2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用同步分层训练 基础题
一、选择题
1．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是
A． B． C． D．
2．（2020八下·温州期末）如图，商用手扶梯 的坡比为 ，已知扶梯的长 为12米，则小明乘坐扶梯从 处到 处上升的高度 为（ ）
A．6米 B． 米 C．12米 D． 米
3．（2023九上·长春月考）小明从学校出发，步行去少年宫（如图），行走路线正确的是（ ）
A．向南偏东300行走600米 B．向南偏西50°行走600米
C．向南偏东600行走600米 D．向南偏西40行走600米
4．（2022·泗水模拟）某中学九年级数学兴趣小组的同学准备测量校内旗杆的高度，他们在点测得旗杆顶端的仰角，向前走了30米到达点，在点测得旗杆顶端A的仰角，则旗杆的高为多少米？（ ）
A．15米 B．米 C．米 D．米
5．在种植树木时，负责人员要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m.如图，若在坡比为1∶2的山坡上种树，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．2m B．4m C．8m D．4m
6．如图，一只正方体箱子沿着斜面CD向上运动，∠C=α，箱高AB=1米.当BC=2米时，点A离地面CE的距离是多少米？（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·昌平期末）如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
8．（2023·长春模拟）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯的坡角（）为，乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度为5米，则自动扶梯的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
9．（2023九上·定海月考）如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高，坡面AB的坡度为，则AB的长度为 。
10．（2023九上·黄浦期中）如图，飞机在目标B的正上方A处，飞行员测得地面目标C的俯角α=30°，如果地面目标B、C之间的距离为6千米，那么飞机离地面的高度AB等于 千米．（结果保留根号）
11．如图，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB=6m，AO：OB=2∶1，支架OM⊥EF，OM=3m，AB可以绕着点О自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，∠AOM=45°，此时点B到水平地面EF的距离为 m（结果保留根号）.
12．（2024九上·永吉期末）如图，小明将测倾器安放在与旗杆底部相距的处，量出测倾器的高度，测得旗杆顶端的仰角，则旗杆的高度为 m.（结果保留根号）
13．（2023九上·闵行期中）如图，△ABC是面积为的等边三角形，△ADE∽△ABC，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积是 .
三、解答题
14．如图，扶梯 AB的坡比为1： ，滑梯CD的坡比为1：2，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，BE=CF.若FD=4m，BC=2m，某人从扶梯上去，经过顶部 BC，再沿滑梯滑下，他共经过多少路程(结果精确到
15．（2023九上·石家庄月考）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．
（1）当悬臂与桌面平行时，＝ °
（2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少
（3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少 （参考数据：）
四、综合题
16．（2023·利州模拟）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
17．（2023·历下模拟）年月日是我国第个“全国消防宣传日”，该年“消防宣传月”活动的主题是“落实消防责任，防范安全风险”．为落实该主题，济南市消防大队到建东小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩（），且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为（），转动点A距离地面的高度为．
（1）当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点C距离地面
的高度；
（2）已知该小区层高为，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图，过A作AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=3，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，
∴cosB==．
故选C．
【分析】
过A作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BD=DC=
BC=3，然后利用余弦的定义即可得到cosB的值．本题考查了解直角三角形：利用勾股定理和三角函数，通过已知条件求出直角三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵商用手扶梯AB的坡比1： ，
设AC=x米，则BC= x米，
∴ ，
解得：x=6，
∴AC=6米，
故答案为：A.
【分析】根据坡比的定义可知，设AC=x，则BC= x，由勾股定理求出AB=2x=12，得出x=6即可.
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：小明从学校出发，步行去少年宫(如图)，行走路线是：向西偏南40°行走200×3=600米或向南偏西50°行走200×3=600米.
故答案为：B.
【分析】依据方向角的辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息即可进行解答.
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得，∠ADB=60°，∠C=30°，CD=30米，
∴∠DAC=∠ADB ∠C=60°-30°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=CD=30米，
∴(米)，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定方法，可得出AD=DC，再在Rt△ABD中，由边角关系可得答案。
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图：过点C作CB⊥DA，交DA的延长线于点B，
∵斜坡AC的坡比为1：2，
∴，
∵AB＝4m，
∴BCAB＝2（m），
在Rt△ABC中，AC2（m），
∴相邻两树间的坡面距离为2m，
故答案为：A．
【分析】过点C作CB⊥DA，交DA的延长线于点B，根据斜坡AC的坡比为1：2，从而求出BC＝2m，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AC的长，即可解答．
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥CE，垂足为G，过点B作BH⊥CE于H，BM⊥AG，垂足为M，
由题意得：BH＝GM，∠ABC＝∠BHC＝∠AGC＝90°，
∴∠C+∠CFG＝90°，∠AFB+∠BAF＝90°，
∵∠CFG＝∠AFB，
∴∠C＝∠BAF＝α，
在Rt△ABM中，AB＝1米，
∴AM＝AB·cosα＝cosα（米），
在Rt△CBH中，BC＝2米，
∴BH＝BC·sinα＝2sinα（米），
∴GM＝BH＝2sinα米，
∴AG＝AM+GM＝（cosα+2sinα）米，
∴点A离地面CE的距离是（cosα+2sinα）米，
故答案为：C．
【分析】过点A作AG⊥CE，垂足为G，过点B作BH⊥CE于H，BM⊥AG，垂足为M，根据题意可得BH＝GM，∠ABC＝∠BHC＝∠AGC＝90°，再利用等角的余角相等可得∠C＝∠BAF＝α，然后在Rt△ABM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，再在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，从而求出GM的长，最后进行计算即可解答．
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】由题意可得：
∠A=40°
在Rt△OAB中
，即AB=
故答案为：A
【分析】根据题意可求出∠A=40°，再在Rt△OAB中，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解： 在中，，则米，
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法可得。
9．【答案】10m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵ 坡面AB的坡度为，
∴，
∴m；
∴cm.
故答案为：10m.
【分析】根据坡度的概念可得，进而根据勾股定理可算出AB的长.
10．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵地面目标的俯角，
∴∠ACB=30°，
∴tan30°=，
∴AB=BC tan30°=6=，
故答案为：．
【分析】先求出∠ACB=30°，再利用正切函数的定义式变形计算．
11．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：过点O作OC⊥BT，垂足为C，
∵AB=6m，AO：OB=2∶1
∴OB=AB=2m，
∵∠AOM=45° ，
∴∠BOC=90°-∠AOM=45°，
则BC=OBsin∠BOC=2×=，
B点到水平地面的距离：BC+OM=3+，
故答案为：3+.
【分析】先根据OA和OB的比值关系得出OB的值，而∠BOC与∠AOM互余，可知∠BOC=45°，从而根据三角函数的正弦值可求出BC的长度，B到地面的高是BC加上OM.
12．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】
解：在Rt△BDE中，DE=6，∠BDE=60°，
∵tan∠BDE=，∴tan60°=
∴BE=，
∴AB=BE+AE=
故答案为：
【分析】
在Rt△BDE中，tan∠BDE=，且DE=6，∠BDE=60°，由此可求出BE，再计算AB即可。
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为的等边三角形，CM⊥AB，
∴×AB×CM＝，∠BCM＝30°，BM=AB，BC=AB，
∴CM==，
∴×AB×＝，
解得：AB＝2，（负值舍去）
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，
∴△ADE是等边三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°，
∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAF＝∠BAD＝45°，
∵FH⊥AE，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝x．
∵AB=2AD，AD=AE，
∴AE＝AB＝1，
∴x+x＝1，
解得x＝．
∴S△AEF＝×1×＝．
故答案为：．
【分析】过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，根据等边三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可得△ADE是等边三角形，可得出AE的长，根据角的和差关系可得∠EAF=∠BAD=45°，设AH＝HF＝x，利用∠EFH的正确可用x表示出EH的长，根据AE=EH+AH列方程可求出x的值，根据三角形面积公式求解．
14．【答案】解：∵滑梯CD的坡比为1：2，即，
∴，
∵扶梯AB的坡比为，即，
∴，
∴，
，
∴，
故他走过的路程约为10.5m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，可求得CF和AE的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求出AB和CD的值，即可求解.
15．【答案】（1）58
（2）解：过作与交于，过作与交于
∴四边形为矩形
∴90°，
∵148°
∴58°
在中90°
∵∴
∴
（3）解：过作，，
∴
在中＝90°
∴60°
∵58°∴32°
∴60°－32°＝28°
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】过点B作直线MN∥l，如图，
CD//l，
MN//l，
MN//CD，
故答案为：
【分析】（1）过点B作直线MN//l，利用平行四边形的性质即可解答；
（2）过作与交于，过作与交于，可得四边形ABEF为矩形，根据已知条件可求得∠1=58°，利用 ，求得CF的值，再根据线段的和差关系即可求得CE的值；
（3）过作， ，由 可求得 ，再求出∠DCN的余弦，进一步得 60°，进一步求得∠DCB的值.
16．【答案】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB==15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= （m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）直接根据三角函数的概念就可求出AB的长；
（2）由题意得：DE=BC=2m，则AD=AE-DE=17m，利用勾股定理求出AB的值，然后与20进行比较即可判断.
17．【答案】（1）解：如图所示，过点C作，垂足为F，过点A作，垂足为G，
则，，
∵，
∴，
在中，，，
∴（），
∴（），
∴云梯消防车最高点C距离地面的高度为．
（2）解：该消防车能有效救援层，理由如下，
当，时，能达到最高高度，
∵，
∴，
在中，，
∴（），
∴（），
∵，
∴该消防车能有效救援层．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 （1）过点C作，垂足为F，过点A作，垂足为G， 根据矩形的性质可得，，，在中，，，
则（），根据可求得云梯消防车最高点C距离地面的高度；
（2）由题意可知：当，时，能达到最高高度，由可得，
在中，，可求出CG，再根据求出CF即可。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用同步分层训练 基础题
一、选择题
1．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图，过A作AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=3，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，
∴cosB==．
故选C．
【分析】
过A作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BD=DC=
BC=3，然后利用余弦的定义即可得到cosB的值．本题考查了解直角三角形：利用勾股定理和三角函数，通过已知条件求出直角三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
2．（2020八下·温州期末）如图，商用手扶梯 的坡比为 ，已知扶梯的长 为12米，则小明乘坐扶梯从 处到 处上升的高度 为（ ）
A．6米 B． 米 C．12米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵商用手扶梯AB的坡比1： ，
设AC=x米，则BC= x米，
∴ ，
解得：x=6，
∴AC=6米，
故答案为：A.
【分析】根据坡比的定义可知，设AC=x，则BC= x，由勾股定理求出AB=2x=12，得出x=6即可.
3．（2023九上·长春月考）小明从学校出发，步行去少年宫（如图），行走路线正确的是（ ）
A．向南偏东300行走600米 B．向南偏西50°行走600米
C．向南偏东600行走600米 D．向南偏西40行走600米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：小明从学校出发，步行去少年宫(如图)，行走路线是：向西偏南40°行走200×3=600米或向南偏西50°行走200×3=600米.
故答案为：B.
【分析】依据方向角的辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息即可进行解答.
4．（2022·泗水模拟）某中学九年级数学兴趣小组的同学准备测量校内旗杆的高度，他们在点测得旗杆顶端的仰角，向前走了30米到达点，在点测得旗杆顶端A的仰角，则旗杆的高为多少米？（ ）
A．15米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得，∠ADB=60°，∠C=30°，CD=30米，
∴∠DAC=∠ADB ∠C=60°-30°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=CD=30米，
∴(米)，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定方法，可得出AD=DC，再在Rt△ABD中，由边角关系可得答案。
5．在种植树木时，负责人员要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m.如图，若在坡比为1∶2的山坡上种树，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．2m B．4m C．8m D．4m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图：过点C作CB⊥DA，交DA的延长线于点B，
∵斜坡AC的坡比为1：2，
∴，
∵AB＝4m，
∴BCAB＝2（m），
在Rt△ABC中，AC2（m），
∴相邻两树间的坡面距离为2m，
故答案为：A．
【分析】过点C作CB⊥DA，交DA的延长线于点B，根据斜坡AC的坡比为1：2，从而求出BC＝2m，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AC的长，即可解答．
6．如图，一只正方体箱子沿着斜面CD向上运动，∠C=α，箱高AB=1米.当BC=2米时，点A离地面CE的距离是多少米？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥CE，垂足为G，过点B作BH⊥CE于H，BM⊥AG，垂足为M，
由题意得：BH＝GM，∠ABC＝∠BHC＝∠AGC＝90°，
∴∠C+∠CFG＝90°，∠AFB+∠BAF＝90°，
∵∠CFG＝∠AFB，
∴∠C＝∠BAF＝α，
在Rt△ABM中，AB＝1米，
∴AM＝AB·cosα＝cosα（米），
在Rt△CBH中，BC＝2米，
∴BH＝BC·sinα＝2sinα（米），
∴GM＝BH＝2sinα米，
∴AG＝AM+GM＝（cosα+2sinα）米，
∴点A离地面CE的距离是（cosα+2sinα）米，
故答案为：C．
【分析】过点A作AG⊥CE，垂足为G，过点B作BH⊥CE于H，BM⊥AG，垂足为M，根据题意可得BH＝GM，∠ABC＝∠BHC＝∠AGC＝90°，再利用等角的余角相等可得∠C＝∠BAF＝α，然后在Rt△ABM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，再在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，从而求出GM的长，最后进行计算即可解答．
7．（2024九上·昌平期末）如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】由题意可得：
∠A=40°
在Rt△OAB中
，即AB=
故答案为：A
【分析】根据题意可求出∠A=40°，再在Rt△OAB中，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案.
8．（2023·长春模拟）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯的坡角（）为，乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度为5米，则自动扶梯的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解： 在中，，则米，
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法可得。
二、填空题
9．（2023九上·定海月考）如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高，坡面AB的坡度为，则AB的长度为 。
【答案】10m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵ 坡面AB的坡度为，
∴，
∴m；
∴cm.
故答案为：10m.
【分析】根据坡度的概念可得，进而根据勾股定理可算出AB的长.
10．（2023九上·黄浦期中）如图，飞机在目标B的正上方A处，飞行员测得地面目标C的俯角α=30°，如果地面目标B、C之间的距离为6千米，那么飞机离地面的高度AB等于 千米．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵地面目标的俯角，
∴∠ACB=30°，
∴tan30°=，
∴AB=BC tan30°=6=，
故答案为：．
【分析】先求出∠ACB=30°，再利用正切函数的定义式变形计算．
11．如图，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB=6m，AO：OB=2∶1，支架OM⊥EF，OM=3m，AB可以绕着点О自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，∠AOM=45°，此时点B到水平地面EF的距离为 m（结果保留根号）.
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：过点O作OC⊥BT，垂足为C，
∵AB=6m，AO：OB=2∶1
∴OB=AB=2m，
∵∠AOM=45° ，
∴∠BOC=90°-∠AOM=45°，
则BC=OBsin∠BOC=2×=，
B点到水平地面的距离：BC+OM=3+，
故答案为：3+.
【分析】先根据OA和OB的比值关系得出OB的值，而∠BOC与∠AOM互余，可知∠BOC=45°，从而根据三角函数的正弦值可求出BC的长度，B到地面的高是BC加上OM.
12．（2024九上·永吉期末）如图，小明将测倾器安放在与旗杆底部相距的处，量出测倾器的高度，测得旗杆顶端的仰角，则旗杆的高度为 m.（结果保留根号）
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】
解：在Rt△BDE中，DE=6，∠BDE=60°，
∵tan∠BDE=，∴tan60°=
∴BE=，
∴AB=BE+AE=
故答案为：
【分析】
在Rt△BDE中，tan∠BDE=，且DE=6，∠BDE=60°，由此可求出BE，再计算AB即可。
13．（2023九上·闵行期中）如图，△ABC是面积为的等边三角形，△ADE∽△ABC，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积是 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为的等边三角形，CM⊥AB，
∴×AB×CM＝，∠BCM＝30°，BM=AB，BC=AB，
∴CM==，
∴×AB×＝，
解得：AB＝2，（负值舍去）
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，
∴△ADE是等边三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°，
∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAF＝∠BAD＝45°，
∵FH⊥AE，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝x．
∵AB=2AD，AD=AE，
∴AE＝AB＝1，
∴x+x＝1，
解得x＝．
∴S△AEF＝×1×＝．
故答案为：．
【分析】过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，根据等边三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可得△ADE是等边三角形，可得出AE的长，根据角的和差关系可得∠EAF=∠BAD=45°，设AH＝HF＝x，利用∠EFH的正确可用x表示出EH的长，根据AE=EH+AH列方程可求出x的值，根据三角形面积公式求解．
三、解答题
14．如图，扶梯 AB的坡比为1： ，滑梯CD的坡比为1：2，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，BE=CF.若FD=4m，BC=2m，某人从扶梯上去，经过顶部 BC，再沿滑梯滑下，他共经过多少路程(结果精确到
【答案】解：∵滑梯CD的坡比为1：2，即，
∴，
∵扶梯AB的坡比为，即，
∴，
∴，
，
∴，
故他走过的路程约为10.5m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，可求得CF和AE的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求出AB和CD的值，即可求解.
15．（2023九上·石家庄月考）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．
（1）当悬臂与桌面平行时，＝ °
（2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少
（3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少 （参考数据：）
【答案】（1）58
（2）解：过作与交于，过作与交于
∴四边形为矩形
∴90°，
∵148°
∴58°
在中90°
∵∴
∴
（3）解：过作，，
∴
在中＝90°
∴60°
∵58°∴32°
∴60°－32°＝28°
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】过点B作直线MN∥l，如图，
CD//l，
MN//l，
MN//CD，
故答案为：
【分析】（1）过点B作直线MN//l，利用平行四边形的性质即可解答；
（2）过作与交于，过作与交于，可得四边形ABEF为矩形，根据已知条件可求得∠1=58°，利用 ，求得CF的值，再根据线段的和差关系即可求得CE的值；
（3）过作， ，由 可求得 ，再求出∠DCN的余弦，进一步得 60°，进一步求得∠DCB的值.
四、综合题
16．（2023·利州模拟）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB==15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= （m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）直接根据三角函数的概念就可求出AB的长；
（2）由题意得：DE=BC=2m，则AD=AE-DE=17m，利用勾股定理求出AB的值，然后与20进行比较即可判断.
17．（2023·历下模拟）年月日是我国第个“全国消防宣传日”，该年“消防宣传月”活动的主题是“落实消防责任，防范安全风险”．为落实该主题，济南市消防大队到建东小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩（），且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为（），转动点A距离地面的高度为．
（1）当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点C距离地面
的高度；
（2）已知该小区层高为，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图所示，过点C作，垂足为F，过点A作，垂足为G，
则，，
∵，
∴，
在中，，，
∴（），
∴（），
∴云梯消防车最高点C距离地面的高度为．
（2）解：该消防车能有效救援层，理由如下，
当，时，能达到最高高度，
∵，
∴，
在中，，
∴（），
∴（），
∵，
∴该消防车能有效救援层．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 （1）过点C作，垂足为F，过点A作，垂足为G， 根据矩形的性质可得，，，在中，，，
则（），根据可求得云梯消防车最高点C距离地面的高度；
（2）由题意可知：当，时，能达到最高高度，由可得，
在中，，可求出CG，再根据求出CF即可。
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