高中数学 第2章《2.3 幂函数》导学案 湘教版必修1

幂　函　数
1.通过实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.
2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x-1,y=的图象,了解它们的变化情况.
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在初中,我们学过一些特殊图形或几何体的面积和体积公式,它们其实也是函数,如正方形的面积S关于边长a的函数是S=a2,正方形的边长a关于面积S的函数是a=,圆的面积S关于半径R的函数是S=πR2,正方体的体积V关于棱长a的函数是V=a3 .
问题1:(1)把上面的函数的自变量和函数换成字母x和y表示后分别是y=x2,y=,y=πx2,y=x3 ,其中符合y=xa形式的函数有　　　　个,分别是　　　　,　　　　,　　　　.
(2)一般地,形如　　　　的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(3)幂函数的特点是底数是　　　　,指数是　　　　,系数是　　　　.
问题2:常见的幂函数y=x,y=x-1,y=x2,y=x3,y=的图象和性质是怎样的
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　　　函数性质 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) (-∞,+∞) [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 (-∞,+∞) [0,+∞) (-∞,+∞) [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (-∞,0]减,[0,+∞)增 增 增 (-∞,0)减,(0,+∞)减
定点 (0,0),(1,1) (1,1)
　　问题3:幂函数的性质主要有哪些
(1)所有幂函数在(0,+∞)上都有意义,并且图象都过点　　　　.
(2)当α>0时,则幂函数的图象都过点　　　　　　　　,并且在区间[0,+∞)上为　　　　;当α为奇数时,幂函数为　　　　;当α为偶数时,幂函数为　　　　.
(3)当α<0时,则幂函数图象都过点　　　　,在区间(0,+∞)上是　　　　,在第一象限内,当x从右边趋于原点时,图象在y轴右方无限地逼近　　　　轴,当x趋向+∞时,图象在x轴上方无限地逼近　　　　轴.
问题4:如何比较两个幂的大小
比较两个幂的大小,需观察两个幂的结构特征.
(1)若两个幂的指数相同,构造幂函数,根据函数的　　　　比较大小;
(2)若两个幂的底数相同,构造指数函数,利用指数函数的　　　　比较大小;
(3)若两个幂的底数和指数均不同,找一个中间幂,使之与一个幂的　　　　,与另一个幂的　　　　,分别将此幂与它们比大小.
1.下列函数①y=2x2;②y=x2+1;③y=;④y=2x,其中是幂函数的是　　　　.
2.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为　　　　.
3.幂函数f(x)的图象过点(4,2),则f(9)=　　　　.
4.求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性.
(1)y=x-2;(2)y=.
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幂函数的概念
已知y=(m2+2m-2)·+2n-3是幂函数,求m,n的值.
幂函数单调性的应用
比较下列各组数中两个数的大小:
(1)()0.5与()0.5;
(2)(-)-1与(-)-1;
(3)(与(.
幂函数的定义域、值域问题
求下列函数的定义域和值域.
(1)y=;
(2)y=.
已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.
(1)(-,(-,(-的大小关系为　　　　.
(2)已知幂函数y=xp-3(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围.
求下列函数的定义域、值域.
①y=x6;②y=;③y=;④y=x-5.
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1.下列幂函数①y=x-1;②y=;③y=x;④y=x2;⑤y=x3,其中在定义域内为增函数的个数为　　　　.
2.下列幂函数①y=;②y=x4;③y=x-2;④y=,
其中图象过点(0,0),(1,1),且是偶函数的是　　　　.
3.若幂函数y=(m2+3m-17)·的图象不过原点,则m的值为　　　　.
4.比较下列各组数的大小:
(1)1.,1.,1;
(2)3.,3.,(-1.8;
(3)31.4,51.5.
　　设a=0.40.5,b=0.60.5,c=0.60.3,则a,b,c的大小关系是　　　　.
　　考题变式(我来改编):
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第8课时　幂　函　数
知识体系梳理
问题1:(1)3　y=x2　y=　y=x3　(2)y=xα　(3)x
常数　1
　　问题3:(1)(1,1)　(2)(0,0),(1,1)　增函数　奇函数　偶函数　(3)(1,1)　减函数　y　x
　　问题4:(1)单调性　(2)单调性　(3)底数相同　指数相同
基础学习交流
1.③　根据幂函数的定义知,①②④均不是幂函数,③函数y=化为y=x-2,符合幂函数的定义.
2.1,3　当α=1,3时,函数y=xα的定义域为R,且为奇函数.
当α=-1时,y=的定义域是{x|x∈R且x≠0}.
当α=时,y==的定义域是{x|x≥0}.
3.3　设f(x)=xα,由图象过点(4,2),∴有4α=2,
∴α=,∴f(x)=,则f(9)==3.
4.解:(1)y=x-2=,定义域是{x|x≠0},是偶函数.
(2)y==,定义域是R,是偶函数.
重点难点探究
探究一:【解析】由题意得
解得
∴m=-3,n=即为所求.
【小结】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样,是一种形式定义,其表现形式非常严格.判断一个函数是否为幂函数,关键是看它是否具有幂函数的三个特征:①指数为常数α,且α为任意实常数;②底数为自变量;③系数为1.
　　探究二:【解析】(1)∵幂函数y=x0.5在(0,+∞)上是单调递增的,
又>,∴()0.5>()0.5.
(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,
又-<-,∴(-)-1>(-)-1.
(3)∵函数y1=()x为减函数,
又>,∴(>(,
又∵函数y2=在(0,+∞)上是增函数,且>,
∴(>(,∴(>(.
【小结】本题是比较大小的基本题,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.
　　探究三:【解析】(1)y==.定义域为{x|x∈R且x≠0},值域为(0,+∞).
(2)y==定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞).
【小结】当幂函数的指数为分数形式时,需将其转化为根式,利用根式的有关要求求出自变量的取值范围.
思维拓展应用
应用一:(1)若f(x)为正比例函数,则
m=1.
(2)若f(x)为反比例函数,则
m=-1.
(3)若f(x)为二次函数,则
m=.
(4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,解得m=-1±.
应用二:(1)(->(->(-　(1)∵y=,>0,∴y=在(0,+∞)上单调递增.∵<<,∴(<(<(.
又∵(-=-(,(-=-(,(-=-(,
∴(->(->(-.
(2)∵幂函数y=xp-3在(0,+∞)上是减函数,∴p-3<0,∴p<3,又∵p∈N*,∴p=1或2.
∵幂函数y=xp-3图象关于y轴对称,
∴函数y=xp-3为偶函数,∴p=1.
∴(a+1<(3-2a.
∵y=在R上是增函数,∴a+1<3-2a,∴a<.
即a的取值范围为(-∞,).
应用三:①y=x6的定义域为R,值域为[0,+∞).
②y==的定义域为R,值域为R.
③y==的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞).
④y=x-5=的定义域为{x|x∈R且x≠0},值域为{y|y∈R且y≠0}.
基础智能检测
1.3　由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数.
2.②　函数y=,y=不是偶函数,故排除①④;函数y=x-2是偶函数,但其图象不过点(0,0),故排除③;函数y=x4的图象过点(0,0),(1,1)且是偶函数,故选②.
3.-6　由 m=-6.
4.解:(1)比较幂1.、1.、1的大小就是比较1.、1.、的大小,而函数y=在(0,+∞)上单调递增,且1.7>1.5>1,所以1.>1.>1.
(2)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0<3.<1,3.>1,(-1.8<0,从而可以比较出它们的大小,即(-1.8<<3..
(3)由于它们的底数和指数都不同且大于1,故可插入一个中间数31.5,利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5,故31.4<51.5.
全新视角拓展
a且0.4<0.6,所以0.40.5<0.60.5,
又y=0.6x在R上为减函数,
且0.5>0.3,所以0.60.5<0.60.3,所以a