高中数学 2.2对数函数 学案 湘教版必修1

对数函数
课时目标　1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
1．对数函数的定义：一般地，我们把___ ( http: / / www.21cnjy.com )___________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．
2．对数函数的图象与性质
定义 y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域
值域
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过点______，即loga1＝0
函数值特点 x∈(0,1)时，y∈______；x∈[1，＋∞)时，y∈______ x∈(0,1)时，y∈______；x∈[1，＋∞)时，y∈______
对称性 函数y＝logax与y＝x的图象关于______对称
3.反函数
对数函数y＝logax (a>0且a≠1)和指数函数______________互为反函数．
一、填空题
1．函数y＝的定义域是________．
2．设集合M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N＝________.
3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝_____________________________.
4．函数f(x)＝|log3x|的图象是________．(填序号)
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5．已知对数函数f(x)＝logax(a> ( http: / / www.21cnjy.com )0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是________．
6．若loga<1，则a的取值范围是________．
7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
9．给出函数f(x)＝，则f(log23)＝________.
二、解答题
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；
(2)y＝log4(x2＋8)．
11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
能力提升
12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是__________．
13．若不等式x2－logmx<0在(0，)内恒成立，求实数m的取值范围．
附答案：
( http: / / www.21cnjy.com )作业设计
1．[4，＋∞)
解析　由题意得：解得x≥4.
2．(－∞，1]
解析　M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．
3．1
解析　由题意知α＋1＝2，故α＝1.
4．①
解析　y＝|log3x|的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象是保留y＝log3x的图象位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点)，而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的．
5．g(x)＝3x
解析　由题意得：loga9＝2，即a2＝9，又∵a>0，∴a＝3.
因此f(x)＝log3x，所以f(x)的反函数为g(x)＝3x.
6．(0，)∪(1，＋∞)
解析　由loga<1得：loga当a>1时，有a>，即a>1；
当0综上可知，a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞)．
7．(1,2)
解析　由题意，得或解得18．(4，－1)
解析　y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；
令y＋1＝0，则y＝－1.
9.
解析　∵1∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)
＝f(log23＋3)＝f(log224)＝＝＝
＝.
( http: / / www.21cnjy.com )即函数y＝log4(x2＋8)的值域是[，＋∞)．
11．解　(1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当012．a3解析　作x轴的平行线y＝1，直线y＝1 ( http: / / www.21cnjy.com )与曲线C1，C2，C3，C4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a1，a2，a3，a4.由图可知a313.
解　由x2－logmx<0，得x2要使x2∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm≥＝.
∴≤，即≤m.又0∴≤m<1，
即实数m的取值范围是[，1)．
( http: / / www.21cnjy.com )
1．函数y＝logmx与y＝lognx中m、n的大小与图象的位置关系．
当02．由于指数函数y＝ax(a>0， ( http: / / www.21cnjy.com )且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．