高中数学 第二章 幂函数 湘教版 必修1

幂函数
导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．
自主梳理
1．幂函数的概念
形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数．
2．幂函数的性质
(1)五种常见幂函数的性质，列表如下：
定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点
y＝x R R 奇 ?↗ (1,1)
y＝x2 R [0，＋∞) 偶 [0，＋∞)↗(－∞，0]↙
y＝x3 R R 奇 ?↗
y＝ [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶 [0，＋∞)↗
y＝x－1 (－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 (－∞，0)↙(0，＋∞)↙
(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象．
(3)α>0时，幂函数的图象通过点___ ( http: / / www.21cnjy.com )_____________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象________原点．
自我检测
1．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 (　　)
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
2．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是 (　　)
A．②①③④ B．②③①④
C．④①③② D．④③①②
3．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为 (　　)
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
4．与函数y＝的图象形状一样的是 (　　)
A．y＝2x B．y＝log2x C．y＝ D．y＝x＋1
5．已知点(，3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是 (　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x－3
C．f(x)＝ D．f(x)＝
探究点一　幂函数的定义与图象
例1　已知幂函数f(x)的图象过点(，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)求当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)变式迁移1　若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝
试求函数h(x)的最大值以及单调区间．
探究点二　幂函数的单调性
例2　比较下列各题中值的大小．
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，和.
变式迁移2　(1)比较下列各组值的大小：
①________；
②0.20.5________0.40.3.
(2)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则m的取值范围是__________________________．
探究点三　幂函数的综合应用
例3　(2011·葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足<的a的范围．
变式迁移3　已知幂函数f(x)＝(m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数 ( http: / / www.21cnjy.com )，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．在(0,1)上，幂函数 ( http: / / www.21cnjy.com )中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．右图是函数y＝ (m，n∈N*，m、n互质)的图象，则 (　　)
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
2．(2010·陕西)下列四类函数中， ( http: / / www.21cnjy.com )具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是 (　　)
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．余弦函数
3．下列函数图象中，正确的是 (　　)
4．(2010·安徽)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 (　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
5．下列命题中正确的是 (　　)
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；
④幂函数y＝xn当n>0时是增函数；
⑤幂函数y＝xn当n<0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
A．①和④ B．④和⑤
C．②和③ D．②和⑤
题号 1 2 3 4 5
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011·邯郸模拟)若幂函数y＝的图象不经过原点，则实数m的值为________．
7．已知a＝xα，b＝，c＝，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小顺序是________．
8．已知函数f(x)＝xα(0<α ( http: / / www.21cnjy.com )<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若00时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；④若0其中正确的命题序号是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)设f(x)是定义在R ( http: / / www.21cnjy.com )上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x<1时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点(，)．求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．
10．(12分)已知f(x)＝(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．
11．(14分)(2011·荆州模拟)已知函数f(x)＝(k∈Z)满足f(2)(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；
(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断 ( http: / / www.21cnjy.com )是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．
答案 自主梳理
1．y＝xα　x　α　2.(2)(0，＋∞)　四　(3)(0,0)，(1,1)　增函数　不过
自我检测
1．B　[方法一　由幂函数的图象与性质，n<0时不过原点，故C3，C4对应的n值均为负，C1，C2对应的n值均为正；
由增(减)快慢知n(C1)>n(C2)>n(C3)>n(C4)．
故C1，C2，C3，C4的n值依次为
2，，－，－2.
方法二　作直线x＝2分别交C1，C2，C3，C4于点A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为22,，，2－2，故n值分别为2，，－，－2.]
2．D　[第一个图象过点(0,0)，与④对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为y＝，③y＝x－1恰好符合，
∴第二个图象对应③；
第三个图象为指数函数图象，表达式为y＝ax，且a>1，①y＝2x恰好符合，∴第三个图象对应①；
第四个图象为对数函数图象，表达式为y＝logax，且a>1，②y＝log2x恰好符合，∴第四个图象对应②.
∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②.]
3．A　4.C　5.B
课堂活动区
例1　解　(1)设f(x)＝xα，
∵图象过点(，2)，故2＝()α，
解得α＝2，∴f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，∵图象过点(2，)，
∴＝2β，解得β＝－2.
∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示．
由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1,1)．
∴①当x>1，或x<－1时，f(x)>g(x)；
②当x＝1，或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1变式迁移1　解　求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，
如例1图所示，
则有：h(x)＝
根据图象可知函数h(x)的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0,1)；单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
例2　解题导引　比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥”进行分组．
解　(1)函数y＝3x是增函数，∴30.8>30.7.
(2)函数y＝x3是增函数，∴0.213<0.233.
(3)∵，
∴.
(4)＝1；0<＝1；
<0，∴.
变式迁移2　(1)①<　②<
(2)m>0
解析　根据幂函数y＝x1.3的图象，
当0又根据幂函数y＝x0.7的图象，
当x>1时，y>1，∴1.30.7>1.
于是有0.71.3<1.30.7.
对于幂函数y＝xm，由(0.71.3)m<(1.30.7)m知，当x>0时，随着x的增大，函数值也增大，∴m>0.
例3　解　∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，
∴m2－2m－3<0，解得－1∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函数的图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶数，
而22－2×2－3＝－3为奇数，
12－2×1－3＝－4为偶数，
∴m＝1.
而y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴<等价于a＋1>3－2a>0，
或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a，
解得a<－1或故a的范围为{a|a<－1或变式迁移3　解　(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m(m＋1)为偶数．
∴函数f(x)＝(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴＝，即.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
由f(2－a)>f(a－1)得
解得1≤a<.
∴a的取值范围为[1，)．
课后练习区
1．C　[由图象知，函数为偶函数，
∴m为偶数，n为奇数．
又函数图象在第一限内上凸，∴<1.]
2．C　[∵(x＋y)α≠xα·yα，
∴幂函数f(x)＝xα不具有此性质．
∵loga(x＋y)≠logax·logay，
∴对数函数f(x)＝logax不具有此性质．
∵ax＋y＝ax·ay，∴指数函数f(x)＝ax具有此性质．
∵cos(x＋y)≠cos x·cos y，
∴余弦函数y＝cos x不具有此性质．]
3．C　[对A、B，由y＝x＋a知a>1，可知A、B图象不正确；
D中由y＝x＋a知04．A　[∵y＝在x∈(0，＋∞)递增，
∴，即a>c，
∵y＝()x在x∈(－∞，＋∞)递减，
∴，即c>b，
∴a>c>b.]
5．D
6．1或2
解析　由解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合．
7．c解析　∵α∈(0,1)，∴>α>.
又∵x∈(0,1)，∴8．①②③
解析　作出y＝xα(0<α<1)在第一象限内的图象，如图所示，
可判定①②③正确，
又表示图象上的点与原点连线的斜率，
当0，故④错．
9．解　设在[－1,1)中，f(x)＝xn，
由点(，)在函数图象上，求得n＝3.……………………………………………………(4分)
令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，
∴f(x－2k)＝(x－2k)3.……………………………………………………………………(8分)
又f(x)周期为2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.
即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．………………………………………………………………(12分)
10．解　由条件知>0，
－n2＋2n＋3>0，解得－1又n＝2k，k∈Z，∴n＝0,2.
当n＝0,2时，f(x)＝x，
∴f(x)在R上单调递增．…………………………………………………………………(8分)
∴f(x2－x)>f(x＋3)转化为x2－x>x＋3.
解得x<－1或x>3.
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(12分)
11．解　(1)∵f(2)∴f(x)在第一象限是增函数．
故－k2＋k＋2>0，解得－1又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.
当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，
∴f(x)＝x2.…………………………………………………………………………………(6分)
(2)假设存在q>0满足题设，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点(，)处取得．
……………………………………………………………………………………………(8分)
而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，
∴g(x)max＝＝，…………………………………………………………………(12分)
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2.∴存在q＝2满足题意．……………………………………………………(14分)