，当点F在AC上，时，
∵DE∥AB，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
解得：；
如图，当点F在BC上， 时，则，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵DE∥AB，
∴∠FEM=∠B，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
综上所述，t的值为或．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到AB，进而根据三角形中位线定理即可求解；
（2）根据锐角三角函数的定义即可得到t；
（3）先根据正方形的性质得到，，进而结合锐角三角函数的定义即可求解；
（4）设PF交DE于点M，进而分类讨论：当点F在AC上，时，当点F在BC上， 时，则，再结合题意解直角三角形即可求解。
17．【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴.
又∵，
∴△ABF ∽△DAE；
（2）解：①当E在点A上方时，
由AB=2，得点E与B重合，如图，
∵△ABF∽△DAE，
∴，
∴，
∴.
∵四边形AEGF是平行四边形，，
∴GF=AB=CD=2，，
即在△GMF和△DMC中，，
∴△GMF≌△DMC(AAS)，
∴，
∴.
∵，
∴△MGF∽△MHE，
∴，即，
∴EH=；
②当E在点A下方时，如图，
∵FG=AE=CD=2，
∴G、A、D共线
此时，H与A重合，
∴HE=2.
综上可知，EH的长为或2；
（3）解：①当点H在点A的上方时，如图，△EGH为钝角三角形
由等腰△EGH得，GH=GE.
作GQ⊥BH于点Q，则HQ=EQ.
∴四边形BFGQ为矩形，
∴QB=GF=EA，
∴QE=AB=2，
∴HQ=EQ=2.
设AE=2t，
由（1）得，
∴，
∴GQ=BF=t.
∵QG//AD，
∴△HQG ∽△HAD
∴，即，
解得 (舍去）
∴AE=2t=；
②当点H在点A的下方时，
（ⅰ）若GH=GE，如图，作GQ⊥BE于点Q，则HQ=EQ.
∵AE=GF=BQ，
∴QE=AB=2，HQ=EQ=2.
设AE=2t，同理：GQ=BF=t
由，得，
解得(舍去）
∴AE=2t=；
（ⅱ）若HG=HE，如图，
∴∠2=∠1.
同理△ABF ∽△DAE，则，
∵AF=GE，AF∥GE，AF⊥DE，
∴GE⊥DE，，
∴△DGE是直角三角形，
∵∠2+∠3=90°，∠GDE+∠1=90°，
∴∠3=∠1，
∴tan∠3= tan∠GDE==，
∴=，
∴AE=2AD=8；
（ⅲ）若EG=EH，如图，
同理可求出tan∠HGE=2，
则tan∠AHD=tan∠GHQ=tan∠HGE=2，
∴.
设AE=2t，
同理可得：GQ=BF=t，EQ=AB=2，
由，得，解得，
∴ AE=2t=.
综上可知：AE=或8或.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可求，由矩形的性质可求，利用余角的性质可得，根据两角相等可证△ABF ∽△DAE；
（2）①当E在点A上方时，由AB=2，得点E与B重合，如图，由相似三角形的性质得，从而求出CF=1，证明△GMF≌△DMC(AAS)，可求出MF、ME，易证△MGF∽△MHE，根据相似三角形的对应边成比例即可求解；②当E在点A下方时，如图，由FG=AE=CD=2可得G、A、D共线，此时，H与A重合，即得HE=2；
（3） 分两种情况：①当H在点A的上方时，如图，△EGH为钝角三角形，由等腰△EGH得，GH=GE.
②当点H在点A的下方时，分三种（ⅰ）若GH=GE， （ⅱ）若HG=HE，（ⅲ）若EG=EH，据此分别求解即可.
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