2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用同步分层训练 培优题
一、选择题
1．（2020·长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A． 米 B． 米 C．21米 D．42米
2．（2024九上·汝城期末）如图是拦水坝的横断面，堤高为米，斜面坡度为：，则斜坡的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．（2022·金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·蒙城月考）如图，在离铁塔100米的处，用测角器测得塔顶的仰角为，测角器高为1.4米，则铁塔的高为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
5．（2023九上·瑶海月考）如图，与，直角顶点重合于点，点在上，且，连接，若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·晋州期中）如图，坡角为的斜坡上有一棵大树（垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2023九上·石家庄月考）如图，若和的面积分别为，，则＝（ ）
A．5：8 B．8：5 C．1：1 D．2：7
8．（2023九上·深圳月考）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD2＝PH CD；④．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图，用4个全等的直角三角形拼成正方形，古人用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中大正方形面积为20，tana=2，则小正方形的面积为 .
10．（2023九上·亳州月考）某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥.一汽车在坡度为的笔直高架桥起点开始爬行，行驶了15米到达点，则此时汽车离地面的高度为 米.
11．（2023九上·永年期中）如图，长尾夹的侧面是△ABC，当AC与AB张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知AB＝AC＝15mm，∠ACB＝70°，则这个长尾夹最大夹纸厚度为 mm．
（结果精确到1mm）
【参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75】
12．（2023九上·绥阳期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝4，点P是直角边BC上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得线段AD，连接CD，则线段CD的最小值是 ．
13．（2023九上·邵阳月考）如图，已知，点在线段上，是底边长为6的等腰三角形且，以为边在的右侧作矩形，连接，点是的中点，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题
14．（2024九上·昌平期末）某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为．请根据他们的测量数据求塔高的长度大约是多少．（参考数据：，，，，，．）
15．如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连结BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°.
（1）若∠BDC=90°，以 AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB= 90°，∠EBA = 30°，连结DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是 .
（2）如图2，在（1）的条件下，若 DE⊥AB，AB=-4，AC=2，求 BC的长.
四、综合题
16．（2023九上·南开月考）如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为．
（1）当旋转角为30°时，求此时点E的坐标；
（2）当旋转角为时，连接，求的值．
（3）在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）．
17．（2023九上·浏阳期中）如图，点，B为x轴上一动点，线段AB的垂直平分线CD交y轴于点D，轴交CD于C，记．
（1）点C的轨迹是
①一条直线；②一条关于y轴对称的折线；③一条抛物线；
（2）求n与m的关系式；
（3）在B的运动过程中，是否存在是等边三角形，如果不存在请说明理由，如果存在请求出此时C的坐标；
（4）当点O到直线CD距离等于2时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42 （米）.
故答案为：A．
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∵斜面坡度为，
∴，
∴米，
∴米，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到，进而根据解直角三角形的知识结合勾股定理即可求解。
3．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，
∵配电房是轴对称图形，BC=6m，
∴BH=HC=3m，
在Rt△AHB中，∠ABH=α，
∴AH=3tanα m，
∵HQ=4m，
∴AQ=AH+HQ=（3tanα+4）m，
即房顶A离地面EF的高度（3tanα+4）m.
故答案为：B.
【分析】如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，由轴对称图形性质，可得BH=HC=3m，再由锐角三角函数正切关系，求得AH=3tanα m，从而得AQ=（3tanα+4）m，即可求得房顶A离地面EF的高度.
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点作，为垂足，如图所示：
则四边形为矩形，米，
米，
在中，，
，
（米，
故答案为：A
【分析】过点作，为垂足，先根据矩形的性质结合题意得到米，进而结合题意解直角三角形即可求解。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】 ，，
AB=AD+BD=7+2=9，
在Rt△ABC中，
又在Rt△BCA中与Rt△DCE中，
即
解得：
故答案为：D.
【分析】先利用三角函数与勾股定理求得AC的长，再证明利用相似三角形的性质列出比列式即可求解.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过点T作TA⊥MN，交MN的延长线于点A，如图所示：
∴∠NTA=30°，
∵TN=30，
∴TA=TN×cos∠NTA=30×cos30°=，NA=TN=15，
在Rt△MTA中，∠MTA=45°，
∴MA=TA=，
∴MN=MA-NA=，
故答案为：C.
【分析】过点T作TA⊥MN，交MN的延长线于点A，先利用解直角三角形的方法求出TA和NA的长，再利用线段的和差求出MN的长即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】如图，过点A作AMBC于点M，过点D作DNEF交FE的延长线于N，
S△ABC=
故答案为：C.
【分析】过点A作AMBC于点M，过点D作DNEF交FE的延长线于N，根据锐角三角函数表示出分别表示出 和 的面积，进行比较即可得出结论.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD =∠ADC =90°，∠DBC =45°，BC=CD.
∵△BPC是等边三角形，
∴PC=BC，∠BCP =∠PBC =∠BPH=60°.
∴PC=CD，∠PCD=30°.
∴∠PDC=75°.
∴∠FDP=15°.
∴∠BCH=180°-∠DBC -∠BCP =75°.
∵∠DHF=∠BCH=75°，
∴∠DHF=5∠FDP，故①错误；
∵∠PBD=∠PBC - ∠DBC=15°，
∴∠FDP=∠PBD.
∵AD∥BC，
∴∠DFP=∠BCP=60°.
∴∠DFP=∠BPH.
∴△DFP△BPH，故②正确；
∵∠PDC=∠DHF，∠DPH=∠CPD，
∴△DPH△CPD.
∴
∴PD2= PH·PC= PH·CD，故③正确；
如图，作PM⊥CD，PN⊥BC.
设正方形的边长为a.
根据题意可知，PN=PB·sin60°=a，PM=PC·sin30°=a.
∴
∴，故④错误.
综上所述，正确的是②③，有2个，
故答案为：B．
【分析】 ① 首先根据正方形和等边三角形的性质求出∠PDC和∠FDP，然后根据三角形内角和定理求出∠BCH，进而可判断①错误； ② 根据∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPH可判断②正确；③先判断△DPH△CPD，然后根据相似三角形的性质即可判断③正确；④设正方形的边长为a，然后分别用a表示出和S正方形ABCD即可判断④错误．
9．【答案】4
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：设直角三角形长的直角边长为a，短的直角边长为b，斜边为c，
∵“弦图”中大正方形面积为20，tanα＝2，
∴，
解得：，
∴小正方形的边长为a﹣b＝4﹣2＝2，
∴小正方形的面积为2×2＝4，
故答案为：4．
【分析】先设出直角三角形的边长，然后根据“弦图”中大正方形面积为20，tanα＝2，可得解方程组则可求得三角形的三边长，然后根据小正方形的边长为a﹣b=2，从而可求得小正方形的面积即可解答．
10．【答案】7.5
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】
解：如图所示，过点B作BC⊥AC，根据题意可得：tanA=，AB=15米
∴ ∠BAC=30°
∴ sin30°=
∴ BC=7.5米
【分析】本题考查解直角三角形--坡度，特殊三角函数的定义与应用，坡度是指坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，也就是斜坡与水平面夹角的正切值，表示坡度系数。根据题意得tanA=得 ∠BAC=30° 则sin30°=，可得 BC=7.5米 .
11．【答案】10
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】∵当AC与AB张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，
∴这个长尾夹最大夹纸厚度即为BC的长，
过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵AB=AC=15mm，∠ACB=70°，
∴CD=BD，
∵∠ADC=90°，
∴，
∴CD=AC×cos∠ACB=15×0.34=5.1mm，
∴BC=2AC=2×5.1=10.2≈10mm，
故答案为：10.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先结合求出CD的长，再求出BC的长即可.
12．【答案】2
【知识点】垂线段最短；矩形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：将线段AC 绕点A顺时针旋转60°得线段AE，连接DE，则点D在DE上移动，当CD⊥DE时，线段CD的值最小。
过点C作CF⊥AE于点F，
由旋转性质知：，
∴∠AED=∠ACP=90°，
又CD⊥DE，CF⊥AE，
∴四边形EDCF是矩形，
∴CD=EF，
在中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝4，
∴AC=BCtan30°=4×=4，
∴AE=AC=4，
在Rt中，∠AFC=90°，∠FAC=60°，
∴AF=AC×cos60°=4×=2，
∴EF=AE-AF=4-2=2，
∴CD=2.
故答案为：2.
【分析】首先化动为静得出当CD⊥DE时，线段CD的值最小，然后先求出AE的长，再求出AF的长，即可得出CD=EF=2即可。
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，交于，过点D作，垂足为点H，
四边形是矩形，点是的中点，
点在对角线，的交点，
，
，
，
点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：
【分析】连接，过点作于，交于，过点D作，垂足为点H，先根据矩形的性质即可得到，进而结合题意即可得到点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，进而得到，，从而结合题意解直角三角形即可求解。
14．【答案】解：根据题意，得，，，．
∴，，，，
∵在中，，
∴，
∴．
设AG为，则，，
在中，，
∴，
则，
解得，
∴，
答：塔高的长约为22.5m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意可得，，，，设AG为，则，，在中，根据锐角三角函数定义可得，则，即可求出答案.
15．【答案】（1）
（2）解：延长DE交AB于F，如图：
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
在中，
∵
∴
∴
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：；
【分析】（1）先证明得到进而可证明即可得到进而即可求解；
（2）延长DE交AB于F，利用已知条件和三角函数求出EF和AF得长度，进而得到BF的长度，结合（1）中求出DE的长，然后在中，利用勾股定理求出BD得长度，最后利用相似三角形的性质得到进而即可求解.
16．【答案】（1）过点作于，
由题意，
，
，
；
（2）过点作于，如图②，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
；
（3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．
过点作轴于，过点作于．
，
，
，，
∴，
，
，，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）过点E作EF⊥OA于点F，解直角三角形求出EF和OF，得到答案即可；
（2）过点E作EF⊥OA于点F，根据勾股定理求出答案；
（3）当OE⊥AE时，∠OAE的值最大，根据勾股定理求出AE=3，继而由全等三角形的判定和性质求出答案。
17．【答案】（1）③
（2）解：同（1）解答
（3）解：在B的运动过程中，存在是等边三角形，此时A在BC的垂直平分线上，
∵
∴C的纵坐标为，令，则
，解得
∴和；
（4）解：．
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）如图：
作轴于H
∵，
∴，，
∵CD是AB的垂直平分线
∴
∴
整理得：
故点C运动的轨迹为抛物线，
故答案为：③；
（4）由（2）知，点，设点E是和的交点，则点E是的中点，
∵，，
则点，
设直线的表达式为，
把代入得，，
解得，
∵直线的表达式为：，
当时，，即点，
过点O作于点T，则，
则中，，
∵，
∴，
则且，
整理得：，
解得： （不合题意的值已舍去），
即当点O到直线距离等于2时，．
【分析】（1）根据二次函数的性质，结合垂直平分线的判定与性质求解。由是的垂直平分线，得到，即可求解；
（2）（1）中求出的关系式就是n与m的关系式；
（3）根据二次函数的性质，结合等边三角形的性质求解。在B的运动过程中，存在是等边三角形，此时A在的垂直平分线上，即可求解；
（4）根据二次函数与特殊三角形问题求解。证明，则且，即可求解．
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用同步分层训练 培优题
一、选择题
1．（2020·长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A． 米 B． 米 C．21米 D．42米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42 （米）.
故答案为：A．
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
2．（2024九上·汝城期末）如图是拦水坝的横断面，堤高为米，斜面坡度为：，则斜坡的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∵斜面坡度为，
∴，
∴米，
∴米，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到，进而根据解直角三角形的知识结合勾股定理即可求解。
3．（2022·金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，
∵配电房是轴对称图形，BC=6m，
∴BH=HC=3m，
在Rt△AHB中，∠ABH=α，
∴AH=3tanα m，
∵HQ=4m，
∴AQ=AH+HQ=（3tanα+4）m，
即房顶A离地面EF的高度（3tanα+4）m.
故答案为：B.
【分析】如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，由轴对称图形性质，可得BH=HC=3m，再由锐角三角函数正切关系，求得AH=3tanα m，从而得AQ=（3tanα+4）m，即可求得房顶A离地面EF的高度.
4．（2023九上·蒙城月考）如图，在离铁塔100米的处，用测角器测得塔顶的仰角为，测角器高为1.4米，则铁塔的高为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点作，为垂足，如图所示：
则四边形为矩形，米，
米，
在中，，
，
（米，
故答案为：A
【分析】过点作，为垂足，先根据矩形的性质结合题意得到米，进而结合题意解直角三角形即可求解。
5．（2023九上·瑶海月考）如图，与，直角顶点重合于点，点在上，且，连接，若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】 ，，
AB=AD+BD=7+2=9，
在Rt△ABC中，
又在Rt△BCA中与Rt△DCE中，
即
解得：
故答案为：D.
【分析】先利用三角函数与勾股定理求得AC的长，再证明利用相似三角形的性质列出比列式即可求解.
6．（2023九上·晋州期中）如图，坡角为的斜坡上有一棵大树（垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过点T作TA⊥MN，交MN的延长线于点A，如图所示：
∴∠NTA=30°，
∵TN=30，
∴TA=TN×cos∠NTA=30×cos30°=，NA=TN=15，
在Rt△MTA中，∠MTA=45°，
∴MA=TA=，
∴MN=MA-NA=，
故答案为：C.
【分析】过点T作TA⊥MN，交MN的延长线于点A，先利用解直角三角形的方法求出TA和NA的长，再利用线段的和差求出MN的长即可.
7．（2023九上·石家庄月考）如图，若和的面积分别为，，则＝（ ）
A．5：8 B．8：5 C．1：1 D．2：7
【答案】C
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】如图，过点A作AMBC于点M，过点D作DNEF交FE的延长线于N，
S△ABC=
故答案为：C.
【分析】过点A作AMBC于点M，过点D作DNEF交FE的延长线于N，根据锐角三角函数表示出分别表示出 和 的面积，进行比较即可得出结论.
8．（2023九上·深圳月考）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD2＝PH CD；④．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD =∠ADC =90°，∠DBC =45°，BC=CD.
∵△BPC是等边三角形，
∴PC=BC，∠BCP =∠PBC =∠BPH=60°.
∴PC=CD，∠PCD=30°.
∴∠PDC=75°.
∴∠FDP=15°.
∴∠BCH=180°-∠DBC -∠BCP =75°.
∵∠DHF=∠BCH=75°，
∴∠DHF=5∠FDP，故①错误；
∵∠PBD=∠PBC - ∠DBC=15°，
∴∠FDP=∠PBD.
∵AD∥BC，
∴∠DFP=∠BCP=60°.
∴∠DFP=∠BPH.
∴△DFP△BPH，故②正确；
∵∠PDC=∠DHF，∠DPH=∠CPD，
∴△DPH△CPD.
∴
∴PD2= PH·PC= PH·CD，故③正确；
如图，作PM⊥CD，PN⊥BC.
设正方形的边长为a.
根据题意可知，PN=PB·sin60°=a，PM=PC·sin30°=a.
∴
∴，故④错误.
综上所述，正确的是②③，有2个，
故答案为：B．
【分析】 ① 首先根据正方形和等边三角形的性质求出∠PDC和∠FDP，然后根据三角形内角和定理求出∠BCH，进而可判断①错误； ② 根据∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPH可判断②正确；③先判断△DPH△CPD，然后根据相似三角形的性质即可判断③正确；④设正方形的边长为a，然后分别用a表示出和S正方形ABCD即可判断④错误．
二、填空题
9．如图，用4个全等的直角三角形拼成正方形，古人用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中大正方形面积为20，tana=2，则小正方形的面积为 .
【答案】4
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：设直角三角形长的直角边长为a，短的直角边长为b，斜边为c，
∵“弦图”中大正方形面积为20，tanα＝2，
∴，
解得：，
∴小正方形的边长为a﹣b＝4﹣2＝2，
∴小正方形的面积为2×2＝4，
故答案为：4．
【分析】先设出直角三角形的边长，然后根据“弦图”中大正方形面积为20，tanα＝2，可得解方程组则可求得三角形的三边长，然后根据小正方形的边长为a﹣b=2，从而可求得小正方形的面积即可解答．
10．（2023九上·亳州月考）某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥.一汽车在坡度为的笔直高架桥起点开始爬行，行驶了15米到达点，则此时汽车离地面的高度为 米.
【答案】7.5
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】
解：如图所示，过点B作BC⊥AC，根据题意可得：tanA=，AB=15米
∴ ∠BAC=30°
∴ sin30°=
∴ BC=7.5米
【分析】本题考查解直角三角形--坡度，特殊三角函数的定义与应用，坡度是指坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，也就是斜坡与水平面夹角的正切值，表示坡度系数。根据题意得tanA=得 ∠BAC=30° 则sin30°=，可得 BC=7.5米 .
11．（2023九上·永年期中）如图，长尾夹的侧面是△ABC，当AC与AB张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知AB＝AC＝15mm，∠ACB＝70°，则这个长尾夹最大夹纸厚度为 mm．
（结果精确到1mm）
【参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75】
【答案】10
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】∵当AC与AB张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，
∴这个长尾夹最大夹纸厚度即为BC的长，
过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵AB=AC=15mm，∠ACB=70°，
∴CD=BD，
∵∠ADC=90°，
∴，
∴CD=AC×cos∠ACB=15×0.34=5.1mm，
∴BC=2AC=2×5.1=10.2≈10mm，
故答案为：10.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先结合求出CD的长，再求出BC的长即可.
12．（2023九上·绥阳期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝4，点P是直角边BC上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得线段AD，连接CD，则线段CD的最小值是 ．
【答案】2
【知识点】垂线段最短；矩形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：将线段AC 绕点A顺时针旋转60°得线段AE，连接DE，则点D在DE上移动，当CD⊥DE时，线段CD的值最小。
过点C作CF⊥AE于点F，
由旋转性质知：，
∴∠AED=∠ACP=90°，
又CD⊥DE，CF⊥AE，
∴四边形EDCF是矩形，
∴CD=EF，
在中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝4，
∴AC=BCtan30°=4×=4，
∴AE=AC=4，
在Rt中，∠AFC=90°，∠FAC=60°，
∴AF=AC×cos60°=4×=2，
∴EF=AE-AF=4-2=2，
∴CD=2.
故答案为：2.
【分析】首先化动为静得出当CD⊥DE时，线段CD的值最小，然后先求出AE的长，再求出AF的长，即可得出CD=EF=2即可。
13．（2023九上·邵阳月考）如图，已知，点在线段上，是底边长为6的等腰三角形且，以为边在的右侧作矩形，连接，点是的中点，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，交于，过点D作，垂足为点H，
四边形是矩形，点是的中点，
点在对角线，的交点，
，
，
，
点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：
【分析】连接，过点作于，交于，过点D作，垂足为点H，先根据矩形的性质即可得到，进而结合题意即可得到点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，进而得到，，从而结合题意解直角三角形即可求解。
三、解答题
14．（2024九上·昌平期末）某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为．请根据他们的测量数据求塔高的长度大约是多少．（参考数据：，，，，，．）
【答案】解：根据题意，得，，，．
∴，，，，
∵在中，，
∴，
∴．
设AG为，则，，
在中，，
∴，
则，
解得，
∴，
答：塔高的长约为22.5m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意可得，，，，设AG为，则，，在中，根据锐角三角函数定义可得，则，即可求出答案.
15．如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连结BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°.
（1）若∠BDC=90°，以 AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB= 90°，∠EBA = 30°，连结DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是 .
（2）如图2，在（1）的条件下，若 DE⊥AB，AB=-4，AC=2，求 BC的长.
【答案】（1）
（2）解：延长DE交AB于F，如图：
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
在中，
∵
∴
∴
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：；
【分析】（1）先证明得到进而可证明即可得到进而即可求解；
（2）延长DE交AB于F，利用已知条件和三角函数求出EF和AF得长度，进而得到BF的长度，结合（1）中求出DE的长，然后在中，利用勾股定理求出BD得长度，最后利用相似三角形的性质得到进而即可求解.
四、综合题
16．（2023九上·南开月考）如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为．
（1）当旋转角为30°时，求此时点E的坐标；
（2）当旋转角为时，连接，求的值．
（3）在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）．
【答案】（1）过点作于，
由题意，
，
，
；
（2）过点作于，如图②，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
；
（3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．
过点作轴于，过点作于．
，
，
，，
∴，
，
，，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）过点E作EF⊥OA于点F，解直角三角形求出EF和OF，得到答案即可；
（2）过点E作EF⊥OA于点F，根据勾股定理求出答案；
（3）当OE⊥AE时，∠OAE的值最大，根据勾股定理求出AE=3，继而由全等三角形的判定和性质求出答案。
17．（2023九上·浏阳期中）如图，点，B为x轴上一动点，线段AB的垂直平分线CD交y轴于点D，轴交CD于C，记．
（1）点C的轨迹是
①一条直线；②一条关于y轴对称的折线；③一条抛物线；
（2）求n与m的关系式；
（3）在B的运动过程中，是否存在是等边三角形，如果不存在请说明理由，如果存在请求出此时C的坐标；
（4）当点O到直线CD距离等于2时，直接写出的值．
【答案】（1）③
（2）解：同（1）解答
（3）解：在B的运动过程中，存在是等边三角形，此时A在BC的垂直平分线上，
∵
∴C的纵坐标为，令，则
，解得
∴和；
（4）解：．
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）如图：
作轴于H
∵，
∴，，
∵CD是AB的垂直平分线
∴
∴
整理得：
故点C运动的轨迹为抛物线，
故答案为：③；
（4）由（2）知，点，设点E是和的交点，则点E是的中点，
∵，，
则点，
设直线的表达式为，
把代入得，，
解得，
∵直线的表达式为：，
当时，，即点，
过点O作于点T，则，
则中，，
∵，
∴，
则且，
整理得：，
解得： （不合题意的值已舍去），
即当点O到直线距离等于2时，．
【分析】（1）根据二次函数的性质，结合垂直平分线的判定与性质求解。由是的垂直平分线，得到，即可求解；
（2）（1）中求出的关系式就是n与m的关系式；
（3）根据二次函数的性质，结合等边三角形的性质求解。在B的运动过程中，存在是等边三角形，此时A在的垂直平分线上，即可求解；
（4）根据二次函数与特殊三角形问题求解。证明，则且，即可求解．
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