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八年级数学下册 18.1.1 平行四边形的性质 导学案
1.平行四边形的概念
定义 表示方法及解读 注意
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用符号“口”表示；平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形 平行四边形的表示一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点
2.平行四边形的性质
性质 符号语言
边 平行四边形的两组对边分别平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
角 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴(1)∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, (2)∠ABC+∠BAD=180°,°
对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形，
此外，平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心且平行四边形具有一般四边形的一切性质，
3.平行四边形的性质的应用
平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据.利用平行四边形的性质，可以求角的度数、线段的长度。
选择题
1.如图，在中，，则的度数为（ ）．
A．40 B．50 C．100 D．130
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，根据平行四边形对边平行得到，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故选D．
2.如图，的对角线交于点O，的周长为，直线过点O，且与分别交于点，若，则的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形、全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质可证，，由此即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线交于点，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
故选：．
3．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴E为中点，
∴，故③错误；
∵，，
∴，故④正确；
故正确的个数为个，
故选：B．
4．在中，有两个内角的度数比为，则中较大内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，对角相等，结合四边形的内角和为360度，计算即可．
【详解】解：设中的较小的内角的度数为，则较大的内角为，
∵平行四边形的对角相等，
∴，
解得：，
∴，
即：中较大内角的度数是；
故选A．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟悉这些知识点是解题的关键，由平行四边形的性质和已知条件可以得到是等腰三角形，再根据三线合一得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到．
【详解】解：∵四边形是平行四边形；
∴，；
∵；
∴；
∴；
∴是等腰三角形；
∵点E是OC的中点；
∴；
∴是直角三角形；
∵点G是AB的中点；
∴，；
∴；
∴；
∵；
∴；
故选：D．
6．如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．绿花、蓝花种植面积一定相等
D．蓝花、黄花种植面积一定相等
【答案】C
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形的面积一分为四，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上对产生质疑．
根据平行四边形的性质可知把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，我们知道，一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，据此可从图中获得，，，根据等量相减原理知，依此就可找出题中说法错误的．
【详解】解：∵，
把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，
∴一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二且相等，
得，故A正确；
，
根据等量相减原理知，故B正确；
与显然不相等．故C错误；
，故D正确；
故答案为：C
填空题
1.如图，在中，过对角线的交点O，，则四边形的周长为 ．
【答案】10
【分析】此题主要考查了平行四边形的基本性质，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分，平行四边形是中心对称图形．根据平行四边形的中心对称性，可知把平行四边形分成两个相等的部分，先求平行四边形的周长，再求的长，即可求出四边形的周长．
【详解】解：根据平行四边形的中心对称性得：，
∵的周长，
∴四边形的周长的周长．
故答案为：10．
2.在平行四边形中，如果，那么的度数是 度．
【答案】100
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，由平行四边形的对角相等，结合条件可求得答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，且，
∴，
∴，
故答案为：100．
3．如图，的对角线相交于点O，且，过点O作，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么的周长是 ．
【答案】16
【分析】此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，根据线段垂直平分线的性质，证得AM=MC是解题的关键．根据题意，垂直平分，所以，因此的周长，可得平行四边形的周长．
【详解】解：∵是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
∴的周长，
∴平行四边形的周长是．
故答案为16．
4．如图，在平行四边形中，点是的中点，将沿直线翻折至平行四边形所在平面内，得到，连结，并延长，交于点，若，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的折叠问题，延长交延长线于G，根据折叠得到得到，结合平行四边形的性质得到，，证明，即可得到答案
【详解】解：延长交延长线于G，
∵折叠得到，
∴，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
5．如图，在中，于点E，如果，则 °
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出，再利用直角三角形两个锐角角互余即可求得答案．
【详解】解：∵是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
解答题
1.如图，在小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点、均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为；
(2)在图2中以为边画一个直角，点在小正方形的顶点上，满足的面积为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了应用设计与作图，平行四边形的性质，勾股定理，正确结合网格分析是解题关键．
（1）画一个平行四边形，使其面积为即可；
（2）以为底，则直角三的面积为即可．
【详解】（1）如图1，四边形即为所求；
（2）如图2，即为所求，
，，
．
2.如图，平行四边形中，连接．
(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，，求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；
（2）根据证明即可；
（3）根据，得出，根据勾股定理求出，即可求出结果．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）证明：∵垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
在和中，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作垂直平分线，勾股定理三角形全等的判断和性质，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法．
3．如图，在中，为对角线．
(1)求证：．
(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若的周长为10，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)20
【分析】（1）根据平行线的性质得到，利用即可证明；
（2）以分别为圆心，大于长为半径作弧交于两点，过两交点作直线，即为所作垂直平分线；
（3）利用垂直平分线的性质可以得到，结合，得到，根据平行四边形的性质即可求得结论；
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）如图，即为所作；
（3）∵垂直平分，
∴，
∵的周长为10，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，作垂直平分线，垂直平分线的性质，准确作图是解题的关键．
4.如图平行四边形中，平分，交于点．
(1)请用尺规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）的作图，证明：．请在答题卡上完成相应的填空．
证明：四边形是平行四边形，
，，
（两直线平行，内错角相等），
又平分，平分，
，，
，
__________________（填推理的依据）．
【答案】(1)见解析
(2)；；；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，平行四边形的判定，
（1）根据题意作的角平分线，交于点；
（2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义，进行推理证明，即可求解．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
（两直线平行，内错角相等），
又平分，平分，
，，
，
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：，，，同位角相等，两直线平行．
5.在中，的平分线交直线于点，且．求的周长．
【答案】的周长是或
【详解】解：分两种情况：
①如图①，当点在上时，
四边形是平行四边形，
，
．
平分，
，
，
，
，
，
的周长；
②如图②，当点在的延长线上时，
四边形是平行四边形，
，
．
平分，
，
，
，
，
，
的周长．
综上所述，的周长是或．
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八年级数学下册 18.1.1 平行四边形的性质 导学案
1.平行四边形的概念
定义 表示方法及解读 注意
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用符号“口”表示；平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形 平行四边形的表示一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点
2.平行四边形的性质
性质 符号语言
边 平行四边形的两组对边分别平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
角 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴(1)∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, (2)∠ABC+∠BAD=180°,°
对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形，
此外，平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心且平行四边形具有一般四边形的一切性质，
3.平行四边形的性质的应用
平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据.利用平行四边形的性质，可以求角的度数、线段的长度。
选择题
1.如图，在中，，则的度数为（ ）．
A．40 B．50 C．100 D．130
2.如图，的对角线交于点O，的周长为，直线过点O，且与分别交于点，若，则的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
3．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在中，有两个内角的度数比为，则中较大内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．绿花、蓝花种植面积一定相等
D．蓝花、黄花种植面积一定相等
填空题
1.如图，在中，过对角线的交点O，，则四边形的周长为 ．
2.在平行四边形中，如果，那么的度数是 度．
3．如图，的对角线相交于点O，且，过点O作，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么的周长是 ．
4．如图，在平行四边形中，点是的中点，将沿直线翻折至平行四边形所在平面内，得到，连结，并延长，交于点，若，，则的长为 ．
5．如图，在中，于点E，如果，则 °
解答题
1.如图，在小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点、均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为；
(2)在图2中以为边画一个直角，点在小正方形的顶点上，满足的面积为．
2.如图，平行四边形中，连接．
(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，，求证：；
(3)若，，求的长．
3．如图，在中，为对角线．
(1)求证：．
(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若的周长为10，求的周长．
4.如图平行四边形中，平分，交于点．
(1)请用尺规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）的作图，证明：．请在答题卡上完成相应的填空．
证明：四边形是平行四边形，
，，
（两直线平行，内错角相等），
又平分，平分，
，，
，
__________________（填推理的依据）．
5.在中，的平分线交直线于点，且．求的周长．
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