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八年级数学下册 16.3 二次根式的加减 导学案
1.二次根式的加减法则：二次根式进行加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。
2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。
3.合并二次根式：只需把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变。
4.二次根式加减法的一般步骤：
（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式；
5.二次根式的加减混合运算
（1）二次根式的加减，就是合并同类二次根式；
（2）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变；
（3）进行二次根式的加减混合运算时，交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。
6.二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，要先算括号里面的。
（2）运算过程中一定要注意符合，运算结果一定要化为最简形式。
选择题
1.下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断．
【详解】A 、不能合并，故选项不符合题意；
B、根据二次根式加法法则，故选项不符合题意；
C、根据二次根式除法法则，故选项不符合题意；
D、根据二次根式乘法法则，故选项符合题意．
故选：D．
2.的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答．
【详解】解：∵，
∴的一个有理化因式是，
故选：C．
3.下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的乘法运算等知识点，正确化简二次根式是解题的关键．
利用二次根式的性质、立方根的性质、二次根式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故A选项错误，不符合题意；
B. ，故B选项错误，不符合题意；
C. ，故C选项错误，不符合题意；
D. ，故D选项错误，符合题意．
故选D．
4.下列二次根式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
【详解】解：A. ，故A计算错误，不符合题意；
B. ，故B计算错误，不符合题意；
C. ，故C计算正确，符合题意；
D. ，故D计算错误，不符合题意．
故选：C．
5.的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键．
根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答．
【详解】解：∵，
∴的有理化因式是．
故选：B．
6.下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式的判断．先将各个二次根式化简，再根据同类二次根式的性质进行解答即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，符合题意；
B、，与是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，不符合题意；
D、，与是同类二次根式，不符合题意；
故选：A．
7.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，根据：“被开方数相同的最简二次根式，叫做同类二次根式”，进行判断即可．
【详解】解：A、不是同类二次根式，不符合题意；
B、，，是同类二次根式，符合题意；
C、，不是同类二次根式，不符合题意；
D、不是同类二次根式，不符合题意；
故选B．
8.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，根据“最简二次根式与是同类二次根式”可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握同类二次根式的概念是解此题的关键．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
它们的被开方数相等，
，
解得：，
故选：B．
填空题
1.已知函数，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了求函数值，根据定义，代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
2.比较下列各数大小：
① ；② ；③
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键．
（1）首先比较与的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解；
（2）通过比较与1的大小即可求解；
（3），，比较被开方数的大小即可；
【详解】解：①，
；
故答案为： ；
②；
；
故答案为： ；
③，，且；
；
故答案为：
3． ．
【答案】
【分析】先根据积的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算．本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，平方差公式，二次根式的计算．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
4.①已知，，则代数式 ．
②如图，中，和外角的平分线相交于点，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】①本题考查平方差公式，根据求解即可得到答案；②本题考查有关角平分线的角度计算及三角形内角和定理，根据及角平分线得到，结合即可得到答案；
【详解】解：①∵，，
∴，
故答案为：，
∵，
∴，
∵和外角的平分线相交于点，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
5．①计算： ．
②若一个等腰三角形的周长为，底边长与腰长的比为，则该等腰三角形的底边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．①先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案；②设底边长为，腰长为，结合等腰三角形的周长列方程求解即可得到答案；
【详解】解：①原式，
故答案为：，
②设底边长为，腰长为，根据题意可得，
，
解得：，
∴，
故答案为：．
解答题
1.计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：
（1）先将二次根式化简，然后相加减即可得到结果；
（2）分子分母同乘，然后化简进行相加减即可；
熟练掌握二次根式的化简、二次根式的运算是解题的关键．
【详解】（1）解：
=
=
=；
（2）解：
=
=
=
=
=1．
2.先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】题主要考查二次根式的化简及求值的知识，先运到平方差公式和单项式乘以多项式运算，然后合并同类项，再代入数值计算是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
3.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但是根据的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以它的小数部分可以写成．请解答下面题目．
(1)的整数部分是________；
(2)如果的整数部分是，的小数部分是，求的值；
(3)如果，其中是整数，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的加减运算，估算无理数的整数部分和小数部分．
（1）估算的整数部分即可；
（2）求出a，b的值，再代入计算即可；
（3）求出x，y的值，再代入计算．
【详解】（1）解：∵，即，
的整数部分是2，
故答案为：2；
（2）∵，即，
的整数部分是3，小数部分为，
，，
；
的值为；
（3）解：∵，即，
，
是整数，且，，
∴，，
．
4.计算：
(1)
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可求解；
（2）先利用二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式即可求解；
（3）先利用二次根式的乘法、除法法则计算，再合并同类二次根式即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
5.观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
．
，
．
(1)用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律为_______．
(2)利用上面的结论，求下列式子的值：．
【答案】(1)
(2)1011
【分析】本题主要考查利用平方差公式分母有理化，二次根式的混合运算等知识点，
（1）数字找规律，进行计算即可解答；
（2）利用前边的规律，进行计算即可解答；
注意根据平方差公式的结构找到另一因式是求解的关键．
【详解】（1）总结规律可知：
，
故答案为：；
（2）
．
6.请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
∴，得：.
把作为整体代入：得
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)己知，求代数式的值；
(2)已知 ，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据完全平方公式求出，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键；
（2）根据完全平方公式计算可得，然后利用整体代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∴
．
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八年级数学下册 16.3 二次根式的加减 导学案
1.二次根式的加减法则：二次根式进行加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。
2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。
3.合并二次根式：只需把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变。
4.二次根式加减法的一般步骤：
（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式；
5.二次根式的加减混合运算
（1）二次根式的加减，就是合并同类二次根式；
（2）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变；
（3）进行二次根式的加减混合运算时，交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。
6.二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，要先算括号里面的。
（2）运算过程中一定要注意符合，运算结果一定要化为最简形式。
选择题
1.下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
3.下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.下列二次根式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
6.下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
8.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．0
填空题
1.已知函数，那么 ．
2.比较下列各数大小：
① ；② ；③
3． ．
4.①已知，，则代数式 ．
②如图，中，和外角的平分线相交于点，若，则的度数为 ．
5．①计算： ．
②若一个等腰三角形的周长为，底边长与腰长的比为，则该等腰三角形的底边长为 ．
解答题
1.计算：
(1)
(2)
2.先化简，再求值：，其中．
3.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但是根据的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以它的小数部分可以写成．请解答下面题目．
(1)的整数部分是________；
(2)如果的整数部分是，的小数部分是，求的值；
(3)如果，其中是整数，且，求的值．
4.计算：
(1)
(2)．
(3)．
5.观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
．
，
．
(1)用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律为_______．
(2)利用上面的结论，求下列式子的值：．
6.请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
∴，得：.
把作为整体代入：得
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)己知，求代数式的值；
(2)已知 ，求代数式的值．
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