高中数学《对数函数》导学案 湘教版必修1

对 数 函 数
1.通过具体实例,直观了解对数函数模型所 ( http: / / www.21cnjy.com )刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性和特殊点.
2.理解反函数的概念,能求简单的对数函数或指数函数的反函数.
3.掌握对数函数的图像和性质,并利用对数函数的单调性解决综合性问题.
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噪音与对数
声音一般用分贝(dB)来度量(见下表).
感觉 声源 分贝(dB)
有听觉 蚊子飞过的声音 0-10
安静 图书馆 31-40
中度大声 电视机 70
很大声 火车 90
　　40分贝以内是正常的环境声音,太大声便 ( http: / / www.21cnjy.com )会造成噪音.噪音不仅会影响睡眠和休息,干扰工作,使听力受损,甚至会引起心血管系统、消化系统、神经系统等疾病.
分贝的值是如何计算的呢 首先,设B为我们听觉所能觉察到的最低强度,如有一声源发出的声音强度为x,则此声源的分贝y的计算公式为y=10lg.
问题1:(1)设一只蚊子飞过时的声音强度刚好为10B,则此强度所对应的分贝数为　　　　　　(列出等式);
(2)在(1)的条件下,10只蚊子同时飞过 ( http: / / www.21cnjy.com )时的声音强度所对应的分贝数为　　　　　　　　,100只蚊子同时飞过时的声音强度所对应的分贝数为　　　　　　　　.
问题2:(1)一般地,函数　　　　　　叫作对数函数,其中　　　　　　.x是自变量,函数的定义域为　　　　,值域是　　　　.
(2)两种特殊的对数
常用对数函数:以10为底的对数函数y=log10x写成　　　　　　,
自然对数函数:以e为底的对数函数y=logex写成　　　　　　.
问题3:反函数的定义:指数 ( http: / / www.21cnjy.com )函数y=f(x)=ax和对数函数x=logay(a>0,a≠1)刻画的是同一对变量之间的关系,所不同的是:在指数函数y=f(x)=ax中,　　　　是自变量,　　　　是　　　　的函数,其定义域是　　　　,值域是　　　　;在对数函数x=logay中,　　　　是自变量,　　　　是　　　　的函数,其定义域是　　　　,值域是　　　　.像这样的两个函数叫作互为反函数.通常情况下,x表示自变量,y表示函数,所以此时对数函数表示成y=f-1(x)=logax(a>0且a≠1),这样对数函数y=f-1(x)=logax(x∈(0,+∞))和指数函数y=ax(x∈R)互为　　　　.
问题4:作出对数函数y=logax当a>1和0y=logax(a>1) y=logax(0图像 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
　　(续表)
y=logax(a>1) y=logax(0性质 定义域 　　　　
值域 　　　　
过定点 　　　　,即x=　　　　时,y=　　　　
当　　　　时,y>0; 当　　　　时,y<0 当　　　　时,y<0; 当　　　　时,y>0
在(0,+∞)上是　　　　函数 在(0,+∞)上是　　　　函数
1.已知点(2,m)是f(x)=lox的反函数图像上的一点,则m的值为(　　).
A.5　　 B.　　 C.10　 D.
2.函数y=x+a与y=logax的示意图画在同一平面直角坐标系中,可能是(　　).
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3.已知函数y=f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=3x-1,设f(x)的反函数是y=g(x),则g(-8)=　　　　.
4.若实数a满足loga<1,求a的取值范围.
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对数型函数的定义域
求函数y=log3x-1(x-1)的定义域.
反函数的概念
写出下列函数的反函数.
(1)y=3x;(2)y=lox;(3)y=ln x;(4)y=()x.
对数型函数的恒成立问题
已知函数f(x)=log2(x2-2x+m+2),若该函数的定义域为R,试求实数m的取值范围.
求函数y=的定义域.
已知函数y=ex的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则(　　).
A.f(2x)=e2x(x∈R) B.f(2x)=ln 2·ln x(x>0)
C.f(2x)=2ex(x∈R) D.f(2x)=ln x+ln 2(x>0)
已知函数f(x)=log2(x2-2x+m+2),若该函数的值域为R,试求m的取值范围.
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1.函数y=1+lox的反函数是(　　).
A.y=2x-1(x∈R)　　 B.y=()x-1(x∈R)
C.y=2x-1(x∈R) D.y=21-x(x∈R)
2.函数f(x)=log2(3x+1),x≥1的值域为(　　).
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
3.对于0loga(1+);③a1+a<;④a1+a>,其中成立的是　　　　.
4.已知f(x)=log2x,g(x)=lg x.
(1)当x为何值时,f(x)=g(x)
(2)当x为何值时,f(x)>1
(3)当x为何值时,0　　(2013年·广东卷)函数f(x)=的定义域是(　　).
A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)
考题变式(我来改编):
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答案
第6课时　对 数 函 数
知识体系梳理
问题1:(1)y=10lg=10　(2)y=10lg=20
y=10lg=30
问题2:(1)y=logax　a>0且a≠1　(0,+∞)　R
(2)y=lg x　y=ln x
问题3:x　y　x　R　(0,+∞)　y　x　y　(0,+∞)　R　反函数
问题4:(0,+∞)　R　(1,0)　1　0　x>1　01　0基础学习交流
1.D　因为对数函数f(x)=lox的反函数为y=()x,将(2,m)代入得m=.
2.C　C中,03.-2　由已知求出当x<0时,f(x)=-3-x+1,再由互为反函数的关系得-3-x+1=-8,求出x=-2.
4.解:原不等式可化为loga<1=logaa.
①当a>1时,对数函数y=logax是增函数,
∴有a>,即a>1;
②当0∴有>a,即0综上可知a∈(0,)∪(1,+∞).
重点难点探究
探究一:【解析】要使函数y有意义,必须同时成立,
解得综上所述,函数的定义域为(1,+∞).
【小结】已知函数解析式求定义域,常规为:零指数次幂中,底数不为0;偶次根式被开方式(数)非负;对数的真数大于0,底数大于0且不等于1.
探究二:【解析】(1)指数函数y=3x的反函数为对数函数y=log3x(x>0);
(2)对数函数y=lox的反函数为指数函数y=()x(x∈R);
(3)对数函数y=ln x的反函数为指数函数y=ex(x∈R);
(4)指数函数y=()x的反函数为对数函数y=lox(x>0).
【小结】求反函数的步骤:(1)由y=f(x)解出x=φ(y);(2)互换:x,y对换得反函数的解析式;(3)注意反函数的定义域.
探究三:【解析】该函数的定义域为R,意 ( http: / / www.21cnjy.com )味着不等式x2-2x+m+2>0的解集为R,即不等式对一切x∈R恒成立,也就是函数u(x)=x2-2x+m+2的图像在x轴上方.
由题设,得不等式x2-2x+m+2>0,对一切x∈R恒成立.
∴Δ=(-2)2-4(m+2)<0,解得m>-1.
【小结】研究复合函数的性质时,要分层研究.
思维拓展应用
应用一:要使函数有意义,则
∴其定义域为{x|0应用二:D　∵f(x)与y=ex互为反函数,∴f(x)=ln x,故f(2x)=ln 2x=ln x+ln 2,x>0.
应用三:要使函数f(x)=log2 ( http: / / www.21cnjy.com )(x2-2x+m+2)的值域为R,则x2-2x+m+2>0恒成立,所以应用Δ=(-2)2-4(m+2)<0,解得m>-1,即m的取值范围为(-1,+∞).
[问题]上述解法正确吗
[结论]错误,上述解法错误的原因在 ( http: / / www.21cnjy.com )于没有准确地理解函数f(x)=log2(x2-2x+m+2)的值域为R的意义.令u(x)=x2-2x+m+2,根据对数函数的图像和性质可知,当且仅当x2-2x+m+2的值能取到一切正实数时,函数f(x)=log2(x2-2x+m+2)的值域才是R.而当Δ<0时,由图可知x2-2x+m+2>0恒成立,只能证明函数的定义域为R,而不能保证u(x)可以取到一切正数.要使u(x)能够取到一切正数,结合二次函数图像可知,u(x)的图像应与x轴有交点才能满足.
于是,正确解答如下:
Δ=(-2)2-4(m+2)≥0,
解得m≤-1.
即m的取值范围为(-∞,-1].
基础智能检测
1.D　∵y-1=lox,∴()y-1=x,即21-y=x.
∴反函数为y=21-x(x∈R).
2.B　设y=f(t),t=3x+1.
∵t=3x+1在[1,+∞)上是增函数,∴t≥31+1=4.
又∵y=log2t在[4,+∞)上是增函数,∴y≥log24=2,
∴函数f(x)的值域为[2,+∞).
3.②④　由于0∴loga(1+a)>loga(1+),a1+a>.
∴成立的是②④.
4.解:(1)由f(x)=g(x)得log2x=lg x,此时x=1;
(2)由f(x)>1得log2x>1=log22,∴x>2;
(3)由0∴1全新视角拓展
C　对数真数大于零,分母不等于零,所以选C.
思维导图构建
②常数　自变量x　③1　y=x