高中数学 2.3 幂函数学案 湘教版必修1

2.3　幂函数
自主学习
1．掌握幂函数的概念．
2．熟悉α＝1,2,3，，－1时幂函数y＝xα的图象与性质．
3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．
1．一般地，幂函数的表达式为________________；其特征是以幂的________为自变量，________为常数．
2．幂函数的图象及性质
在同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图．结合图象，填空．
(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．
(2)若α>0时，幂函数图象过点____ ( http: / / www.21cnjy.com )____________，且在第一象限内________；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象________．
(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调________，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．
(4)当α为奇数时，幂函数图象关于________________对称；当α为偶数时，幂函数图象关于________对称．
(5)幂函数在第________象限无图象．
对点讲练
理解幂函数的概念
【例1】 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
规律方法　幂函数y＝xα (α∈R)，其中 ( http: / / www.21cnjy.com )α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．
变式迁移1 已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
幂函数单调性的应用
【例2】 比较下列各组数的大小
(1) 3－与3.1－；(2)－8－与－.
规律方法　比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．
变式迁移2 比较下列各组数的大小：
(1)－与－；　(2)4.1，(－1.9)与3.8－.
幂函数性质的综合应用
【例3】 已知幂函数y＝x ( http: / / www.21cnjy.com )3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的范围．
规律方法　(1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．
变式迁移3 已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象．
1．求幂函数的定义域时要看指数的正负和 ( http: / / www.21cnjy.com )指数中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝(m、n∈N*，m、n互质)时，有：
n m y＝x的奇偶性 定义域
奇数 偶数 非奇非偶函数 [0，＋∞)
偶数 奇数 偶函数 (－∞，＋∞)
奇数 奇数 奇函数 (－∞，＋∞)
2.幂函数y＝x的单调性，在(0，＋∞)上，>0时为增函数，<0时为减函数．
课时作业
一、选择题
1．下列命题：
①幂函数的图象都经过点(1,1)和 ( http: / / www.21cnjy.com )点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n＝0时，y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时，是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的是(　　)
A．①和④ B．④和⑤
C．②和③ D．②和⑤
2．下列函数中，不是幂函数的是(　　)
A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2
3．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y＝x下方的偶函数是(　　)
A．y＝x B．y＝x－2 C．y＝x2 D．y＝x－1
5．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是(　　)
A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
二、填空题
6．若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________.
7．设f(x)是定义在R上的奇函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是____________．
8. 如图所示是幂函数y＝xα在第一象限内的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象，已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为________________．
三、解答题
9．已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，
(1)f(x)>g(x)；　(2)f(x)＝g(x)；　(3)f(x)10．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求其解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．
§2.3　幂函数 答案
自学导引
1．y＝xα　底数　指数
2．(1)(1,1)　(2)(0,0)，(1,1)　递增　下凸　(3)(1,1)　递减　(4)原点(0,0)　y轴
(5)四
对点讲练
【例1】 解　根据幂函数定义得
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3.
变式迁移1　解　由题意得，
解得，所以m＝－3，n＝.
【例2】 解　(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以3－>3.1－.
(2)－8－＝－，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，又>，则>，
从而－8－<－.
变式迁移2　解　(1)－＝－，
－＝－，
∵函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，
又∵>，
∴－＝－<－
＝－.
(2)4.1>1＝1,0<3.8－<1－＝1，
(－1.9)<0，
所以(－1.9)<3.8－<4.1.
【例3】 解　∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，∴m＝1,2.
又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1，
∴有(a＋1)－<(3－2a)－.
又∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a
或a＋1<0<3－2a，解得变式迁移3　解　由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.
又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3，
当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题意．
∴m＝－1,1,3.
当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图①所示．
当m＝1时，y＝x－4，其图象如图②所示．
课时作业
1．D　2.A　3.A　4.B
5．B　[由已知
得m＝1或m＝2.]
6.
解析　设f(x)＝xα，则9α＝，α＝－.
∴f(25)＝25－＝.
7．[，＋∞)
解析　f(x＋t)≥2f(x)，即(x＋t)2≥2x2.
即x2－2tx－t2≤0在x∈[t，t＋2]上恒成立，
又对称轴为x＝t，只须g(t＋2)≤0，∴t≥.
8．2，，－，－2
9．解　设f(x)＝xα，由题意得：2＝()2 α＝2，
∴f(x)＝x2.
同理可求：g(x)＝x－2，在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)．
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)．
(3)当－110．解　由幂函数的性质，知m2－2m－3<0，
∴(m＋1)(m－3)<0.∴－1又∵m∈Z，∴m＝0,1,2.
当m＝0或2时，y＝x－3，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵(－x)－3＝－x－3，
∴y＝x－3是奇函数．
又∵－3<0，∴y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数．
当m＝1时，y＝x－4，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵(－x)－4＝＝＝x－4，
∴函数y＝x－4是偶函数．
∵－4<0，∴y＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．
又∵y＝x－4是偶函数，
∴y＝x－4在(－∞，0)上是增函数．
综上，当m＝0或2时，y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )x－3，此函数是奇函数，且在 (－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数；当m＝1时，y＝x－4，此函数为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．