高中数学 2.3 幂函数学案 湘教版 必修1

幂函数
【学习目标】
掌握幂函数的定义及性质．能根据所给条件求出幂函数的表达式．
【学习重点】
幂函数的定义及性质
【预习内容】
1、幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．
2、幂函数的性质
（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限；
（2）当时，幂函数在上 ；当时，幂函数在上 ；
（3）当时，幂函数是 函数；当时，幂函数是 函数（填“奇”、“偶”）．
3、函数的值域是 ．
4、在以下四个函数：中，定义域为的函数是 ．
选题意图：了解确定不同幂函数的定义域．
5、幂函数的图象经过点，则它的单调增区间是 .
选题意图：了解确定幂函数表达式只需1个条件即可．
6、设，则使函数的定义域为且为奇函数的的值是 ．
选题意图：了解不同幂函数的定义域及奇偶性．
7、幂函数在上是增函数，则m= ．
选题意图：了解不同幂函数的定义域及奇偶性．
【典型示例】
幂函数的意义
例1 已知函数，当 为何值时，：
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；
答案：（1）或（2）（3）（4）（5）
变式训练：已知函数，当 为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。
简解：解得：
小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。
例2 比较大小：
（1） （2）（3）（4）
解：（1）∵在上是增函数，，∴
（2）∵在上是增函数，，∴
（3）∵在上是减函数，，∴；
∵是增函数，，∴；
综上，
（4）∵，，，
∴
变式训练：将下列各组数用小于号从小到大排列：
（1） （2） （3）
解：（1）
（2）
（3）
例3 已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．
解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；
∵，∴，又函数图象关于原点对称，
∴是奇数，∴或．
变式训练：已知幂函数的图象关于轴对称，且在上的单调递减，求满足的得取值范围。
答案：
【课堂小结】
给出幂函数的性质解题时，
在解决比较大小的问题时常用到幂函数图像及性质（罗列题型及其相应的解题策略，通性通法，以及学生的易错点）
【课堂练习】
1.幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，则满足f(x)＝27的x的值是__________．
2.已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x 1
f(x) 1
则不等式f(|x|)≤2的解集是__________．
解析：由表知＝()α，∴α＝，∴f(x)＝x.∴(|x|)≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案：{x|－4≤x≤4}