高中数学2.2 对数函数导学案 湘教版必修1

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2.2对数函数导学案
【学习目标】理解对数函数的概念，会求对数型函数的定义域。理解常用对数函数、自然函数的概念会画对数函数和的图像，并根据图像特点给出性质。结合对数函数和的图像与性质，得出当函数的图像与性质。【重点、难点】理解对数函数的概念，会求对数型函数的定义域会画对数函数的图像，并根据图像特点给出性质。函数当函数的图像与性质。【温故而知新】指数函数的定义： 叫做指数函数指数函数的定义域为 R ，值域为 指数函数反映了数集R与数集{}之间的一一对应关系。指数式与对数式 相对应类似地指数函数与 相对应【教材助读】认真阅读课本P89—93，掌握对数函数的定义1.对数函数的定义：把函数 叫作对数函数，其中是自变量，函数的定义域是 ，叫作对数函数的 底数 。2.常用对数函数：以10为底的对数函数 3.自然对数函数：以无理数为底的对数函数 4.请同学们在同一直角坐标中作出函数 的图像.5.根据上述所作图像填写下表函数 图像 ( http: / / www.21cnjy.com )性质共同点定义域：；值域：；过点，即时，不同点，是上的增函数，是上的减函数比更靠近于轴比更靠近于轴与关于轴对称，与关于轴对称6.从上述图像，可归纳一般对数函数的图像和性质，填写下表a>10 0 时，y > 0时，y < 0在 上是增函数 在 上是减函数7.观察右图，归纳一般对数函数的底数对函数图像的影响并填空（1）一般地，当时，函数和的图像如图所示．由图像可以看出：两个函数都是上的增函数；当时，总有；当时，总有==；当时，总有；对数函数的底数越小，当时，其函数值增长得就越快．（2）当时，函数和的图像如图所示．由图像可以看出：两个函数都是上的减函数；当时，总有；当时，总有==；当时，总有； 对数函数的底数越大，当时，其函数值减少得就越快．【预习自测】1.给出下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.其中是对数函数的个数有 （ A ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2. 函数y＝(a＞0，a≠1)的图像过定点( B )．A．(1,1) B．(1,0) C．(0,1) D．(0,0)3.函数的图像过定点 （ B ）A. B．(1,0) C．(0,1) D.4.若对数函数的图像过点，则 0 1 5.关于对数函数，下列说法不正确的是（D）它们的图像都过点（1,0）点 B.它们的定义域都为（0，+），值域都为 RC.从左往右看的图像是上升的，的图像是下降D.它们的图像都在轴的上方【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】下列函数是对数函数的是________(填序号)．；(2)；(3)；(4)；(5)(，且)；(6)．答案：(5)【例2】求下列函数的定义域： （2） （4） （6） （8）答案：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）当时，定义域为；当时，定义域为 （8）【例3】已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝(－1≤x≤0)的值域为B.(1)求A∩B；(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B C，求a的取值范围．[解析](1)由题意知： x≥2. ∴A＝{x|x≥2}，B＝{y|1≤y≤2}．∴A∩B＝{2}． (2)由(1)知B＝{y|1≤y≤2}， 若要使B C，则有a－1≥2，∴a≥3.【例4】函数y=)恒过定点（2，0），则b=______3______。【我的收获】三、课后知能检测1．下列为对数函数的是( D )．A． B．C． D．函数是对数函数，则有（ C ）A. B. C. D.3.函数y＝的图像大致是( C )．4.已知函数＝，则( A )．A．f(3)＞0，＜0 B．f(3)＞0，＞0C．f(3)＜0，＞0 D．f(3)＜0，＜05.已知函数，若＝1，则＝( B )．A．0 B．1 C．2 D．36.已知f(x)＝log3x，则等于( B )．A．2 B．－2 C. D．7.设f(x)＝则f()＝(　A　)．A． B．－1 C．e D．3e8..函数的定义域为(　C　)．A． B．(－∞，1] C． D．9.如图所示曲线是对数函数y=的图像，a取、，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次为：（ A ）A、 B、 C、 D、10.函数y＝＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点___(2,2)___．11.对数函数的图像经过点（4,2），则= 12.已知函数的定义域为,函数的定义域为,则= ； 13.已知函数(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则b=　　-1　　.14.求下列函数的定义域：（1） （2）（3） （4）(5) f(x2－2)＝lg； (6) y＝.【答案】（1） （2） （3）（4）(5)设x2－2＝t，则x2＝2＋t，所以＝.所以f(t)＝lg，即f(x)＝lg.因为x2≥0，所以t＝x2－2≥－2，又＞0，所以t＞3.所以所求函数定义域为{x|x＞3}．(6)要使函数有意义需得得所以所求函数定义域为{x|－2≤x＜或＜x＜0或1＜x＜或＜x≤2}．3.5.2 对数函数导学案编写：蔡乐祥 审校：高一数学备课组一、课前自主导学【学习目标】理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象；2.会求对数型函数的值域，了解指数函数与对数函数互为反函数，并通过它们了解反函数的性质。3.借助于对数函数，进一步掌握函数图象变换的规律，了解函数图像的平移变换、对称变换、绝对值变换。【重点、难点】1.对数函数的定义、图象和性质2.对数函数的值域求解3.函数图像的变换【温故而知新】1.对数函数的定义：函数 叫做对数函数，函数的定义域为 2.对数函数的图像一定经过点 (1,0) 3.复习函数图像对称变换并填空1.平移变换，可概括为“左加右减，上加下减”2.伸缩变换，可概括为“横除纵乘”，即： 3.对称变换，可概括为“相关不变，无关变反”，即4.翻折变换，可概括为“去留之后再对称，下翻上”，即：（的绝对值，去左留右再对称）（的绝对值的相反数，去右留左再对称）（函数值的绝对值，下翻上）【教材助读】反函数的定义：如果把一个函数的函数值作为一个新函数的自变量，而自变量作为这个新函数的函数值，则称这两个函数互为反函数。互为反函数的性质：（1）函数的图像和它的反函数的图像关于直线 对称（2）互为反函数的两个函数，其中一个函数的图像过点，则另一个函数必过 【预习自测】1.给出下列函数：其中是对数函数的是 （1）（2） 2.函数的定义域是（ C ）.A. B. C. D. 3.的图像关于（ C ）A. B. C. D.4.的图像关于（ A ）A. B. C. D.【我的疑惑】课堂互动探究【例1】求下列函数的值域： （2） （4） 【答案】（1）R （2） （3） （4） （5）当时，值域为；当时，值域 为 （6）【变式训练1】1.函数的值域是(　C　) A．[0，＋∞) B．(－∞，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)2.函数在区间上最大值与最小值之差为___1_____．【变式训练2】为了得到函数的图像，只需要把函数y＝log3x的图像上所有的点(　D　)．A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【例3】写出下列函数的反函数：(1)；(2)；（3）解：(1).(2)(3)【变式训练】已知函数的图象过点(0,1),则的反函数的图象过点( A )A.(1,4) B.(4,1) C.(3,0) D.(0,3)【我的收获】课后知能检测函数的值域为 （ C ）A、 B、 C、 D、2.函数y＝的值域是________．3.若函数的定义域和值域都是[0，1]，则a=（D ）（A） （B） （C） （D）24.若函数f（x）=（0＜a＜1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于（ A ）A. B. C. D.5.函数的图像经过第一、二、三象限，则的取值范围为（ A ）A. B. C. D.无法确定6．函数f(x)＝的图象大致是(　C　)7.已知且,函数在同一坐标系中的图象可能是 （ C ）8.若当∈R时,函数且)满足≤1，则函数的图像大致为 （ C ） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )9.已知函数的反函数为，则＝___1_____.10．函数的反函数的图象与轴的交点坐标是___(0，－2)_______．11．函数在区间上的值域为[0,1]，则的最小值为________．解析：如图所示为的图象，当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或，故要使值域为[0,1]，则定义域为[，3]或[，1]或[1,3]，所以b－a的最小值为.答案： 函数 的值域为 13.已知函数. （1）求的定义域； （2）求的值域. 解：（1）有意义时，有 由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］ =log2［-（x-）2+］ (1＜x＜p), ①当1＜＜p，即p＞3时， 0＜-(x-, ∴log2≤2log2(p+1)-2. ②当≤1，即1＜p≤3时， ∵0＜-(x-∴log2＜1+log2(p-1). 综合①②可知： 当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］; 当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).3.5.3 对数函数导学案编写：蔡乐祥 审校：高一数学备课组一、课前自主导学【学习目标】1.进一步理解对数函数的概念、图像和性质；会求对数函数的定义域、值域、单调区间；会利用对数函数的性质判断两对数的大小，以及解对数型不等式和方程。【重点、难点】1.求有关对数函数的定义域、值域、单调区间2.会利用对数函数的性质判断两对数的大小，以及解对数型不等式和方程。【温故而知新】1.对数函数，当时，函数在上为增函数，当时，函数在函数上为减函数。2.函数的单调性增函数的定义：对于函数定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，若当时，都有则称函数在区间上是增函数. 减函数的定义：对于函数定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，若当时，都有则称函数在区间上是减函数. 复合函数的单调性定理①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增 ②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减【预习自测1】函数f(x)= 的定义域为 A. B. C. D.3.设函数f(x)＝ (a＞0，且a≠1).(1)求函数f(x)经过的定点坐标；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)解不等式＜1.【解析】(1)当x＝3时，＝0恒成立，所以函数f(x)所经过的定点坐标为(3,0).(2)当a＞1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递增函数；当0＜a＜1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递减函数.(3)不等式log3(x－2)＜1等价于不等式组解得2＜x＜5，所以原不等式的解集为(2,5).【我的疑惑】课堂互动探究【例1】求下列函数的单调区间： （2） （4） （6） （8） 【答案】（1）单调增区间： （2）单调增区间 ：；单调减区间： （3）单调增区间 ：；单调减区间： （4）单调增区间 ：；单调减区间： （5）单调增区间 ： （6）单调增区间 ：；单调减区间： （7）单调减区间： （8）单调减区间：【变式训练1】已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,?1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围. 解：令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=（x-）2-a-, 由以上知g(x）的图象关于直线x=对称且此抛物线开口向上. 因为函数f(x)=log2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-］上是减函数， 所以g(x)=x2-ax-a在区间（-∞,1-］上也是单调减函数，且g(x)＞0. ∴解得2-2≤a＜2. 故a的取值范围是{a|2-2≤a＜2}.【例2】比较下列各组数中两个值的大小：log23.4,log28.5 (2)log0.31.8,log0.32.7 （3）log67,log76 （4)log3π,log20.8 （5）log0.13,log0.23解：（1）考查对数函数y=log2x，因为它的底数2＞1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4＜log28.5考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数0＜0.3＜1,所以它在（0，+∞）上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7（3）∵log67＞log66=1，log76＜log77=1，∴log67＞log76（4）∵log3π＞log31=0，log20.8＜log21=0,∴log3π＞log20.8（5）作出函数log0.13,log0.23的图像，由图像可知log0.13> log0.23总结：比较两对数大小的方法： （1）两个同底数的对数值大小利用对数函数的单调性比较 （2）两个对数值不同底，真数也不同，经常在两个 对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小 （3）底不同，真数相同的两对数比较大小, 常借助函数 图象进行比较【例3】. 解不等式：解：由题意得 不等式的解集为【变式训练2】解不等式解：当时，原不等式化为 此时为空集。 当时，原不等式化为 此时。 综上：不等式的解集为【我的收获】课后知能检测1.比较大小：（1） < (2) > （3） > (4) > 2.已知函数f(x)＝是(0，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是(　D　)A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－1,0) D．(0，＋∞)3.若y＝在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是(　B　)A．(0,1) B．(1,2) C．(0,2) D．(1，＋∞)4.函数的单调递增区间是（ D ） B. C. D.5.函数f(x)=(4+3x-x2)的单调递减区间是 （ D ） （　　）A． B． C． D．6.函数,当时,则此函数的单调递增区间是 （ B ） （　　）A． B． C． D．7. 不等式的解是 9.求下列函数的单调区间：(1)y＝； (2)y＝. 解：(1)递增区间为 (－∞，－1)，递减区间为(3，＋∞)． (2)递增区间为，递减区间为.10.函数的图象和函数的图象的交点个数是( B )A．4 B．3 C．2 D．111.若不等式<0在(0，)内恒成立，则a的取值范围是(　A　)A．(，1) B．(0，) C．(0,1) D．(，1]12.已知函数f(x)＝，(1)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值；(2)若函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．解：(1)设.∵f(x)的值域为(－∞，－1]，∴，即，∴g(x)≥2.由3－a2＝2，得a＝1或a＝－1.(2)要使f(x)在(－∞，1]内是增函数，需g(x)在(－∞，1]上为减函数且g(x)＞0对于x∈(－∞，1]恒成立，∴，即.∴1≤a＜2.故实数a的取值范围是[1,2)．13.已知．（1）求定义域；（2）讨论函数的单调区间；（3）解方程．【解析】（1）由，得， 当时，定义域为；当时，定义域为．（2）当时，设，则 ， 当时，函数在上增函数；同理可证，当时，函数在上也是增函数．（3）由，得，推出，所以， ，，， ，（舍），．3.5.4 对数函数导学案编写：蔡乐祥 审校：高一数学备课组一、课前自主导学【学习目标】利用对数函数的图像和性质来解决对数函数的综合问题【重点、难点】对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性及应用；利用对数函数的图像和性质求解对数函数的综合问题。【温故而知新】函数的奇偶性：奇函数的定义：定义域关于原点对称，对任意的满足，则为奇函数偶函数的定义：定义域关于原点对称，对任意的满足，则为偶函数【预习自测1】1.已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调减函数,若,则x的取值范围为　　　　　　　　.【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0,+∞)上是单调减函数,所以f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,所以不等式可化为,所以,则,所以.2.已知函数f(x)=log2(2+x2).(1)判断f(x)的奇偶性.(2)求函数f(x)的值域.【解析】(1)因为2+x2>0对任意x∈R都成立,所以函数f(x)=log2(2+x2)的定义域是R.因为f(-x)=log2[2+(-x)2]=log2(2+x2)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)由x∈R得2+x2≥2,∴log2(2+x2)≥log22=1,所以值域为【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】已知函数f(x)＝－，a＞0且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a＞1时，求使f(x)＞0的x的解集．【解】(1)f(x)＝－，则解得－1＜x＜1.故所求函数f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}．(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，且f(－x)＝－ ＝－[－]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x＜1}内是增函数，所以f(x)＞0 ＞1，解得0＜x＜1.所以使f(x)＞0的x的解集是{x|0＜x＜1}．【例2】已知函数f(x)=(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=在［3，+∞）上为增函数，∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要loga3≥1=即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=在［3，+∞）上为减函数，则-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-loga3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，只要-loga3≥1成立即可， ∴loga3≤-1=,即≤3,∴≤a＜1. 综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1）.【例3】已知函数,.若的定义域为,求的范围; (2)若的值域为,求的范围.解:(1)由的定义域为,则恒成立, 若时,,,不合题意; 所以; 由得:. 由的值域为, 所以, ①若时,可以取遍一切正数,符合题意, ②若时,需,即; 综上,实数的取值范围为.【我的收获】课后知能检测1.函数f(x)＝lg|x|为(　D　)A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数2.设f(x)=lg,则的定义域为 （ B ） （　　）A．(-4,0)∪(0,4) B．(-4,-1)∪(1,4) C．(-2,-1)∪(1,2) D．(-4,-2)∪(2,4)3.已知函数,则下列结论正确的是 （ C ） （　　）A． B． C． D．4.设f(x)＝lg(＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是(　A　)．A．(－1,0) B．(0,1) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)5.若函数满足，则的解集是_______. 6.已知函数的自变量取值区间为A,若其值域也为A,则称区间A为的保值区间.若的保值区间是[2,+∞),则的值为________.7.已知是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设＝()，＝()，＝()，则的大小关系是_______．8.函数在[0,1]上的最大值与最小值之和为，则 ．9.已知函数为偶函数. (Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 若方程有且只有一个根, 求实数的取值范围. 【答案】解:(1)因为为偶函数,所以 即∴ ∴ ,∴ (2)依题意知: 由得 ①∴ 令 ,则①变为 只需其有一正根. (1) 不合题意 ①式有一正一负根, 经验证满足 (3)两相等正根, 经验证 10.设f(x)为奇函数，且当x>0时，.(1)求当x<0时，f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)≤2.[解析](1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－．故当x<0时，f(x)＝－．(2)由题意及(1)知，原不等式等价于或，解得x≥或－4≤x<0.已知函数 （1）若的定义域为R，求实数的取值范围 （2）若的值域为R，求实数的取值范围解：（1）要使的定义域为R，只要使的值域为正值，所以，解得若的值域为R，则的值域包括。当时，这不可能；当时，的值域为R，成立；当时，的值域要包括，则，解得。综上所述，3.5.5 指数函数与对数函数复习导学案编写：蔡乐祥 审校：高一数学备课组 一、课前自主导学【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).【重点、难点】理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.【温故而知新】知识框图：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象21世纪教育网[]定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数 图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.【预习自测1】1.化简下列各式：(1)； (2).【答案】（1）-27；（2）．【解析】(1) ； 2.计算(1)； (2)；(3)． 【答案】(1)；(2)1；(3)3；(4)14．【解析】（1）原式 =；(2)原式= = =1-+=1(3)原式===2+=3；3.已知函数则( )A.4 　B. C.-4 D.-【答案】B【解析】，.【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】已知常数a、b满足a＞1＞b＞0，若f(x)＝lg(ax－bx)，(1)求y＝f(x)的定义域；(2)证明y＝f(x)在其定义域内是增函数；(3)若f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，且f(2)＝lg 2，求a，b的值．(1)解：由ax－bx＞0，得＞1.因为a＞b＞0，所以＞1.所以y＝是增函数．而且由＞1得x＞0，即函数f(x)的定义域是(0，＋∞)． (2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，因为a＞1，所以g1(x)＝ax是增函数．所以－＜0，因为，所以是减函数.所以－0(－)－(－)＜0，即(－)－(－)＜0.因此0＜－＜－，于是lg(－)＜lg(－)，故f(x)＝lg(ax－bx)在(0，＋∞)内是增函数．(3)解：因为f(x)在(1，＋∞)内为增函数，所以对于x∈(1，＋∞)内每一个x值，都有f(x)＞f(1)．要使f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，即f(x)＞0，只需f(1)＝0.于是f(1)＝lg(a－b)＝0，得a－b＝1.又f(2)＝lg 2，所以lg(a2－b2)＝lg 2.所以a2－b2＝2，即(a＋b)(a－b)＝2.而a－b＝1，所以a＋b＝2.由解得经检验知a＝，b＝为所求．【例2】已知函数．(1)求证：函数在(－∞，＋∞)内单调递增；(2)若关于x的方程在[1,2]上有解，求m的取值范围．解：(1)证明：任取x1＜x2，则＝＝，∵x1＜x2，∴.∴，.∴，即函数在(－∞，＋∞)内单调递增．(2)∵，当1≤x≤2时，，∴.∴m的取值范围是.【例3】定义在R上的函数满足，当时，．(1) 求的值；(2) 比较与的大小．解：（1）∵, ∴,.∵,∴,(2) ∵ ∴而∴【我的收获】三、课后知能检测1．给定函数①y＝x，②，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(　B　)A．①②　　　　　　　　 B．②③C．③④ D．①④2.已知函数若，则实数等于（ C ）．A. 　B. C. 2 D. 93.函数的定义域( D ) ．A. B. C. D. 4.函数的图象是（ B ） A． B． C． D．已知，，，则(　D　) A．a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b6.若，则的值为(　C　)A．3 B．C．6 D．7.下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(　B　)A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3xC．f(x)＝ D．f(x)＝()x8.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|}，则的解集为(　D　)A． B．C． D．9.方程log2(x＋4)＝3x解的个数是(　C　)A．0个 B．1个C．2个 D．3个10．已知f(x)＝在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是(　C　)A．(－4,4) B．[－4,4)C．(－4,4] D．[－4,4]11．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是(　D　)A．(1，＋∞) B．(－∞，3)C．[，3) D．(1,3)函数y＝(x2－3x)的单调递减区间是__(3，＋∞)______．13．关于函数有以下4个结论：①定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)；②递增区间为[1，＋∞)；③是非奇非偶函数；④值域是(，＋∞)．则正确的结论是__②③______．(填序号即可)[答案]　②③[解析]　①不正确，因为y＝2 x2－2x－3的定义域为R；④不正确，因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴2 x2－2x－3≥2－4＝，即值域为[，＋∞)；②正确，因为y＝2u为增函数，u＝x2－ ( http: / / www.21cnjy.com )2x－3在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，所以y＝2 x2－2x－3的递增区间为[1，＋∞)；③正确，因为f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)．14．将函数的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到图像C，若将的图像向上平移2个单位，也得到图像C，则＝___　_____.[解析]　函数y＝log2x的图像上每一点 ( http: / / www.21cnjy.com )的纵坐标不变，横坐标变为原来的m(m>0)倍，得到函数y＝log2的图像，将y＝log2x的图像向上平移2个单位，得到函数y＝log2x＋2，依题意有2＋log2x＝log2，所以m＝.15.已知函数为常数)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性.(3)若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围.【解析】(1)由∵a＞0，x≥0 ∴f(x)的定义域是.(2)若a=2，则设 ， 则故f(x)为增函数.(3)设 ①∵f(x)是增函数，∴f(x1)＞f(x2)即 ②联立①、②知a＞1，∴a∈(1，+∞).已知，．(1)求；(2)判断并证明f(x)的单调性；(3)若，求m的取值范围．[解析]　(1)设，则，则，∴．设，则 ＝＝．∵，∴，则有.而,，∴．∴函数f(x)为R上的增函数．(3)∵∴为奇函数．∵，∴∵在R上是增函数，∴.解得.故的取值范围是(－∞，－1)． 【教学笔记】 【教学笔记】 【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】【教学笔记】
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B
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