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八年级数学下册 18.2.1 矩形 导学案
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.
矩形的定义有两个要素：四边形是平行四边形；有一个角是直角。两者缺一不可.
2.性质
性质 符号语言
角 矩形的四个 角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°
对角线 矩形的对角 线相等 ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD
矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3.判定定理
判定定理 符号语言
角 有一个角是直角的平 行四边形是矩形 在 ABCD中，∠ABC=90°， ∴ ABCD是矩形
有三个角是直角的四 边形是矩形 在四边形ABCD中，∠BAD= ∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形 ABCD是矩形
对角线 对角线相等的平行四 边形是矩形 在 ABCD中，∵AC=BD， ∴DABCD是矩形
选择题
1.如图，用一根绳子检查一平行四边形书架是否是矩形，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线、就可以判断，其推理依据是（ ）
A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
【详解】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故选D．
2．如图，在中，，，点D为的中点，点E、F分别在边上，且，则下列说法：
①；
②；
③（S代表三角形面积）；
④（C代表三角形周长）
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形想的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．连接，证明，利用全等三角形的性质即可一一判断．
【详解】解：连接，
∵在中，，，
是等腰直角三角形，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴=定值
∴，故③正确，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确，
假如，
可得出，
∵和都是直角三角形，
∴，
无法证出，
故④错误，
故①②③正确，
故选：C．
3．如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．根据矩形的性质和等边三角形的判定得出是等边三角形，进而判断①正确；根据30度的直角三角形的性质判断②正确；证明是等边三角形，根据菱形的判定定理可判断③正确；设，分别求得和，即可判断④正确．
【详解】解：∵矩形的对角线相交于点O，
∴，
∵将沿翻折，点C恰好与点O重合，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故①正确；
∵是等边三角形，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴垂直平分，
∵，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，故④正确；
综上，①②③④都是正确的，
故选：A
4．如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用，先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到的长，解题时，常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
【详解】解：∵四边形为矩形，
，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
故选：B．
5．如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、等腰三角形的性质，先根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质得出，，，然后根据等边对等角得出，根据余角的定义、等量代换及等角对等边得出，设，根据勾股定理得出，根据线段的和差及勾股定理得出，最后再化简即可得出答案．
【详解】四边形为矩形
，
将矩形沿翻折，
，，
设
在中，
故选B．
6．如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为()
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是翻折变换，勾股定理,等腰三角形的性质和判定定理，矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键；
先根据图形翻折变换的性质求出的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论；
【详解】∵是翻折而成，
∴，，
∴，
∵是矩形的中心，
∴是等腰三角形，
∴
∴，
在中，，
即，解得，
在中，设，
则，
即，
解得，
∴．
故选：A．
7．下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：A、矩形的对角线平分、相等，故A正确，不符合题意；
B、矩形的四个角都是直角，故B正确，不符合题意；
C、矩形对角线互相垂直，故C错误，符合题意；
D、矩形是轴对称图形，故D正确，不符合题意；
故选C．
填空题
1.直角三角形两直角边的长为6和8，则该直角三角形斜边上的中线长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质．利用勾股定理先求解斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】解： 直角三角形两直角边的长为6和8，，则斜边为：
，
∴该直角三角形斜边上的中线长为，
故答案为：5．
2．如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】连接，过点作于．利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论．
【详解】解：连接，过点作于．
面积为24，，
，
，
垂直平分线段，
，
，
当的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
．
的值最小值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型．
3．如图，在中，点D是斜边的中点，点P在上，于点E，于点F，若，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了直角三角形斜边中线定理，勾股定理和三角形面积等知识，解题的关键是利用面积法求高．作于点M，连接，首先根据题意得到，，然后利用求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，作于点M，连接，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
4．如图，在矩形中，，，是延长线上的一点，且，是边上的一个动点（点不与点，重合），将沿折叠，当点的对应点落在矩形任意一边所在的直线上时，的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，先根据矩形的性质找到边长之间的关系，设出边长的值，构造出直角三角形，根据勾股定理求出的长，然后再根据勾股定理可得到有关的一元二次方程，求解即可，作辅助线，根据直角三角形三边关系得到等式是解题的关键．
【详解】解：∵在矩形中，，，
∴，
∵，
∴,
设，
∵沿折叠得到，
∴，，
①当点F落在上时，过点F作的平行线交于一点M，如图所示：
，
此时，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：；
②当点F落在直线上时，延长边,过点F作的平行线交的延长线于一点N，如图所示：
，
在中，，
即，
∴，
在中，，
即，
解得：，
综上的长为或，
故答案为：或．
5．如图，在长方形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，当点的对应点落在对角线上时，与交于点，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理．根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质的性质得到，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
将沿折叠，当点的对应点落在对角线上，
，
，
，
，
，
故答案为：．
解答题
1.如图，是的中线．
(1)如图1，若点恰好在的垂直平分线上，求的度数；
(2)如图2，若，过点作，垂足为点，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，中位线定理，等边三角形的判定和性质：
（1）设的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质可得，再由中位线定理即可得到答案；
（2）令，可得，，进而根据直角三角形斜边中线的性质可得是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得出结论．
【详解】（1）解：如图1，设的垂直平分线交于点，连接，
，
点、为、的中点，
，
；
（2）证明：令，
，，
，，
是的中线，
，
是等边三角形，
，
．
2.如图，是等腰直角三角形，点D在上运动，连接，以为直角边作等腰直角三角形，若点M是线段的中点，点P是线段的中点，点N是线段的中点，连接，点Q是线段的中点．
(1)求证：；
(2)判断线段、、的数量关系；
(3)证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，
（1）根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
（3）连接 ，根据直接三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】（1）证明：，是等腰直角三角形，
，．
，
．
在与中，
，
．
（2），
．
．
．
．
（3）连接
，是等腰直角三角形，M，N是中点
∴ ，
∴，为直角三角形
∵点P是线段的中点
∴
∵点Q是线段的中点
∴
3.如图，在和中，，连接与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质；连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解．
【详解】证明：连接，
∵，是的中点，
∴，
∵是的中点，
∴，即垂直平分．
4.如图1，某农户用一个长方形的玉米网围建玉米篓，为能稳固不变形，该农户用两根细铁丝对角绑定，如图2所示（点A，B，C，D在同一平面上）．已知玉米网的长为，宽为（玉米篓高）．
(1)求两根细铁丝的长度和．
(2)假设一只虫F沿铁丝从C到D以每分钟的速度运动，是否存在某一时刻t，使得（不包括点E，F重合时）？若存在，求出时间t，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意玉米网的长等于圆柱底面周长，即可求出底面直径，根据，求出和．
（2）存在，过点B作，根据面积相等求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
，
∵四边形是矩形，
，
∴两根细铁丝的长度和
（2）解：存在，过点B作，如图
根据矩形的性质可得，
，
，
，
当时，，
，
∵一只虫F沿铁丝从C到D以每分钟的速度运动，时间为t
∴，
，
∴当，．
5．如图，在中，，．
(1)的度数为______；
(2)分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点D，连接，则的度数为______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，证得是等边三角形是解答本题的关键．
（1）先根据题意求出线段，然后运用勾股定理逆定理即可解答；
（2）先根据垂直平分线的性质可得，再结合可得；再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得到是等边三角形即可解答．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∴，，,
∴,
∴．
（2）解：由图可知：是线段的垂直平分线，
∴,
∵，即,
∴,
∵，，
∴,
∴,即是等边三角形，
∴．
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八年级数学下册 18.2.1 矩形 导学案
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.
矩形的定义有两个要素：四边形是平行四边形；有一个角是直角。两者缺一不可.
2.性质
性质 符号语言
角 矩形的四个 角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°
对角线 矩形的对角 线相等 ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD
矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3.判定定理
判定定理 符号语言
角 有一个角是直角的平 行四边形是矩形 在 ABCD中，∠ABC=90°， ∴ ABCD是矩形
有三个角是直角的四 边形是矩形 在四边形ABCD中，∠BAD= ∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形 ABCD是矩形
对角线 对角线相等的平行四 边形是矩形 在 ABCD中，∵AC=BD， ∴DABCD是矩形
选择题
1.如图，用一根绳子检查一平行四边形书架是否是矩形，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线、就可以判断，其推理依据是（ ）
A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．如图，在中，，，点D为的中点，点E、F分别在边上，且，则下列说法：
①；
②；
③（S代表三角形面积）；
④（C代表三角形周长）
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为()
A． B． C． D．6
7．下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
填空题
1.直角三角形两直角边的长为6和8，则该直角三角形斜边上的中线长为 ．
2．如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ．
3．如图，在中，点D是斜边的中点，点P在上，于点E，于点F，若，，则 ．
4．如图，在矩形中，，，是延长线上的一点，且，是边上的一个动点（点不与点，重合），将沿折叠，当点的对应点落在矩形任意一边所在的直线上时，的长为 ．
5．如图，在长方形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，当点的对应点落在对角线上时，与交于点，则线段的长为 ．
解答题
1.如图，是的中线．
(1)如图1，若点恰好在的垂直平分线上，求的度数；
(2)如图2，若，过点作，垂足为点，求证：．
2.如图，是等腰直角三角形，点D在上运动，连接，以为直角边作等腰直角三角形，若点M是线段的中点，点P是线段的中点，点N是线段的中点，连接，点Q是线段的中点．
(1)求证：；
(2)判断线段、、的数量关系；
(3)证明．
3.如图，在和中，，连接与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分．
4.如图1，某农户用一个长方形的玉米网围建玉米篓，为能稳固不变形，该农户用两根细铁丝对角绑定，如图2所示（点A，B，C，D在同一平面上）．已知玉米网的长为，宽为（玉米篓高）．
(1)求两根细铁丝的长度和．
(2)假设一只虫F沿铁丝从C到D以每分钟的速度运动，是否存在某一时刻t，使得（不包括点E，F重合时）？若存在，求出时间t，若不存在，请说明理由．
5．如图，在中，，．
(1)的度数为______；
(2)分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点D，连接，则的度数为______．
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