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八年级数学下册 17.1 勾股定理 导学案
1.勾股定理
（1）文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）符号语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ；
（3）勾股定理的变式：
3.勾股定理的应用
(1)已知直角三角形的两边，求第三边；
(2)表示长度为无理数的线段；
(3)在数轴上作出表示无理数的点；
（4）勾股定理的应用： 。
①利用勾股定理解题时应注意：一要确定直角三角形；二要分清直角边和斜边
②勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
选择题
1.下列命题是真命题的有（ ）
（1）数轴上的点和实数是一一对应的；
（2）若点，则关于轴对称点的坐标为；
（3）三角形的一个外角大于任何一个与其不相邻的内角；
（4）中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据真命题，数轴与实数的关系，关于轴对称的点坐标的特征，三角形外角的性质，勾股定理进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，数轴上的点和实数是一一对应的；（1）正确，故符合要求；
若点，则关于轴对称点的坐标为；（2）正确，故符合要求；
三角形的一个外角大于任何一个与其不相邻的内角；（3）正确，故符合要求；
中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5或；（4）错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了真命题，数轴与实数的关系，关于轴对称的点坐标的特征，三角形外角的性质，勾股定理等知识．熟练掌握真命题，数轴与实数的关系，关于轴对称的点坐标的特征，三角形外角的性质，勾股定理是解题的关键．
2.如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】本题主要考查格点作等腰三角形．根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解．
【详解】解：如图所示，为等腰三角形，，
①当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点，
∴，，
∴点即为所求；
②当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点，
∴，
∴点即为所求；
③当时，作线段的垂直平分线交格点于点，
∴，，则，符合题意，
，，则，符合题意，
∴点即为所求；
综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为个，
故选：C．
3．如图，是等边三角形，N是的中点，，D是的中点， M是上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识．明确取最小值的情况是解题的关键．
如图，连接，由题意知是的垂直平分线，则，，当三点共线时，的值最小，为，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是等边三角形，D是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为，
∵N是的中点，
∴，
由勾股定理得，，
故选：D．
4．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，直角三角形的两条直角边的长分别是和，那么的值为（ ）
A．36 B．48 C．24 D．25
【答案】B
【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，根据所求问题，利用四个全等的直角三角形与一个小正方形面积和等于一个大正方形面积，从而求得．
【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积是4，
由题意，
，
．
故选：B．
5．如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东和南偏西方向上，则船R到岛P的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里
【答案】D
【分析】本题考查方向角、含的直角三角形和等腰直角三角形性质，本题通过作于点，构造直角三角形，利用勾股定理解得此题．
【详解】解：作于点，如图所示．
，
，
，
，
，
，
．
设，则，，，
，
，
，解得，则．
故选：D．
6．如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
如图，取中点，连接，由题意知，，证明，则，，可知当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，取中点，连接，
∵，，点D是的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，最小为，
由勾股定理得，，
故选：C．
7.如图，一个长方体木箱长、宽、高分别为，，，则能放入此木箱中的木棒最长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，首先根据勾股定理求出，再在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB的长即可
【详解】解：如图，由勾股定理得，，
在中，，由勾股定理得，
即能放入此木箱中的木棒最长为
故选：A．
填空题
1.小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，根据原式表示的几何意义是是点M到点的距离之和的最小值，利用轴对称作出图形求出的长即可，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．
【详解】如图所示，根据原式表示的几何意义是点M到点的距离之和的最小值，可作B点关于x轴的对称点，连接，此时的长即为所求代数式的最小值，
∵，
∴，
∵
∴ ，
∴的最小值等于5 ，
故答案为：5．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知、．现将折叠，使点A落在边的点处，折痕为，其中点C在y轴上，点D在边上，当是以CD为底的等腰三角形时，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查直角三角形中的翻转变换，等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
【详解】解：∵是以为底的等腰三角形，
∴，，
∵以为折痕，翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
3.如图，在四边形中，、为对角线，，，，若，的面积为2，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得出，过点作于点，设交于点，根据三角形的面积求得，构造等腰直角三角形，进而额电池的长，即可求解．
【详解】解：∵，设，，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴
如图所示，过点作于点，设交于点，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∵的面积为2，
∴
∴，则，
在中，，
如图所示，作关于的对称点，连接，交于点，
∵，则是等腰直角三角形，
则，
设，则，
在中，
解得：或（舍去）
∴
∴，
故答案为：．
4.如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕1圈到达点，那么所用细线最短需要 ；如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，将长方体展开，连接、，进而根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：将长方体展开，连接，
根据两点之间线段最短，（）；
如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是和，根据勾股定理可知所用细线最短需要（）．
故答案为：，．
5．如图，在中，，，，为边上一动点，当取得最小值时，点到的距离为 ．
【答案】
【分析】此题考查轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、作点关于直线的对称点，连接交于点，作于点，则垂直平分，所以，可求得，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，作于点，交于点，则，勾股定理求得，根据，当点与点重合时，的值最小，即取得最小值，进而求得，即可求解．
【详解】解：如图所示作点关于直线的对称点，连接交于点，作于点，
垂直平分，
，
，，，，
，，
，，，
，，
，
作于点，交于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，的值最小，此时取得最小值，
，
点到的距离为，
故答案为：．
解答题
1.如图，在矩形中，，，点E在上，等于，，连接．作，垂足为M．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理：
（1）根据证明即可得到结论；
（2）由勾股定理求出，由得，由勾股定理得，故可得，再根据勾股定理得．
【详解】（1）∵四边形为矩形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
即．
又∵，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，．
在中，．
∴．
在中，．
2.如图，是一棵古老的大树，其两侧各有一根斜拉的绳子，经测量，于点B，米，米，米，请你求出绳子的长．
【答案】米
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，由可得两个直角三角形，由米，米可得米，由米结合勾股定理即可求解．
【详解】解：于点B，
．
米，米，
米
又米，
米．
3.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为“双腰三角形”．
(1)如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证是的双腰分割线．
(2)如图2，已知中，，是的双腰分割线，且，求的度数，
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理
（1）由线段垂直平分线的性质可得，可得，由外角的性质可得，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得，即可求解；
（3）由勾股定理列出方程，可求解．
【详解】（1）证明：线段的垂直平分线交于点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条双腰分割线；
（2）解：是三角形的双腰分割线，且．
，
，
，
；
（3）解：过点作于点，
，
，
设为，
中，，
中，，
，
解得，，
．
4.如图，在中，，，点在线段上，连接，点在的延长线上且．
(1)求证：；
(2)点关于直线的对称点为，连接、、，用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（）由，得到，由得到，根据，即可求证；
（）：过点作，证明，得到，，由勾股定理得到，根据即可求证；
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：．
理由：过点作，交于点M，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故．
5.如图，在中，，，，在射线上有一动点P．
(1)求长；
(2)当为直角三角形时，求值；
(3)当为等腰三角形时，求值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或
【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
（1）直接根据勾股定理求出的长度；
（2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出即可；
（3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度．
【详解】（1）解：在中，，
；
（2）解： ①当为直角时，点与点重合，；
②当为直角时， ，
在中，
，
在中，，
即：，
解得：，
故当为直角三角形时，或；
（3）解：①当时，；
②当时，；
③当时， ，，
在中，，
所以，
解得：，
综上所述：当为等腰三角形时，或或．
6．如图，中，，，，点分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设
(1)如图1，当点和点重合时，求的面积；
(2)如图2，设当点在的延长线上时，，求关于的函数解析式，并求出定义域；
(3)若为直角三角形，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
（1）由含 角的直角三角形的性质得再由勾股定理得然后再证最后由三角形面积关系即可得出答案；
（2）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得然后由得 则求出的范围即可；
（3）分两种情况： ①当时，②当时，由含角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：
的面积的面积．
（2）解：
∵点在的延长线上，
∴点不与点重合，
∵点是边上的一个动点，，
即关于的解析式为．
（3）解：分两种情况：
①当时，如图3所示：
则
由（2）得：
解得：
②当时， 如图4所示：
是等边三角形，
解得：
综上所述，若为直角三角形，的值为或．
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八年级数学下册 17.1 勾股定理 导学案
1.勾股定理
（1）文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）符号语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ；
（3）勾股定理的变式：
3.勾股定理的应用
(1)已知直角三角形的两边，求第三边；
(2)表示长度为无理数的线段；
(3)在数轴上作出表示无理数的点；
（4）勾股定理的应用： 。
①利用勾股定理解题时应注意：一要确定直角三角形；二要分清直角边和斜边
②勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
选择题
1.下列命题是真命题的有（ ）
（1）数轴上的点和实数是一一对应的；
（2）若点，则关于轴对称点的坐标为；
（3）三角形的一个外角大于任何一个与其不相邻的内角；
（4）中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，是等边三角形，N是的中点，，D是的中点， M是上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，直角三角形的两条直角边的长分别是和，那么的值为（ ）
A．36 B．48 C．24 D．25
5．如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东和南偏西方向上，则船R到岛P的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里
6．如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
7.如图，一个长方体木箱长、宽、高分别为，，，则能放入此木箱中的木棒最长为（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知、．现将折叠，使点A落在边的点处，折痕为，其中点C在y轴上，点D在边上，当是以CD为底的等腰三角形时，点的坐标为 ．
3.如图，在四边形中，、为对角线，，，，若，的面积为2，则的长为 ．
4.如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕1圈到达点，那么所用细线最短需要 ；如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要 ．
5．如图，在中，，，，为边上一动点，当取得最小值时，点到的距离为 ．
解答题
1.如图，在矩形中，，，点E在上，等于，，连接．作，垂足为M．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
2.如图，是一棵古老的大树，其两侧各有一根斜拉的绳子，经测量，于点B，米，米，米，请你求出绳子的长．
3.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为“双腰三角形”．
(1)如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证是的双腰分割线．
(2)如图2，已知中，，是的双腰分割线，且，求的度数，
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
4.如图，在中，，，点在线段上，连接，点在的延长线上且．
(1)求证：；
(2)点关于直线的对称点为，连接、、，用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由．
5.如图，在中，，，，在射线上有一动点P．
(1)求长；
(2)当为直角三角形时，求值；
(3)当为等腰三角形时，求值．
6．如图，中，，，，点分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设
(1)如图1，当点和点重合时，求的面积；
(2)如图2，设当点在的延长线上时，，求关于的函数解析式，并求出定义域；
(3)若为直角三角形，求的值．
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