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八年级数学下册 17.2 勾股定理的逆定理 导学案
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足d+b>ee2，那么这个三角形是直角三角形。
2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck(k是正整数)也是一组勾股数.
3.勾股定理的逆定理的应用
运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：
(1)先确定最长边，算出最长边的平方；
(2)计算另两边的平方和；
(3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形.
4.互逆命题
（1）一般地，如果两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（2）每个命题都有逆命题，说逆命题时只需将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
选择题
1.下列各组的三个数值，分别以它们为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，12 C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理．若两条短边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，否则不是直角三角形．据此依次判断即可．
【详解】解：A：∵，∴不能构成直角三角形；
B：∵，∴不能构成直角三角形；
C：∵，∴能构成直角三角形；
D：∵，∴不能构成直角三角形．
故选：C
2.下列命题中，是假命题的是（ ）
A．算术平方根最小的实数是0
B．平方根等于它本身的数是1
C．两个全等三角形的面积相等
D．三边之比为3：4：5的三角形为直角三角形
【答案】B
【分析】根据题意逐个分析选项正误，说法正确的即为真命题，反之即为假命题．
【详解】解：∵算术平方根最小的实数是0，故A选项说法正确，为真命题，
∵平方根等于它本身的数是0，故B选项说法错误，为假命题，
∵全等三角形为两个一模一样的三角形，
∴两个全等三角形的面积相等，故C选项说法正确，为真命题，
∵三边之比为3：4：5的三角形，设三边分别为，
∵，
∴此三角形为直角三角形，故D选项正确，为真命题，
故选：B．
【点睛】本题考查命题的真假，算术平方根及平方根，全等三角形性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握上述知识是关键．
3.在中，，，，则最长边上的高为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了与三角形高有关的计算、勾股定理的逆定理，先判断出三角形为直角三角形，然后根据三角形面积相等得到最长边上的高，熟练运用定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
即，
满足，
∴是以为直角的直角三角形，
设最长边上的高为，
根据，
解得，
故选：C．
4.满足下列条件的，其中是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】解：A、，，
∴最大角为，
不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
B、设分别为，
，
，
是直角三角形，
故本选项符合题意；
C、，
∴不符合三角形三边关系，
故本选项不符合题意；
D、，
，
不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
故选：B．
5.若某三角形的三边长分别为5，12，13，则该三角形的面积是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．15
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．先判断是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形的面积．
故选：C．
6.由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和．根据勾股定理的逆定理可以判断A、B、C，根据三角形内角和可以判断D．
【详解】解：由，可得，则，即由线段，，组成的三角形是直角三角形，故选项A不符合题意；
，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项B不符合题意；
，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项C不符合题意；
，最大的，故选项D中的三角形不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
7.下列条件中，可以判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，若三角形中两较小边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形为直角三角形，有一个角为90度的三角形是直角三角形，据此求解即可．
【详解】解：A、任何三角形都满足，不能判断是直角三角形，不符合题意；
B、设，
∵，
∴是直角三角形，符合题意；
C、∵，，
∴，
∴不是直角三角形，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴不是直角三角形，不符合题意；
故选B．
8.两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，海里，海里，，
∵，，
∴，
∴点三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙船的航向为南偏东或北偏西，
故选：．
填空题
1.如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响 秒．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度求得到飞行时间即可解决问题．
【详解】过点C作，垂足为D，
∵，，，且
∴，
∵，
∴
以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴着火点C受到洒水影响时间为．
2．上小学的小雨在认识直角三角形的学习活动中，需要完成一个用卡纸剪出2个直角三角形的任务，上初二的姐姐刚学完勾股定理的相关知识，她对妹妹说，不用直角三角尺或量角器也可以判断剪出的两个三角形是否为直角三角形．姐姐量出两个三角形的三边长分别为：图形①；图形②．请你用所学知识判断：图形 是直角三角形．
【答案】②
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，两短边的平方和等于最长边的平方和，三边构成的三角形是直角三角形，由此判断即可．
【详解】解：，
图形①不是直角三角形；
，
图形②是直角三角形，
故答案为：②．
3．如图，在周长为的中，，点从点开始沿边以每秒的速度向点移动，点从点开始沿边以每秒的速度向点移动．若点同时出发，则经过后，的面积为 ．
【答案】18
【解析】略
4．如图，所在的直线是的对称轴，， 则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，对称的性质，如果三角形的两边的平方的和等第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【详解】解：，
是直角三角形，
，
是的对称轴，
，
，
故答案为：．
5．如图，在四边形中，连接，于E，，，，则的度数等于 ．
【答案】90
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据，求出，再根据“两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形”，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：90．
解答题
1.城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，已知，，，，试求这块可绿化的空地的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴是直角三角形，，
∴．
答：这块可绿化的空地的面积为．
2.如图，在的网格中，线段的端点都在格点（网格中横线与竖线的交点）上．
(1)在图中作线段（线段的端点都在格点上），使得，垂足为；
(2)在（）的条件下，猜想线段、之间的数量关系，并说明理由（根据需要可以自己标注字母）．
【答案】(1)作图见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的判定和性质，
（1）构造全等三角形解决问题即可；
（2）利用“”证明，即可得到；
掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求．
理由：由图可得，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）解：．
理由：
在和中，
，
∴，
∴．
3.如图，在四边形中，，，，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等边三角形的判定和性质，连接，令中点为点E，连接，先根据勾股定理可得，再得出，通过证明为等边三角形，得出，根据勾股定理逆定理得出，即可求解．
【详解】解：连接，令中点为点E，连接，
∵，，，
∴根据勾股定理可得，
∵中点为点E，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，则，
∴．
4．如图，已知中，于，．
(1)分别求的长；
(2)是直角三角形吗？证明你的结论．
【答案】(1)，详见解析；
(2)详见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理等知识点，
（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算可得，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；
熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴的长为12，的长为16；
（2）是直角三角形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
5．如图，中，D是边上的一点，若A．
(1)求证：；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形，是解题的关键．
（1）利用勾股定理逆定理，得到是直角三角形，即可证明；
（2）在中，利用勾股定理求得，从而求得,最后利用三角形的面积公式，进行计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
．
6．如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形的面积；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）利用网格割补法求面积进行求解即可；
（2）先用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行求解即可．
【详解】（1）四边形的面积；
（2）解：连接，
根据勾股定理得，，
，，
，，，
∴，
∴．
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八年级数学下册 17.2 勾股定理的逆定理 导学案
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足d+b>ee2，那么这个三角形是直角三角形。
2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck(k是正整数)也是一组勾股数.
3.勾股定理的逆定理的应用
运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：
(1)先确定最长边，算出最长边的平方；
(2)计算另两边的平方和；
(3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形.
4.互逆命题
（1）一般地，如果两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（2）每个命题都有逆命题，说逆命题时只需将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
选择题
1.下列各组的三个数值，分别以它们为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，12 C．，， D．，，
2.下列命题中，是假命题的是（ ）
A．算术平方根最小的实数是0
B．平方根等于它本身的数是1
C．两个全等三角形的面积相等
D．三边之比为3：4：5的三角形为直角三角形
3.在中，，，，则最长边上的高为（ ）
A．3 B．4 C． D．
4.满足下列条件的，其中是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
5.若某三角形的三边长分别为5，12，13，则该三角形的面积是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．15
6.由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
7.下列条件中，可以判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
8.两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
填空题
1.如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响 秒．
2．上小学的小雨在认识直角三角形的学习活动中，需要完成一个用卡纸剪出2个直角三角形的任务，上初二的姐姐刚学完勾股定理的相关知识，她对妹妹说，不用直角三角尺或量角器也可以判断剪出的两个三角形是否为直角三角形．姐姐量出两个三角形的三边长分别为：图形①；图形②．请你用所学知识判断：图形 是直角三角形．
3．如图，在周长为的中，，点从点开始沿边以每秒的速度向点移动，点从点开始沿边以每秒的速度向点移动．若点同时出发，则经过后，的面积为 ．
4．如图，所在的直线是的对称轴，， 则的面积为 ．
5．如图，在四边形中，连接，于E，，，，则的度数等于 ．
解答题
1.城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，已知，，，，试求这块可绿化的空地的面积．
2.如图，在的网格中，线段的端点都在格点（网格中横线与竖线的交点）上．
(1)在图中作线段（线段的端点都在格点上），使得，垂足为；
(2)在（）的条件下，猜想线段、之间的数量关系，并说明理由（根据需要可以自己标注字母）．
3.如图，在四边形中，，，，，，求的度数．
4．如图，已知中，于，．
(1)分别求的长；
(2)是直角三角形吗？证明你的结论．
5．如图，中，D是边上的一点，若A．
(1)求证：；
(2)求的面积．
6．如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形的面积；
(2)求的度数．
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