专题12 （圆锥曲线、数列）
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列2，，9，，的一个通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项，结合排除法可得．
【详解】
第一项为正数，BD中求出第一项均为负数，排除，
而AC均满足， A中，，排除A，C中满足，，，
故选：C．
2．抛物线的焦点坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将抛物线方程化为标准方程即可求解﹒
【详解】
，则焦点坐标为﹒
故选：C﹒
3．已知双曲线的离心率为2，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由双曲线的性质，直接表示离心率，即可求．
【详解】
由双曲线方程可知，
因为，所以，解得： ，
又，所以.
故选：D
4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
【答案】B
【分析】
利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
【详解】
解：设数列为，首项为，公差为，
则，
，
解得，，
芒种日影长为．
故选：B．
5．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
已知焦点坐标，半长轴的长求椭圆标准方程，直接待定系数法求解方程.
【详解】
因为焦点坐标为和，焦点在x轴，所以，椭圆经过点，所以又因椭圆， 所以.
故选：A.
6．在数列中，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定条件推导出数列的周期，再借助周期性计算得解.
【详解】
在数列中，，，则，
，于是得数列是周期数列，周期为3，
，
所以.
故选：A
7．过双曲线（，）的左焦点作圆：的两条切线，切点分别为，，双曲线的左顶点为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据，，可以得到，从而得到与的关系式，再由，，的关系，进而可求双曲线的渐近线方程．
【详解】
解：由，，
则
是圆的切线，，
，，所以，
因为双曲线的渐近线方程为，即为．
故选：C
8．已知数列是递增的等差数列，且是函数的两个零点设数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据求等差数列的通项公式，，再将恒成立问题转化为，最后解对数不等式.
【详解】
数列是递增的等差数列，是函数的两个零点，
, ，
所以
即，从函数角度可知数列单调递增， .
要使不等式对任意正整数恒成立，
只要即可
，所以解，得，
实数的取值 .
故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．已知定点、，是动点且直线、的斜率之积为，则动点的轨迹可能是（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】ABC
【分析】
设点，根据已知条件可得出，其中，对实数的取值进行分类讨论，可得出动点的轨迹的形状.
【详解】
设点，则，则，其中.
当时，则方程为，此时点的轨迹是圆的一部分；
当且时，动点的轨迹是椭圆的一部分；
当时，动点的轨迹是双曲线的一部分.
故选：ABC.
10．椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆上存在点，使得
C．过点的直线与椭圆交于，两点，则的面积最大值为
D．定义曲线为椭圆的伴随曲线，则曲线与椭圆无公共点
【答案】BD
【分析】
利用椭圆方程给出的信息逐项分析、推理、计算即可判断作答.
【详解】
对于A：因，，则，即，离心率， A错误；
对于B：以线段为直径的圆O：，显然椭圆的短轴端点在圆O内，于是得圆O与椭圆C有公共点，
即椭圆上存在点，有，则，B正确；
对于C：显然直线AB不垂直于y轴，将直线的方程代入椭圆的方程得：，
设，，，
因此，
因为，当且仅当取等号，则，C错误；
对于D：椭圆中，，而伴随曲线中，，
因此，曲线与椭圆C不可能有公共点，D正确.
故选：BD
11．有一列数：，，该数列的特点是：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．，若数列为等比数列，公比为，则
D．
【答案】BD
【分析】
根据题中给出的信息，运用列举法分别求出数列中的项，发现数列是周期为的周期数列，然后利用周期性即可判断选项A，，利用等比数列的定义结合新定义即可判断选项C，利用，列举，，，然后迭加即可判断选项D．
【详解】
解：由题意得：，
所以，
，
，
，
，
，
左右相累加得：
即，
即，故D正确；
若数列为等比数列，公比为，
则，
所以，故C错误；
数列中的各项除以所得余数按原顺序构成的数列记为，
则
易得是周期为的数列．
所以，故A错误；
，故B正确．
故选：BD．
12．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若为中的不同两项，且，则最小值是1 D．若恒成立，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】
对于A，从前后两个图之间的关系可求出，对于B，由题意可知，数列是1为首项，为公比的等比数列，从而可求出，对于C，由结合，可得，而，从而可求出的值，则可求出的值，进而可求得最小值，对于D，由在上递增和在上递增，可求得结果.
【详解】
解：对于A，由题意可知，下一个图形的边长是上一个图边长的，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为，所以数列是公比为，首项为3的等比数列，所以，所以A正确，
对于B，由题意可知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，所以数列是1为首项，为公比的等比数列，所以，所以B错误，
对于C，由，，得，所以，所以，因为，所以当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以最小值是1，所以C正确，
对于D，因为在上递增，所以，即，
令，则在上递增，
所以，即，即，
因为恒成立，所以的最小值为，所以D正确，
故选：ACD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块共有9圈，则第六圈的石板块数是________．
【答案】54
【分析】
由题可知从第1圈到第9圈石板数形成首项为9，公差为9的等差数列，即可得出所求.
【详解】
由题可知从第1圈到第9圈石板数形成等差数列，且首项，公差，
则第圈的石板数为，
故答案为：54
14．已知双曲线：（，）与抛物线：（）有共同的一焦点，过的左焦点且与曲线相切的直线恰与的一渐近线平行，则的离心率为___________.
【答案】
【分析】
由题意可得过左焦点的直线为，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去，由可求得，再由直线与抛物线的渐近线平行，可得，进而可求出双曲线的离心率
【详解】
由题意得，双曲线右焦点为，则，
由双曲线的方程得其渐近线方程为，
设过左焦点的直线为，
由，得，
因为直线与抛物线相切，所以，
即，解得，
因为直线与抛物线的渐近线平行，所以，
所以，
故答案为：
15．为等比数列的前n项和，若，则的最小值为________.
【答案】
【分析】
设等比数列的公比为，由于，对分类讨论：，则，解得，可得．当时，可得，代入，变形利用基本不等式的性质即可得出．
【详解】
设等比数列的公比为，
若，则，解得．
当时，，
化简整理得，
则
，
当且仅当时取等号．
综上可得：最小值为．
故答案为：．
16．已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则面积的最小值为___________.
【答案】
【分析】
求出抛物线方程并设出切点坐标，写出切线方程，进而求出点Q的坐标，再设出直线l的方程，求出弦AB长及点Q到直线l的距离即可列式计算作答.
【详解】
抛物线C：的焦点坐标为，则，即，于是得抛物线C：，
依题意，设直线l的方程为：，由消去y并整理得：，
设点，，则有，
显然过点A的抛物线C的切线斜率存在，设此切线方程为，
由消去y并整理得，则有，
解得，即过点A的抛物线C的切线方程为，同理，过点B的抛物线C的切线方程为，
由 解得，于是得两切线的交点Q坐标为，
又，
点Q到直线l的距离，
，当且仅当时取“=”，
所以面积的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①，；②；③，．从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列是等差数列其前项和为，，若_________．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)求数列的通项公式；
【答案】
【分析】
若选择条件①：结合等差数列求和、通项公式，利用表示出已知等式，解方程组求得，由等差数列通项公式可求得结果；
若选择条件②：由已知等式可推导得到，由此可求得公差；结合可求得，由等差数列通项公式可求得结果；
若选择条件③：由与关系可得到数列是以为首项，为公差的等差数列，由等差数列通项公式可求得结果.
【详解】
若选择条件①：设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
若选择条件②：设等差数列的公差为，
，，
两式作差可得：，解得：；
由得：，即，解得：，
.
若选择条件③：当时，，解得：；
当且时，，
整理可得：，
又，，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
.
18．已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2.
（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离；
（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据已知计算双曲线的基本量，得双曲线焦点坐标及渐近线方程，再用点到直线距离公式得解.
（2）直线方程代入双曲线方程，得到关于的一元二次方程，运用韦达定理弦长公式列方程得解.
（1）
双曲线离心率为，实轴长为2，
，，解得，，
，
所求双曲线C的方程为；
∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为，
∴双曲线的焦点到渐近线的距离为.
（2）
设,,
联立，，，
，．
，
，
解得．
19．我国某西部地区要进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方千米，求：
（1）第n年绿洲面积与上一年绿洲面积an－1的关系；
（2）数列{an}的通项公式；
（3）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(lg 2＝0.301)
【答案】
（1）；
（2）
（3）至少经过6年，绿洲面积可超过60%
【分析】
（1）根据题意进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，把递推公式进行变形，利用等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
（3）根据（2）的结论，结合对数的运算性质进行求解即可.
（1）
由题意，得；
（2）
由（1）可知：，
可变形为：，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以有；
（3）
由（2）可知：，设经过年，绿洲面积可超过60%，
于是有：，
而，即，
所以至少经过6年，绿洲面积可超过60%．
20．已知动点到点的距离比它到轴的距离大1．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点、、在抛物线上，且，求证：直线过定点．
【答案】
（1）；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）令，根据题设条件有，讨论、化简整理求轨迹方程.
（2）由（1）得，设为，，，联立抛物线方程应用韦达定理得，，根据题设条件有，进而可得的数量关系，即可证明结论.
（1）
由题设，到点的距离比它到轴的距离大1，
∴，
当时，，整理得；
当时，，整理得；
∴动点的轨迹的方程为．
（2）
证明：，由（1）知：，
设的方程为，，，联立，得，
∴，，
由，同理，又，
∴，
∴，则，即（满足），
直线的方程为，
∴直线过定点，得证．
21．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上运动，面积的最大值为，左顶点为，上顶点为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求四边形面积的最大值及此时直线的方程．
【答案】
（1）
（2）最大值，直线的方程为
【分析】
（1）依题意得到、、的方程组，解得即可求出椭圆方程；
（2）依题意设：，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由，可得四边形为平行四边形，设四边形面积为，则，令，则，再根据对勾函数的性质计算可得；
（1）
解：依题意可得：①，②，且③，
由①②③可得：，，，则解得：，，，
所以椭圆的方程为．
（2）
解：由（1）可知，
所以由题设不与轴重合，所以设：，
联立方程组： ，化简得：．
设，，
所以，且，，
所以．
因为，所以四边形为平行四边形，
设四边形面积为，
则，
令（），
则．
因为当，函数单调递增，
所以当时，有最小值，
此时有最大值，
此时，所以直线的方程为．
22．已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）令，，求证：对任意的，都有；
（3）若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】
（1），
（2）证明见解析
（3），理由见解析
【分析】
（1）根据等差等比数列公式代入得到方程组，解得答案.
（2）计算得到，利用数学归纳法结合双勾函数单调性证明即可.
（3）验证的情况得到，再计算，得到，得到证明.
（1）
，则；，则；，则.
解得，，，故，.
（2）
，即，
当时，，故成立；
假设时成立，即；
当时，，函数在上单调递增，
，故，即时成立.
综上所述：对对任意的成立.
（3）
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
故，若存在满足条件，则.
，
，
两式相加得到：
，故.
， ，成立.
综上所述：存在使恒成立.专题12 （圆锥曲线、数列）
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列2，，9，，的一个通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的焦点坐标为( )
A． B． C． D．
3．已知双曲线的离心率为2，则（ ）
A．2 B． C． D．
4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
5．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．在数列中，，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．过双曲线（，）的左焦点作圆：的两条切线，切点分别为，，双曲线的左顶点为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列是递增的等差数列，且是函数的两个零点设数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．已知定点、，是动点且直线、的斜率之积为，则动点的轨迹可能是（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
10．椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆上存在点，使得
C．过点的直线与椭圆交于，两点，则的面积最大值为
D．定义曲线为椭圆的伴随曲线，则曲线与椭圆无公共点
11．有一列数：，，该数列的特点是：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．，若数列为等比数列，公比为，则
D．
12．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若为中的不同两项，且，则最小值是1 D．若恒成立，则的最小值为
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块共有9圈，则第六圈的石板块数是________．
14．已知双曲线：（，）与抛物线：（）有共同的一焦点，过的左焦点且与曲线相切的直线恰与的一渐近线平行，则的离心率为___________.
15．为等比数列的前n项和，若，则的最小值为________.
16．已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则面积的最小值为___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①，；②；③，．从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列是等差数列其前项和为，，若_________．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)求数列的通项公式；
18．已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2.
（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离；
（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值.
19．我国某西部地区要进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方千米，求：
（1）第n年绿洲面积与上一年绿洲面积an－1的关系；
（2）数列{an}的通项公式；
（3）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(lg 2＝0.301)
20．已知动点到点的距离比它到轴的距离大1．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点、、在抛物线上，且，求证：直线过定点．
21．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上运动，面积的最大值为，左顶点为，上顶点为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求四边形面积的最大值及此时直线的方程．
22．已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）令，，求证：对任意的，都有；
（3）若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
