2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用同步分层训练 提升题
一、选择题
1．（2023九上·亳州月考）已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·禅城月考）如图，小明利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆的长为1.2米，测得米，米.则楼高是（ ）
A．6.3米 B．7.5米 C．8米 D．6.5米
3．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B.已知凉亭A在大树B的正西方向.若BC=50米，则AB的长等于多少米？
A． B．
C． D．
4．消防云梯如图所示，AB⊥BC于点B，当点C刚好在点A的正上方时，DF的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·鹿城开学考）图1是一块矩形材料 ，被分割成三块， ， ，将三块材料无缝隙不重叠地拼成图2的形状，此时图2恰好是轴对称图形，则
A． B． C． D．
6．（2020九上·宁阳期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝ ，那么∠B的度数是（ ）
A．15° B．45° C．30° D．60°
7．（2023九上·邵东月考） 在中，，，，则的面积是（ ）
A． B．12 C．14 D．21
8．（2023九上·莱芜期中）电线杆直立在水平的地面上，是电线杆的一根拉线，测得，，则拉线的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·吴兴模拟）某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上.则斜坡AB的水平宽度BC为 米.
10．某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB=30m，用高1m（AC=1m）的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是 .
11．（2023九上·沙坪坝期中）如图，在，，，，以为直径的半圆交于点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
12．（2023九上·长安期中）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算tan45°时，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB，使BD＝AB，连接AD，使得∠D＝15°，所以tan15°＝，类比这种方法，计算tan22.5°＝ ．
13．（2023九上·莱芜期中）如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进米到点，又测得仰角为，已知该高楼的高度为米，则 米．
三、解答题
14．（2016·天津）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45°，∠B=37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 取1.414．
15．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm.
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踞起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角﹑俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明.（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
四、综合题
16．（2018·岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．
（1）求点M到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： 1.73，结果精确到0.01米）
17．（2023·天津市）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．
（1）如图①，求和的大小；
（2）如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系；解直角三角形
【解析】【解答】
解：如图所示，
∵ ，
∴ 设BC=3x，则AB=5x
∴ AC==4x
∴ tanB==
∴ tanB=
故答案为D
【分析】本题考查锐角三角函数中的正切和正弦函数，根据得出BC，AB，可得AC，根据tanB=可得答案，熟悉各函数的定义是关键。
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意，设m，，
由锐角三角函数的定义可得，，
即，
解得，
故答案为：B.
【分析】根据锐角函数的定义，代入数据即可求解.
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△BCD中，∠BCD＝35°，BC＝50米，
∴BD＝BC· sin35°≈50sin35°（米），
CD＝BC· cos45°＝50cos35°（米），
在Rt△ADC中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD · tan45°＝CD＝50cos35°（米），
∴AB＝AD+BD＝50cos35°+50sin35°＝50（cos35°+sin35°）米，
故答案为：D．
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，首先在Rt△BCD中，利用正弦和余弦定义求出BD，CD的长，然后在Rt△ADC中，利用正切的定义求出AD的长，最后根据AB＝AD+BD代入计算，即可解答．
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：连接AC
∵∠+∠BAC=90°，∠BAC+∠BCA=90°，
∴∠BAC=∠，
∵cos=，
∴AC=，
在三角形ADE中，
∵sin∠DCE=sin∠=，
∴DE=CD·sin∠=bsin∠
∴DF=EF+DE=AC+DE= .
【分析】C点在A的正上方，则连接AC后，AC垂直水平线，则可得到∠BAC=∠，再根据要求的边跟已知边的关系，看通过哪个三角函数可以列出关系式，从而得到答案.
5．【答案】A
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图， 图2是轴对称图形，
， ，
设 ，则 ， ，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】由图2是轴对称图形可得BM=BE，MN=EF，设AB=m，用勾股定理可将BE、AM=FG=DF也用含m的代数式表示出来，由锐角三角函数tan∠FAG=tan∠AEB=可将AF用含m的代数式表示出来，于是由线段的构成AD=BC=DF+AF可将AD=BC用含m的代数式表示出来，则可求解.
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵tanB= ，
∴∠B=60°，
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案。
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
∵，，
∴BD=×=3，
由勾股定理得，AD=；
又∵，
∴AC=3÷=5，
∴由勾股定理得，CD=，
∴BC=3+4=7，
∴△ABC的面积=.
故答案为：A．
【分析】作出三角形的高线AD，解直角三角形可得出AD，BD，CD的长，再利用三角形的面积公式计算．
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，△ABC为直角三角形，
∴cos∠ACB==，
∴AC==；
故答案为：B.
【分析】根据题意，在直角三角形中由余弦定义求出AC的值。
9．【答案】8
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵=1：2，AC=4，
∴BC=8，
故答案为：8.
【分析】根据坡比i=可求解.
10．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示，根据题意可知∠ECG=30°，∠EDG=60°，GF=AC=1m，
在△EGD和△CGE中，∠GED=90°-∠EDG=30°=∠ECG，∠EGD=∠EGC=90°
故△EGD∽△CGE
则EG =GD·GC=EG·tan∠GED·（EG·sin∠GED+CD）=EG·（EG+30）
解得EG=，
则建筑物的高=EG+GF=+1，
故答案为：+1
【分析】在△EGD和△CGE中，根据两角相等，可得出两个三角形相似，通过相似比可得出EG的长度，而建筑物的高是EG+FG，得到答案.
11．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OD，CD，作OE⊥AD，
在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=4，
∴∠A=30°，AC=BC=4，
∴OC=OA=2，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴CD=AC=2，AD=CD=6，OE∥CD，
∴OE=CD=，
∴△COD为等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴ 则图中阴影部分的面积=△ABC面积-扇形COD的面积-△AOD的面积
=×4×4--×6×
= .
故答案为： .
【分析】连接OD，CD，作OE⊥AD，由圆周角定理可得∠ADC=90°，利用解直角三角形分别求出半径，AD，CD，CD，OE的长，再证△COD为等边三角形，从而推出∠AOD=120°，根据图中阴影部分的面积=△ABC面积-扇形COD的面积-△AOD的面积进行计算即可.
12．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，作，，延长到点D，使，连接，
则，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】仿照例题，可得，设，解直角三角形求出，则，根据正切的定义，即可求解．
13．【答案】30
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可得，AB⊥DB，
在直角三角形ADB中，tan∠ADB=tan30°==，BD=45；
在直角三角形ABC中，tan∠ACB=tan60°==，BC=15；
∴CD=a=BD-BC=45-15=30；
故答案为：30.
【分析】根据题意，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义分别求出BD和BC，作差即可得到a的值。
14．【答案】解：过点C作CD⊥AB垂足为D
，
在Rt△ACD中，tanA=tan45°= =1，CD=AD，
sinA=sin45°= = ，AC= CD．
在Rt△BCD中，tanB=tan37°= ≈0.75，BD= ；
sinB=sin37°= ≈0.60，CB= ．
∵AD+BD=AB=63，
∴CD+ =63，
解得CD≈27，
AC= CD≈1.414×27=38.178≈38.2，
CB= ≈ =45.0，
答：AC的长约为38.2cm，CB的长约等于45.0m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用线段的和差得出关于CD的方程是解题关键．根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC= CD，CB= ，可得答案．
15．【答案】（1）如图2，过 作 的垂线分别交仰角、俯角线于点 ，
交水平线于点 ， 在 Rt 中， 小杜最少需要下蹲 208 才能被识别.
（2）如图3，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M，N.交水平线于P，
在 Rt 中， 小若跕起脚尖后头顶的高度为 小若头顶超出点 的高度为 路起脚尖小若能被识别.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，根据∠EAF的正切可求出EF＝AF tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），然后求出CE的长，即可求出最少下蹲的高度即可解答；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，根据∠PAN的正切可得到MP＝AP tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），从而可求得BN的长，根据小若垫起脚尖后头顶的高度，就可求出小若头顶超出垫N的高度，即可解答．
16．【答案】（1）解：如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，
在Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，
∴ON OM＝0.6，
∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9，
即点M到地面的距离是3.9米；
（2）解：取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，
过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，
∵∠GOP＝30°，∴tan30° ，
∴GP OP 0.404，
∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，
∴货车能安全通过．
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1） 如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N， 根据三角形的内角和得出∠M的度数，然后根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出ON的长，进而根据线段的和差算出NB的长，得出答案；
（2） ：取CE＝0.65，EH＝2.55， 根据线段的和差即可算出HB的长， 过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P， 根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 tan30° 即可算出GP的长，根据线段的和差算出GH的长，将GH的长与货车的高度进行比较即可得出结论。
17．【答案】（1）解：在中，半径垂直于弦，
∴，得．
∵，
∴．
∵，
∴．
（2）解：如图，连接．
同（1）得．
∵在中，，
∴．
∴．
又，
∴．
∵与相切于点E，
∴，即．
在中，，
∴．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ，再计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再求出 ，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用同步分层训练 提升题
一、选择题
1．（2023九上·亳州月考）已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系；解直角三角形
【解析】【解答】
解：如图所示，
∵ ，
∴ 设BC=3x，则AB=5x
∴ AC==4x
∴ tanB==
∴ tanB=
故答案为D
【分析】本题考查锐角三角函数中的正切和正弦函数，根据得出BC，AB，可得AC，根据tanB=可得答案，熟悉各函数的定义是关键。
2．（2023九上·禅城月考）如图，小明利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆的长为1.2米，测得米，米.则楼高是（ ）
A．6.3米 B．7.5米 C．8米 D．6.5米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意，设m，，
由锐角三角函数的定义可得，，
即，
解得，
故答案为：B.
【分析】根据锐角函数的定义，代入数据即可求解.
3．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B.已知凉亭A在大树B的正西方向.若BC=50米，则AB的长等于多少米？
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△BCD中，∠BCD＝35°，BC＝50米，
∴BD＝BC· sin35°≈50sin35°（米），
CD＝BC· cos45°＝50cos35°（米），
在Rt△ADC中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD · tan45°＝CD＝50cos35°（米），
∴AB＝AD+BD＝50cos35°+50sin35°＝50（cos35°+sin35°）米，
故答案为：D．
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，首先在Rt△BCD中，利用正弦和余弦定义求出BD，CD的长，然后在Rt△ADC中，利用正切的定义求出AD的长，最后根据AB＝AD+BD代入计算，即可解答．
4．消防云梯如图所示，AB⊥BC于点B，当点C刚好在点A的正上方时，DF的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：连接AC
∵∠+∠BAC=90°，∠BAC+∠BCA=90°，
∴∠BAC=∠，
∵cos=，
∴AC=，
在三角形ADE中，
∵sin∠DCE=sin∠=，
∴DE=CD·sin∠=bsin∠
∴DF=EF+DE=AC+DE= .
【分析】C点在A的正上方，则连接AC后，AC垂直水平线，则可得到∠BAC=∠，再根据要求的边跟已知边的关系，看通过哪个三角函数可以列出关系式，从而得到答案.
5．（2021九上·鹿城开学考）图1是一块矩形材料 ，被分割成三块， ， ，将三块材料无缝隙不重叠地拼成图2的形状，此时图2恰好是轴对称图形，则
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图， 图2是轴对称图形，
， ，
设 ，则 ， ，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】由图2是轴对称图形可得BM=BE，MN=EF，设AB=m，用勾股定理可将BE、AM=FG=DF也用含m的代数式表示出来，由锐角三角函数tan∠FAG=tan∠AEB=可将AF用含m的代数式表示出来，于是由线段的构成AD=BC=DF+AF可将AD=BC用含m的代数式表示出来，则可求解.
6．（2020九上·宁阳期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝ ，那么∠B的度数是（ ）
A．15° B．45° C．30° D．60°
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵tanB= ，
∴∠B=60°，
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案。
7．（2023九上·邵东月考） 在中，，，，则的面积是（ ）
A． B．12 C．14 D．21
【答案】A
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
∵，，
∴BD=×=3，
由勾股定理得，AD=；
又∵，
∴AC=3÷=5，
∴由勾股定理得，CD=，
∴BC=3+4=7，
∴△ABC的面积=.
故答案为：A．
【分析】作出三角形的高线AD，解直角三角形可得出AD，BD，CD的长，再利用三角形的面积公式计算．
8．（2023九上·莱芜期中）电线杆直立在水平的地面上，是电线杆的一根拉线，测得，，则拉线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，△ABC为直角三角形，
∴cos∠ACB==，
∴AC==；
故答案为：B.
【分析】根据题意，在直角三角形中由余弦定义求出AC的值。
二、填空题
9．（2022·吴兴模拟）某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上.则斜坡AB的水平宽度BC为 米.
【答案】8
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵=1：2，AC=4，
∴BC=8，
故答案为：8.
【分析】根据坡比i=可求解.
10．某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB=30m，用高1m（AC=1m）的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示，根据题意可知∠ECG=30°，∠EDG=60°，GF=AC=1m，
在△EGD和△CGE中，∠GED=90°-∠EDG=30°=∠ECG，∠EGD=∠EGC=90°
故△EGD∽△CGE
则EG =GD·GC=EG·tan∠GED·（EG·sin∠GED+CD）=EG·（EG+30）
解得EG=，
则建筑物的高=EG+GF=+1，
故答案为：+1
【分析】在△EGD和△CGE中，根据两角相等，可得出两个三角形相似，通过相似比可得出EG的长度，而建筑物的高是EG+FG，得到答案.
11．（2023九上·沙坪坝期中）如图，在，，，，以为直径的半圆交于点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OD，CD，作OE⊥AD，
在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=4，
∴∠A=30°，AC=BC=4，
∴OC=OA=2，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴CD=AC=2，AD=CD=6，OE∥CD，
∴OE=CD=，
∴△COD为等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴ 则图中阴影部分的面积=△ABC面积-扇形COD的面积-△AOD的面积
=×4×4--×6×
= .
故答案为： .
【分析】连接OD，CD，作OE⊥AD，由圆周角定理可得∠ADC=90°，利用解直角三角形分别求出半径，AD，CD，CD，OE的长，再证△COD为等边三角形，从而推出∠AOD=120°，根据图中阴影部分的面积=△ABC面积-扇形COD的面积-△AOD的面积进行计算即可.
12．（2023九上·长安期中）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算tan45°时，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB，使BD＝AB，连接AD，使得∠D＝15°，所以tan15°＝，类比这种方法，计算tan22.5°＝ ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，作，，延长到点D，使，连接，
则，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】仿照例题，可得，设，解直角三角形求出，则，根据正切的定义，即可求解．
13．（2023九上·莱芜期中）如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进米到点，又测得仰角为，已知该高楼的高度为米，则 米．
【答案】30
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可得，AB⊥DB，
在直角三角形ADB中，tan∠ADB=tan30°==，BD=45；
在直角三角形ABC中，tan∠ACB=tan60°==，BC=15；
∴CD=a=BD-BC=45-15=30；
故答案为：30.
【分析】根据题意，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义分别求出BD和BC，作差即可得到a的值。
三、解答题
14．（2016·天津）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45°，∠B=37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 取1.414．
【答案】解：过点C作CD⊥AB垂足为D
，
在Rt△ACD中，tanA=tan45°= =1，CD=AD，
sinA=sin45°= = ，AC= CD．
在Rt△BCD中，tanB=tan37°= ≈0.75，BD= ；
sinB=sin37°= ≈0.60，CB= ．
∵AD+BD=AB=63，
∴CD+ =63，
解得CD≈27，
AC= CD≈1.414×27=38.178≈38.2，
CB= ≈ =45.0，
答：AC的长约为38.2cm，CB的长约等于45.0m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用线段的和差得出关于CD的方程是解题关键．根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC= CD，CB= ，可得答案．
15．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm.
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踞起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角﹑俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明.（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】（1）如图2，过 作 的垂线分别交仰角、俯角线于点 ，
交水平线于点 ， 在 Rt 中， 小杜最少需要下蹲 208 才能被识别.
（2）如图3，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M，N.交水平线于P，
在 Rt 中， 小若跕起脚尖后头顶的高度为 小若头顶超出点 的高度为 路起脚尖小若能被识别.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，根据∠EAF的正切可求出EF＝AF tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），然后求出CE的长，即可求出最少下蹲的高度即可解答；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，根据∠PAN的正切可得到MP＝AP tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），从而可求得BN的长，根据小若垫起脚尖后头顶的高度，就可求出小若头顶超出垫N的高度，即可解答．
四、综合题
16．（2018·岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．
（1）求点M到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： 1.73，结果精确到0.01米）
【答案】（1）解：如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，
在Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，
∴ON OM＝0.6，
∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9，
即点M到地面的距离是3.9米；
（2）解：取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，
过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，
∵∠GOP＝30°，∴tan30° ，
∴GP OP 0.404，
∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，
∴货车能安全通过．
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1） 如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N， 根据三角形的内角和得出∠M的度数，然后根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出ON的长，进而根据线段的和差算出NB的长，得出答案；
（2） ：取CE＝0.65，EH＝2.55， 根据线段的和差即可算出HB的长， 过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P， 根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 tan30° 即可算出GP的长，根据线段的和差算出GH的长，将GH的长与货车的高度进行比较即可得出结论。
17．（2023·天津市）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．
（1）如图①，求和的大小；
（2）如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长．
【答案】（1）解：在中，半径垂直于弦，
∴，得．
∵，
∴．
∵，
∴．
（2）解：如图，连接．
同（1）得．
∵在中，，
∴．
∴．
又，
∴．
∵与相切于点E，
∴，即．
在中，，
∴．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ，再计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再求出 ，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
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