高中数学《指数函数》学案 湘教版必修1

指数函数
一．课题：指数函数
二．学习目标：
1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；
2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；
3.培养学生的数学应用意识。
三．学习重点：函数单调性、奇偶性的证明通法
四．学习难点：指数函数的性质应用
五．学习过程：
（一）复习：（提问）
1.指数函数的图象及性质
2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断
3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
（1）考查函数定义域是否关于原点对称；
（2）比较与或者的关系；
（3）根据函数奇偶性定义得出结论。
（二）新课讲解：
例1．当时，证明函数 是奇函数。
证明：由得，，
故函数定义域关于原点对称。
∴
所以，函数 是奇函数。
评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。
例2．设是实数，，
（1）试证明：对于任意在为增函数；
（2）试确定的值，使为奇函数。
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。
（1）证明：设，则
，
由于指数函数在上是增函数，且，所以即，
又由，得，，
所以，即．
因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数。
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。
（2）解：若为奇函数，则，
即
变形得：，
解得：，
所以，当时, 为奇函数。
评述：此题并非直接确定值，而是由已知条件逐步推导值。应要求学生适应这种题型。
六．练习：
（1）已知函数为偶函数，当时，,求当时，的解析式。
（2）判断的单调区间。
七．小结：1．灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。
八．作业：
补充：
1．已知函数，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求证函数在上是增函数。
2．函数的单调递减区间是 ．
3.已知函数定义域为，当时有，求的解析式。