2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 29.2 三视图同步分层训练 培优题
一、选择题
1．（2023·凉山）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·潜江）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
3．（2023七上·南明月考）一个立体图形，从左面看到的形状是，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是，搭成这样的立体图形，需要（ ）个小正方体．
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2023七上·太原月考）一个长方体，从左面、上面看得到的图形及相关数据如图，则从正面看该几何体所得到的图形的面积为
从左面看 从上面看
A．6 B．8 C．12 D．9
5．（2017·罗山模拟）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的值为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．11
6．（2021七上·长顺月考）若干个相同的正方体组成一个几何体，从不同方向看可以得到如图所示的形状，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成？（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．18个
7．（2019·广西模拟）一个直棱柱，主视图是边长为2 的正方形，俯视图是边长为2 的正三角形，则左视图的面积为 （ ）
A．12 B．12 C．6 D．3
8．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册25.2三视图 第2课时 棱柱及由视图描述几何体 同步训练）已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3
二、填空题
9．（北师大版数学七年级上册第一章第4节从三个不同方向看物体的形状课时练习）写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体 ．
10．（2023九上·金沙期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体至少是用 块小立方块搭成的．
11．（2023七上·揭西月考）用几个小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则需要的小正方体个数最少为 ．
12．（2020七上·郑州月考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .（π取3）
13．（2019七上·南山期末）一个几何体是由一些相同的小正方体构成，该几何体从正面看 主视图 和从上面看 俯视图 如图所示 那么构成这个几何体的小正方体至少有 块，至多有 块
三、解答题
14．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第五章 投影与视图 单元检测卷 ）由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图如图所示，求组成几何体的小立方体个数的最大值与最小值，并画出相应的俯视图.
15．（2019七上·东源期中）如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
四、综合题
16．（2016七上·南京期末）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
（1）该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体．
17．（2022七上·宛城期末）如图是一些棱长为1cm 的小立方块组成的几何体.
（1）请画出从正面看，从左面看，从上面看到的这个几何体的形状图.
（2）该几何体的表面积是 cm2 .
（3）如果把它拼成一个无空隙的正方体，则至少还需要同样的小立方块 块.
（4）如果保持从正面和上面看到的形状不变，最多可以再添加 个小立方块.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得这个几何体的主视图左边一列有两个小正方形，右边一列有一个小正方形，
故答案为：B
【分析】根据俯视图即可计算出主视图的小正方形个数和列数。
2．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据三视图可得该立体图形为圆锥.
故答案为：D.
【分析】根据常见几何体的三视图进行判断.
3．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据题意，从左面看到的形状是，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是，根据描述，可知需要5个小正方体．
故答案为：B.
【分析】根据简单几何体的三视图即可解决。
4．【答案】B
【知识点】几何体的表面积；简单几何体的三视图
【解析】【解答】根据题意可得：长方体的长为4，宽为3，高为2，
∴从正面看该几何体所得到的图形是长为4，宽为2的长方形，
∴S长方形=4×2=8，
故答案为：B.
【分析】先判断出从正面看该几何体所得到的图形是长为4，宽为2的长方形，再利用长方形的面积公式计算即可.
5．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从3个小立方体上的数可知，
与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，
所以数字1面对数字5，
同理，立方体面上数字3对6．
故立方体面上数字2对4．
则a=3，b=4，
那么a+b=3+4=7．
故选：B．
【分析】由图一和图二可看出1的对面的数字是5；再由图二和图三可看出3的对面的数字是6，从而2的对面的数字是4．
6．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：综合从正南方向看（主视图）与从正西方向看（左视图）可知，这个几何体有三行、三列，
即：
第一行第1列最多有2个，
第一行第2列最多有1个，
第一行第3列最多有2个；
第二行第1列最多有1个，
第二行第2列最多有1个，
第二行第3列最多有1个；
第三行第1列最多有2个，
第三行第2列最多有1个，
第三行第3列最多有2个；
所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13(个).
故答案为：B.
【分析】通过题中的两个从不同方向看到的图形可知，此几何体有三行，三列，分别判断出各行各列最多有几个正方体组成即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，
俯视图是边长为的正三角形，
正方形一边BC=，俯视图中的∠B=60°，
AD=ABsin60°==3，
主视图是边长为的正方形，左视图的面积为，
所以C选项是正确的.
【分析】左视图的面积并不是直棱柱的侧面积，而是侧面的投影面积，注意不要混淆。
8．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6cm，6cm，3cm的长方体截去一个三条侧棱长分别为4cm，4cm，3cm的一个三棱锥（长方体的一个角）后的图形，如图所示．
∴该几何体的体积V=6×6×3-
=100（cm3）．
故答案为B。
【分析】从三视图，若不看每个图中斜的实线，我们会发现该几何体是一个长方体；根据斜线的位置可以确定该几何体是由一个长方体截掉一个棱锥所得到的。由三视图得到长方体的长、宽、高，以及三棱锥的底面三角形的底与高，和三棱锥的高。
9．【答案】球或正方体
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】球的俯视图与主视图都为圆；正方体的俯视图与主视图都为正方形．（答案不唯一）．
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看得到的图形．
10．【答案】6
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由俯视图可知，最下层最少有5个小立方体；由正视图可知，第二层最少有1个小立方体，所以可得出该几何体最少有6个小立方体搭成。
故答案为：6.
【分析】由俯视图可知，最下层最少有5个小立方体；由正视图可知，第二层最少有1个小立方体，所以可得出该几何体最少有6个小立方体搭成。
11．【答案】8
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由俯视图可知：最底层小正方体的个数为6个，
由主视图可知：第二层小正方体的个数最少为2个，
∴需要的小正方体个数最少为：
故答案为：8.
【分析】根据俯视图确定最底层小正方体的个数，再根据主视图确定第二层小正方体的最少个数，进而即可求解.
12．【答案】13
【知识点】几何体的表面积；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，高为2，
故其表面积为： .
故答案为：13.
【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可.
13．【答案】5；7
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：如图所示，
由图知构成这个几何体的小正方体至少有5块，至多有7块．
【分析】根据俯视图能够判断出这个几何体的最底层是有5个小正方体，根据主视图可以判断出这个几何体有两层，并且第二层的左边至少有一个小正方体，至多有三个小正方体。
14．【答案】解：最大值为12个，最小值为7个，俯视图分别如图所示（每个方格内的数字表示该位置上叠的小立方体的个数）.
【知识点】由三视图判断几何体；作图﹣三视图
【解析】【分析】结合主视图和左视图可知：底面最多有小立方体3+3+3=9个，最少有小立方体1+2+1=4个，第二层最多有小立方体2个，最少有小立方体2个，第三层最多有小立方体1个，最少有小立方体1个，故组成这个几何体的小立方体的个数的最大值为9+2+1=12个，最小值为4+2+1=7个，根据俯视图的定义，分别作出组成几何体的小立方体最多的时候，与最少的时候从上向下看得到的正投影即可。
15．【答案】（1）立方体的棱长为2cm，图1长方形的面积为4×2×3×2=48平方厘米。
（2）展开图：
（3）
【知识点】几何体的展开图；由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）根据题意求出长方形的长和宽，利用面积公式可求出结果。
（2）利用正方体和展开图特点进行画图。
（3）利用正方体和展开图的特点进行计算。
16．【答案】（1）解：如图所示：
（2）6
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】（2）保持俯视图和左视图不变，最多添加6个小正方体．
故答案为：6．
【分析】（1）左视图有2列，每列小正方数形数目分别为3，1，俯视图有4列，每列小正方形数目分别为2，1，1，1．据此可画出图形；
（2）保持俯视图和左视图不变，可以在第1列后面一排添加2个，第3列添加2个，第4列添加2个，最多添加6个小正方体．
17．【答案】（1）解：如图所示：
（2）34
（3）19
（4）3
【知识点】由三视图判断几何体；作图﹣三视图
【解析】【解答】（2）该几何体的表面积是：6×2+6×2+5×2 = 34（cm2 ） ； 故答为：34；
（3）最少可以拼成一个棱长为 3 的正方体.故还需要 27-8=19 块.
（4）保持主视图和俯视图不变， 主视图看列，左列最高处有 3 个小立方块，中列最高处有 1 个小立方块， 右列最高处有 2 个小立方块，所以左列最多为“3+3”，中列最多为“1”，右列最多为“2+2”，总共 最多为 6 + 1 + 4 = 11 个小立方块，现在有 8 个，所以最多可以再添加 3 个小立方块.
【分析】（1）主视图：从物体正面所看的平面图形，俯视图：从物体上面所看的平面图形；左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此画图即可；
（2）分别得到各个方向看的正方形的面数，再将各个面的面积相加即可；
（3）每条棱正方形个数是3，依此得到正方体中小正方形的个数，再减去原来立体图形中小正方体个数即可求解；
（4）保持从正面和上面看到的形状不变，可往第1列前面的几何体上放2个小正方体，中间的几何体上放1个小正方体.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册 29.2 三视图同步分层训练 培优题
一、选择题
1．（2023·凉山）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得这个几何体的主视图左边一列有两个小正方形，右边一列有一个小正方形，
故答案为：B
【分析】根据俯视图即可计算出主视图的小正方形个数和列数。
2．（2023·潜江）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据三视图可得该立体图形为圆锥.
故答案为：D.
【分析】根据常见几何体的三视图进行判断.
3．（2023七上·南明月考）一个立体图形，从左面看到的形状是，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是，搭成这样的立体图形，需要（ ）个小正方体．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据题意，从左面看到的形状是，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是，根据描述，可知需要5个小正方体．
故答案为：B.
【分析】根据简单几何体的三视图即可解决。
4．（2023七上·太原月考）一个长方体，从左面、上面看得到的图形及相关数据如图，则从正面看该几何体所得到的图形的面积为
从左面看 从上面看
A．6 B．8 C．12 D．9
【答案】B
【知识点】几何体的表面积；简单几何体的三视图
【解析】【解答】根据题意可得：长方体的长为4，宽为3，高为2，
∴从正面看该几何体所得到的图形是长为4，宽为2的长方形，
∴S长方形=4×2=8，
故答案为：B.
【分析】先判断出从正面看该几何体所得到的图形是长为4，宽为2的长方形，再利用长方形的面积公式计算即可.
5．（2017·罗山模拟）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的值为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．11
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从3个小立方体上的数可知，
与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，
所以数字1面对数字5，
同理，立方体面上数字3对6．
故立方体面上数字2对4．
则a=3，b=4，
那么a+b=3+4=7．
故选：B．
【分析】由图一和图二可看出1的对面的数字是5；再由图二和图三可看出3的对面的数字是6，从而2的对面的数字是4．
6．（2021七上·长顺月考）若干个相同的正方体组成一个几何体，从不同方向看可以得到如图所示的形状，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成？（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．18个
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：综合从正南方向看（主视图）与从正西方向看（左视图）可知，这个几何体有三行、三列，
即：
第一行第1列最多有2个，
第一行第2列最多有1个，
第一行第3列最多有2个；
第二行第1列最多有1个，
第二行第2列最多有1个，
第二行第3列最多有1个；
第三行第1列最多有2个，
第三行第2列最多有1个，
第三行第3列最多有2个；
所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13(个).
故答案为：B.
【分析】通过题中的两个从不同方向看到的图形可知，此几何体有三行，三列，分别判断出各行各列最多有几个正方体组成即可得出答案.
7．（2019·广西模拟）一个直棱柱，主视图是边长为2 的正方形，俯视图是边长为2 的正三角形，则左视图的面积为 （ ）
A．12 B．12 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，
俯视图是边长为的正三角形，
正方形一边BC=，俯视图中的∠B=60°，
AD=ABsin60°==3，
主视图是边长为的正方形，左视图的面积为，
所以C选项是正确的.
【分析】左视图的面积并不是直棱柱的侧面积，而是侧面的投影面积，注意不要混淆。
8．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册25.2三视图 第2课时 棱柱及由视图描述几何体 同步训练）已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6cm，6cm，3cm的长方体截去一个三条侧棱长分别为4cm，4cm，3cm的一个三棱锥（长方体的一个角）后的图形，如图所示．
∴该几何体的体积V=6×6×3-
=100（cm3）．
故答案为B。
【分析】从三视图，若不看每个图中斜的实线，我们会发现该几何体是一个长方体；根据斜线的位置可以确定该几何体是由一个长方体截掉一个棱锥所得到的。由三视图得到长方体的长、宽、高，以及三棱锥的底面三角形的底与高，和三棱锥的高。
二、填空题
9．（北师大版数学七年级上册第一章第4节从三个不同方向看物体的形状课时练习）写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体 ．
【答案】球或正方体
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】球的俯视图与主视图都为圆；正方体的俯视图与主视图都为正方形．（答案不唯一）．
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看得到的图形．
10．（2023九上·金沙期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体至少是用 块小立方块搭成的．
【答案】6
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由俯视图可知，最下层最少有5个小立方体；由正视图可知，第二层最少有1个小立方体，所以可得出该几何体最少有6个小立方体搭成。
故答案为：6.
【分析】由俯视图可知，最下层最少有5个小立方体；由正视图可知，第二层最少有1个小立方体，所以可得出该几何体最少有6个小立方体搭成。
11．（2023七上·揭西月考）用几个小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则需要的小正方体个数最少为 ．
【答案】8
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由俯视图可知：最底层小正方体的个数为6个，
由主视图可知：第二层小正方体的个数最少为2个，
∴需要的小正方体个数最少为：
故答案为：8.
【分析】根据俯视图确定最底层小正方体的个数，再根据主视图确定第二层小正方体的最少个数，进而即可求解.
12．（2020七上·郑州月考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .（π取3）
【答案】13
【知识点】几何体的表面积；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，高为2，
故其表面积为： .
故答案为：13.
【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可.
13．（2019七上·南山期末）一个几何体是由一些相同的小正方体构成，该几何体从正面看 主视图 和从上面看 俯视图 如图所示 那么构成这个几何体的小正方体至少有 块，至多有 块
【答案】5；7
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：如图所示，
由图知构成这个几何体的小正方体至少有5块，至多有7块．
【分析】根据俯视图能够判断出这个几何体的最底层是有5个小正方体，根据主视图可以判断出这个几何体有两层，并且第二层的左边至少有一个小正方体，至多有三个小正方体。
三、解答题
14．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第五章 投影与视图 单元检测卷 ）由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图如图所示，求组成几何体的小立方体个数的最大值与最小值，并画出相应的俯视图.
【答案】解：最大值为12个，最小值为7个，俯视图分别如图所示（每个方格内的数字表示该位置上叠的小立方体的个数）.
【知识点】由三视图判断几何体；作图﹣三视图
【解析】【分析】结合主视图和左视图可知：底面最多有小立方体3+3+3=9个，最少有小立方体1+2+1=4个，第二层最多有小立方体2个，最少有小立方体2个，第三层最多有小立方体1个，最少有小立方体1个，故组成这个几何体的小立方体的个数的最大值为9+2+1=12个，最小值为4+2+1=7个，根据俯视图的定义，分别作出组成几何体的小立方体最多的时候，与最少的时候从上向下看得到的正投影即可。
15．（2019七上·东源期中）如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
【答案】（1）立方体的棱长为2cm，图1长方形的面积为4×2×3×2=48平方厘米。
（2）展开图：
（3）
【知识点】几何体的展开图；由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）根据题意求出长方形的长和宽，利用面积公式可求出结果。
（2）利用正方体和展开图特点进行画图。
（3）利用正方体和展开图的特点进行计算。
四、综合题
16．（2016七上·南京期末）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
（1）该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）6
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】（2）保持俯视图和左视图不变，最多添加6个小正方体．
故答案为：6．
【分析】（1）左视图有2列，每列小正方数形数目分别为3，1，俯视图有4列，每列小正方形数目分别为2，1，1，1．据此可画出图形；
（2）保持俯视图和左视图不变，可以在第1列后面一排添加2个，第3列添加2个，第4列添加2个，最多添加6个小正方体．
17．（2022七上·宛城期末）如图是一些棱长为1cm 的小立方块组成的几何体.
（1）请画出从正面看，从左面看，从上面看到的这个几何体的形状图.
（2）该几何体的表面积是 cm2 .
（3）如果把它拼成一个无空隙的正方体，则至少还需要同样的小立方块 块.
（4）如果保持从正面和上面看到的形状不变，最多可以再添加 个小立方块.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）34
（3）19
（4）3
【知识点】由三视图判断几何体；作图﹣三视图
【解析】【解答】（2）该几何体的表面积是：6×2+6×2+5×2 = 34（cm2 ） ； 故答为：34；
（3）最少可以拼成一个棱长为 3 的正方体.故还需要 27-8=19 块.
（4）保持主视图和俯视图不变， 主视图看列，左列最高处有 3 个小立方块，中列最高处有 1 个小立方块， 右列最高处有 2 个小立方块，所以左列最多为“3+3”，中列最多为“1”，右列最多为“2+2”，总共 最多为 6 + 1 + 4 = 11 个小立方块，现在有 8 个，所以最多可以再添加 3 个小立方块.
【分析】（1）主视图：从物体正面所看的平面图形，俯视图：从物体上面所看的平面图形；左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此画图即可；
（2）分别得到各个方向看的正方形的面数，再将各个面的面积相加即可；
（3）每条棱正方形个数是3，依此得到正方体中小正方形的个数，再减去原来立体图形中小正方体个数即可求解；
（4）保持从正面和上面看到的形状不变，可往第1列前面的几何体上放2个小正方体，中间的几何体上放1个小正方体.
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