2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 29.1 投影同步分层训练 提升题
一、选择题
1．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022九上·浑南期末）下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子
3．（2023·萧县模拟）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·安次模拟）如图，一直角边长为4cm的等腰直角三角板在灯光照射下形成投影，该三角板与其投影的相似比为2∶3．则投影三角形的面积为（ ）
A．36 B．18 C．16 D．20
5．（2022·新都模拟）三根等长的木杆竖直地立在平地的同一个圆周上，圆心处有一盏灯光，其俯视图如图所示，图中画出了其中一根木杆在灯光下的影子.下列四幅图中正确画出另两根木杆在同一灯光下的影子的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·上思模拟）如图，小颖身高为 ，在阳光下影长 ，当她走到距离墙角（点 ） 的 处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子 的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·佛山月考）如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）
A．(3)(4)(1)(2) B．(4)(3)(1)(2)
C．(4)(3)(2)(1) D．(2)(4)(3)(1)
8．（2021九上·佛山月考）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A．3m B．4m C．4.5m D．5m
二、填空题
9．（2023九上·崂山期中）小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为 米．
10．（2023·云梦模拟）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为 .（，，结果精确到）
11．（2023·江西模拟）《孙子算经》有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸．问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹笨不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五．同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸．请你算一算竹竿的长度是 尺．（1丈等于10尺，1尺等于10寸）
12．（2023九上·府谷期末）如图，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是 投影.（填“平行”或“中心”）.
13．（2022九上·门头沟期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为 寸．
三、解答题
14．（2023九上·西安期末）在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高.
15．（2023·渭南模拟）“创新实践”小组想利用所学知识测量大树的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离，他们制定了如下的测量方案：如图所示，小丽通过调整测角仪的位置，在大树周围的点C处用测角仪测得大树顶部A的仰角为（测角仪的高度忽略不计）.接着，小丽沿着方向向前走3米（即米），到达大树在太阳光下的影子末端D处，此时小明测得小丽在太阳光下的影长为2米.已知小丽的身高为1.5米，B、C、D、F四点在同一直线上，，求这棵大树的高度.
四、综合题
16．（2023·深圳模拟）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．
在平面直角坐标系中，针对目标图形G，可以用其投影矩形来检测．图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．
（1）如图3，点，，则投影比k的值为 ；
（2）如图4，若点，点且投影比，则点P的坐标可能是 （填写序号）；
；；；．
（3）如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点D，若的投影比，求点D的坐标．
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册5.1 投影课时作业（2）同步练习）如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段 表示站立在广场上的小亮，线段 表示直立在广场上的灯杆，点 表示照明灯的位置．
（1）在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度越来越 （用“长”或“短”填空）；请你在图中画出小亮站在 处的影子 ；
（2）当小亮离开灯杆的距离 时，身高为 的小亮的影长为 ，
①灯杆的高度为多少 ？
②当小亮离开灯杆的距离 时，小亮的影长变为多少 ？
18．（2023·鹿城模拟）根据信息，完成活动任务.
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系.
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
的长（cm）
的长（cm） 30
（1）【任务1】如图2，作于点，设，，求y关于x的函数表达式.
（2）活动二 设计该地房子的数量与层数.
在长方形土地上按图3所示设计n幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示.现要求每幢楼层数不超过，每层楼高度为3米.
【任务2】当1号楼层数为时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上.
（3）【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格.
①所有房子层数总和超过.
②正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上.
方案设计
每幢楼层数 n的值 层数总和
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的图象；中心投影
【解析】【解答】解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：
当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；
当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，
∴用图象刻画出来应为C．
故选：C．
【分析】根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象．
2．【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
故答案为：A．
【分析】根据中心投影的定义求解即可。
3．【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，由题意得，，
，
光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，
点A到的垂线段的长为，点A到的垂线段的长为，
，
，
故答案为：C．
【分析】先证明，可得，再求出即可。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】解： 由题可知直角三角形的面积为，
设投影三角形的面积为，
三角形面积的比等于相似比平方，
，
解得．
故答案为：B．
【分析】先求出直角三角形的面积，再根据三角形面积的比等于相似比平方即可求出投影三角形的面积。
5．【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：A、根据中心投影的意义，结合中心投影下影子的位置、长短关系可知，选项A符合题意；
B、由于是中心投影，根据三个杆子的位置可知，三个杆子的影子的位置不是同一个方向，因此选项B不符合题意；
C、根据光源在圆心，结合其影子的位置可知，故选项C不符合题意；
D、利用中心投影下影子位置可得，选项D中的杆子的位置与影子不相匹配，因此选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据中心投影的意义以及影子的位置进行判断即可.
6．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，过E作EF⊥CG于F，
设投射在墙上的影子DE长度为x，
由题意得：△GFE∽△HAB，
∴AB：FE＝AH：（GC x），
则240：120＝160：（160 x），
解得：x＝80.
答：投射在墙上的影子DE长度为80cm.
故答案为：B.
【分析】如图，过E作EF⊥CG于F，设投射在墙上的影子DE长度为x，由平行投影的性质得△GFE∽△HAB，于是可得比例式AB：FE＝AH：（GC x），解之可求解.
7．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的特点和规律求解即可。
8．【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m
∴ ，代入得：
∴m
故答案为：D
【分析】先求出，再代入计算求解即可。
9．【答案】
【知识点】平行投影
【解析】【解答】设楼高为x米，
根据题意可得：，
解得：x=，
故答案为：.
【分析】设楼高为x米，根据平行投影可得，再求出x的值即可.
10．【答案】4.4m
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；平行投影
【解析】【解答】解：由题意可知，
，
，，
在中，，，
，
（），
（），
，
，
，
即：，
解得：（m），
故答案为：.
【分析】由题意得AD∥CP，EF∥DP，根据平行线的性质得∠DPC=∠ADB=∠FEC=30°，由∠ADB的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出AB的长，进而由线段的和差算出BC的长，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ADB∽△CPB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CP的长.
11．【答案】45
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长：一丈五尺尺，标杆长：一尺五寸尺，影长五寸尺，
∴
解得（尺）．
答：竹竿的长度是45尺．
故答案为：45
【分析】根据题意先求出，再解方程求解即可。
12．【答案】中心
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：由于光源是由一点发出的，因此是中心投影.
故答案为：中心.
【分析】根据平行投影以及中心投影的概念进行判断.
13．【答案】450
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为x寸，
∵竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸，
∴，
解得．
答：竹竿长为450寸，
故答案为：450．
【分析】设竹竿的长度为x寸，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
14．【答案】解：如图，过点G作交于H， 则四边形是矩形，
所以，，，
由同一时刻物高与影长成比例可得：
∴，
∴，
∴.
答：旗杆的高是.
【知识点】平行投影
【解析】【分析】过点G作GH∥EF交DE于H， 则四边形EFGH是矩形，GH=EF=10m，EH=FG=1.5m，由同一时刻物高与影长成比例可得， 代入数据求出DH的值，然后根据DE=DH+EH进行计算.
15．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴
∴，解得米.
答：这棵大树高度为9米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；平行投影
【解析】【分析】在Rt△ABC中∠ACB=45°，故AB=BC，则BD=BC+CD=(AB+3)米，根据太阳光线是平行光线可得∠EFD=∠ADB，从而判断出△EDF∽△ABD，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得AB的长.
16．【答案】（1）
（2）
（3）解：点D在函数（其中）的图象上，
设点D坐标为，
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
，
，
解得：，
；
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
点D坐标为，点M坐标为，
，，
，
，
，
解得：，
点D的坐标为，
综上所述，点D的坐标为或．
【知识点】矩形的性质；平行投影
【解析】【解答】解：（1）(1)过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为D、C，
如图3：，
则矩形ODBC为△OAB的投影矩形，
∵B(3，5)，
∴BD=5，BC=3，
∴△OAB的投影比k的值为，
故答案为：，
（2）如图：
，
①点P的坐标为(1，-5)时，△MNP投影比k==2；
②点P的坐标为(0，2)时，△MNP投影比k=；
③点P的坐标为(-3，)时，△MNP投影比k=；
④点P的坐标为(4，-1)时，△MNP投影比k=；
∴点P的坐标可能是①（1，-5）；③；
故答案为：①③.
【分析】（1）根据题意先求出BD=5，BC=3，再求解即可；
（2）先作图，再根据投影比的定义求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，计算求解即可。
17．【答案】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；如图所示， 即为所求；
（2）解：①先设 米，则当 米时， 米，
∵AB//PO，
∴△AEB∽△PEO，
∴ ，即 ，
∴ ；
②当 时，设小亮的影长是 米，
∵CD//OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即小亮的影长是 米
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1） 在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中， 投影线与地面的夹角越来越大， 他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 连接PA并延长交地面于点E，BE就是小亮的影子；
（2） ①先设 米，则当 米时， 米， 根据中心投影的性质得出 △AEB∽△PEO， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式建立方程，求解即可； ②当 时，设小亮的影长是 米， 根据中心投影的性质得出 △FCD∽△FPO， 根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可。
18．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为，
当时，，，
，
当时，，，
，
代入解析式得：，
解得：，
关于x的函数表达式为，经检验符合题意.
（2）解：将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作于M当1号楼层为24时，的长为：，
的长为：，
，
，
，
，
，，
，，
而，
正午时1号楼的影子会落在2号楼的墙上.
（3）解：由任务2可得： ，
，
∴，
正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，
∴，
解得：，
∵每层楼高3米，
∴，
∴每幢房子最多7层，
∴，
∴，
∴，层数为，
，层数为，总和为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）任务一：分AB=10cm与AB=20cm两种情况，用∠BCD的正弦函数的定义分别求出BH的长，从而利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）任务二： 将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作BM⊥CG于M当1号楼层为24时，AB的长为：24×3=72m，BH的长为1.2×72=86.4m， 由∠BCD的正弦函数定义可求出BC的长，进而根据勾股定理算出CH的长，从而可求出∠BCD的余弦函数值，根据平行间的距离相等得BM=CH=64.8m，EG=BC=108m，再比较即可得出答案；
（3）任务三：由任务二可得BH=y=x=AB，利用∠BCD的正弦函数可得BC=x，用∠BCD的余弦函数可得CH=x，由正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，列出不等式求解得出x的取值范围，并结合题意可得每幢房子最多层数，进而即可算出楼栋数量及层数总和.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册 29.1 投影同步分层训练 提升题
一、选择题
1．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；中心投影
【解析】【解答】解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：
当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；
当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，
∴用图象刻画出来应为C．
故选：C．
【分析】根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象．
2．（2022九上·浑南期末）下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子
【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
故答案为：A．
【分析】根据中心投影的定义求解即可。
3．（2023·萧县模拟）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，由题意得，，
，
光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，
点A到的垂线段的长为，点A到的垂线段的长为，
，
，
故答案为：C．
【分析】先证明，可得，再求出即可。
4．（2022·安次模拟）如图，一直角边长为4cm的等腰直角三角板在灯光照射下形成投影，该三角板与其投影的相似比为2∶3．则投影三角形的面积为（ ）
A．36 B．18 C．16 D．20
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】解： 由题可知直角三角形的面积为，
设投影三角形的面积为，
三角形面积的比等于相似比平方，
，
解得．
故答案为：B．
【分析】先求出直角三角形的面积，再根据三角形面积的比等于相似比平方即可求出投影三角形的面积。
5．（2022·新都模拟）三根等长的木杆竖直地立在平地的同一个圆周上，圆心处有一盏灯光，其俯视图如图所示，图中画出了其中一根木杆在灯光下的影子.下列四幅图中正确画出另两根木杆在同一灯光下的影子的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：A、根据中心投影的意义，结合中心投影下影子的位置、长短关系可知，选项A符合题意；
B、由于是中心投影，根据三个杆子的位置可知，三个杆子的影子的位置不是同一个方向，因此选项B不符合题意；
C、根据光源在圆心，结合其影子的位置可知，故选项C不符合题意；
D、利用中心投影下影子位置可得，选项D中的杆子的位置与影子不相匹配，因此选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据中心投影的意义以及影子的位置进行判断即可.
6．（2022·上思模拟）如图，小颖身高为 ，在阳光下影长 ，当她走到距离墙角（点 ） 的 处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，过E作EF⊥CG于F，
设投射在墙上的影子DE长度为x，
由题意得：△GFE∽△HAB，
∴AB：FE＝AH：（GC x），
则240：120＝160：（160 x），
解得：x＝80.
答：投射在墙上的影子DE长度为80cm.
故答案为：B.
【分析】如图，过E作EF⊥CG于F，设投射在墙上的影子DE长度为x，由平行投影的性质得△GFE∽△HAB，于是可得比例式AB：FE＝AH：（GC x），解之可求解.
7．（2021九上·佛山月考）如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）
A．(3)(4)(1)(2) B．(4)(3)(1)(2)
C．(4)(3)(2)(1) D．(2)(4)(3)(1)
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的特点和规律求解即可。
8．（2021九上·佛山月考）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A．3m B．4m C．4.5m D．5m
【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m
∴ ，代入得：
∴m
故答案为：D
【分析】先求出，再代入计算求解即可。
二、填空题
9．（2023九上·崂山期中）小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为 米．
【答案】
【知识点】平行投影
【解析】【解答】设楼高为x米，
根据题意可得：，
解得：x=，
故答案为：.
【分析】设楼高为x米，根据平行投影可得，再求出x的值即可.
10．（2023·云梦模拟）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为 .（，，结果精确到）
【答案】4.4m
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；平行投影
【解析】【解答】解：由题意可知，
，
，，
在中，，，
，
（），
（），
，
，
，
即：，
解得：（m），
故答案为：.
【分析】由题意得AD∥CP，EF∥DP，根据平行线的性质得∠DPC=∠ADB=∠FEC=30°，由∠ADB的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出AB的长，进而由线段的和差算出BC的长，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ADB∽△CPB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CP的长.
11．（2023·江西模拟）《孙子算经》有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸．问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹笨不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五．同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸．请你算一算竹竿的长度是 尺．（1丈等于10尺，1尺等于10寸）
【答案】45
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长：一丈五尺尺，标杆长：一尺五寸尺，影长五寸尺，
∴
解得（尺）．
答：竹竿的长度是45尺．
故答案为：45
【分析】根据题意先求出，再解方程求解即可。
12．（2023九上·府谷期末）如图，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是 投影.（填“平行”或“中心”）.
【答案】中心
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：由于光源是由一点发出的，因此是中心投影.
故答案为：中心.
【分析】根据平行投影以及中心投影的概念进行判断.
13．（2022九上·门头沟期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为 寸．
【答案】450
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为x寸，
∵竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸，
∴，
解得．
答：竹竿长为450寸，
故答案为：450．
【分析】设竹竿的长度为x寸，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
三、解答题
14．（2023九上·西安期末）在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高.
【答案】解：如图，过点G作交于H， 则四边形是矩形，
所以，，，
由同一时刻物高与影长成比例可得：
∴，
∴，
∴.
答：旗杆的高是.
【知识点】平行投影
【解析】【分析】过点G作GH∥EF交DE于H， 则四边形EFGH是矩形，GH=EF=10m，EH=FG=1.5m，由同一时刻物高与影长成比例可得， 代入数据求出DH的值，然后根据DE=DH+EH进行计算.
15．（2023·渭南模拟）“创新实践”小组想利用所学知识测量大树的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离，他们制定了如下的测量方案：如图所示，小丽通过调整测角仪的位置，在大树周围的点C处用测角仪测得大树顶部A的仰角为（测角仪的高度忽略不计）.接着，小丽沿着方向向前走3米（即米），到达大树在太阳光下的影子末端D处，此时小明测得小丽在太阳光下的影长为2米.已知小丽的身高为1.5米，B、C、D、F四点在同一直线上，，求这棵大树的高度.
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴
∴，解得米.
答：这棵大树高度为9米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；平行投影
【解析】【分析】在Rt△ABC中∠ACB=45°，故AB=BC，则BD=BC+CD=(AB+3)米，根据太阳光线是平行光线可得∠EFD=∠ADB，从而判断出△EDF∽△ABD，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得AB的长.
四、综合题
16．（2023·深圳模拟）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．
在平面直角坐标系中，针对目标图形G，可以用其投影矩形来检测．图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．
（1）如图3，点，，则投影比k的值为 ；
（2）如图4，若点，点且投影比，则点P的坐标可能是 （填写序号）；
；；；．
（3）如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点D，若的投影比，求点D的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）解：点D在函数（其中）的图象上，
设点D坐标为，
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
，
，
解得：，
；
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
点D坐标为，点M坐标为，
，，
，
，
，
解得：，
点D的坐标为，
综上所述，点D的坐标为或．
【知识点】矩形的性质；平行投影
【解析】【解答】解：（1）(1)过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为D、C，
如图3：，
则矩形ODBC为△OAB的投影矩形，
∵B(3，5)，
∴BD=5，BC=3，
∴△OAB的投影比k的值为，
故答案为：，
（2）如图：
，
①点P的坐标为(1，-5)时，△MNP投影比k==2；
②点P的坐标为(0，2)时，△MNP投影比k=；
③点P的坐标为(-3，)时，△MNP投影比k=；
④点P的坐标为(4，-1)时，△MNP投影比k=；
∴点P的坐标可能是①（1，-5）；③；
故答案为：①③.
【分析】（1）根据题意先求出BD=5，BC=3，再求解即可；
（2）先作图，再根据投影比的定义求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，计算求解即可。
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册5.1 投影课时作业（2）同步练习）如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段 表示站立在广场上的小亮，线段 表示直立在广场上的灯杆，点 表示照明灯的位置．
（1）在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度越来越 （用“长”或“短”填空）；请你在图中画出小亮站在 处的影子 ；
（2）当小亮离开灯杆的距离 时，身高为 的小亮的影长为 ，
①灯杆的高度为多少 ？
②当小亮离开灯杆的距离 时，小亮的影长变为多少 ？
【答案】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；如图所示， 即为所求；
（2）解：①先设 米，则当 米时， 米，
∵AB//PO，
∴△AEB∽△PEO，
∴ ，即 ，
∴ ；
②当 时，设小亮的影长是 米，
∵CD//OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即小亮的影长是 米
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1） 在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中， 投影线与地面的夹角越来越大， 他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 连接PA并延长交地面于点E，BE就是小亮的影子；
（2） ①先设 米，则当 米时， 米， 根据中心投影的性质得出 △AEB∽△PEO， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式建立方程，求解即可； ②当 时，设小亮的影长是 米， 根据中心投影的性质得出 △FCD∽△FPO， 根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可。
18．（2023·鹿城模拟）根据信息，完成活动任务.
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系.
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
的长（cm）
的长（cm） 30
（1）【任务1】如图2，作于点，设，，求y关于x的函数表达式.
（2）活动二 设计该地房子的数量与层数.
在长方形土地上按图3所示设计n幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示.现要求每幢楼层数不超过，每层楼高度为3米.
【任务2】当1号楼层数为时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上.
（3）【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格.
①所有房子层数总和超过.
②正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上.
方案设计
每幢楼层数 n的值 层数总和
【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为，
当时，，，
，
当时，，，
，
代入解析式得：，
解得：，
关于x的函数表达式为，经检验符合题意.
（2）解：将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作于M当1号楼层为24时，的长为：，
的长为：，
，
，
，
，
，，
，，
而，
正午时1号楼的影子会落在2号楼的墙上.
（3）解：由任务2可得： ，
，
∴，
正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，
∴，
解得：，
∵每层楼高3米，
∴，
∴每幢房子最多7层，
∴，
∴，
∴，层数为，
，层数为，总和为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）任务一：分AB=10cm与AB=20cm两种情况，用∠BCD的正弦函数的定义分别求出BH的长，从而利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）任务二： 将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作BM⊥CG于M当1号楼层为24时，AB的长为：24×3=72m，BH的长为1.2×72=86.4m， 由∠BCD的正弦函数定义可求出BC的长，进而根据勾股定理算出CH的长，从而可求出∠BCD的余弦函数值，根据平行间的距离相等得BM=CH=64.8m，EG=BC=108m，再比较即可得出答案；
（3）任务三：由任务二可得BH=y=x=AB，利用∠BCD的正弦函数可得BC=x，用∠BCD的余弦函数可得CH=x，由正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，列出不等式求解得出x的取值范围，并结合题意可得每幢房子最多层数，进而即可算出楼栋数量及层数总和.
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