2.1 两条直线的位置关系 导学课件-北师大版数学七年级下册

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2.1 两条直线的位置关系
第二章 相交线与平行线
逐点
学练
本节小结
作业提升
本节要点
1
学习流程
2
相交线与平行线
对顶角
余角和补角
余角、补角的性质
垂直的定义及垂线的画法
垂线的性质
知识点
相交线与平行线
1
1. 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
2. 相交线
若两条直线只有一个公共点, 我们称这两条
直线为相交线. 如图2-1-1, 直线AB 与CD
相交于点O.
判断两直线相交的依据.
3. 平行线
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如图2-1-2, 直线AB 与直线CD 平行.
注意：平行线是指“两条直线”, 而不是两条线段或射线. 线段或射线平行是指它们所在的直线平行.
无公共交点
特别解读
1. 平行线必须满足三个条件：(1) 在同一平面内；(2) 不相交；(3) 两条直线. 要特别注意“在同一平面内”这一前提.
2. 判断两条线段、射线之间的位置关系就是判断它们所在直线的位置关系.
例 1
下列说法中正确的是( )
A. 不相交的两条直线是平行线
B. 在同一平面内, 不相交的两条射线叫做平行线
C. 在同一平面内, 两条直线不相交就重合
D. 在同一平面内, 没有公共点的两条直线是平行线
D
解题秘方：紧扣相交线与平行线的定义进行识别.
解：不在同一平面内的两条不相交的直线不一定是平行线,故A 不正确；平行线是直线, 故B 不正确；在同一平面内, 两条直线的位置关系只有相交和平行两种, 故C 不正确. 故选D.
1-1. 下列说法正确的是( )
A. 两条直线不相交则平行
B. 两条射线不平行则相交
C. 若两条线段平行，则它们不相交
D. 若两条线段不相交，则它们平行
C
知识点
对顶角
2
1. 定义 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，我们把这样的两个角叫做对顶角.
特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个.
示图 ∠ 1 和∠ 2 互为对顶角
2. 性质 对顶角相等.
特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等；
(2)相等的两个角不一定是对顶角.
特别解读
对顶角的位置关系和数量关系：
位置关系：有公共顶点，两边互为反向延长线.
数量关系：对顶角相等.
如图2-1-3，直线AE 与CD 相交于点O，OC 平分
∠ AOB.
例2
(1)请找出图中∠ 3 的对顶角；
解题秘方：根据对顶角的位置特征找对顶角；
解：∠ 3 的对顶角是∠ 2.
(2)若∠ 3=25°，求∠ 1 的度数.
解题秘方：根据对顶角的数量关系求未知角的度数.
解：由对顶角相等，得∠ 2= ∠ 3=25°.
因为OC 平分∠ AOB，所以∠ 1= ∠ 2=25°.
2-1. [中考·苏州] 如图， 直线AB 与CD 相交于点O，
∠ AOC ＝75°，∠ 1 ＝ 25°，则∠ 2 的度数是( )
25°
30°
40°
50°
D
知识点
余角和补角
3
1. 补角 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.
数学语言：若∠ 1+ ∠ 2=180°，就说∠ 1 是∠ 2 的补角或∠ 1 与∠ 2 互为补角，如图2-1-4.
2. 余角 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为
余角 .
数学语言：若∠ 3+ ∠ 4=90°，就说∠ 3 是∠ 4 的余角或∠ 3 与∠ 4 互为余角，如图2-1-5.
特别解读
1. 互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.
2. 互余、互补只与数量有关，而与位置无关，但若将直角分成两个角，则这两个角互余；若将平角分成两个角，则这两个角互补.
3. 一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角，一个角或三个及三个以上的角之间不存在互余或互补的关系，如∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3=90°，但不能说这三个角互余.
已知一个角的补角比这个角的余角的3 倍大10°，求这个角的度数.
例 3
解题秘方：紧扣余角和补角的定义结合数量关系列方程解答.
解：设这个角为x，则这个角的补角为(180°－x)，余角
为(90°－x).
由题意得(180°－x)－3(90°－x)=10°，解得x=50°.
所以这个角的度数为50°.
3-1. [中考· 武威] 若∠ A ＝ 40°，则∠ A 的余角的大小是(　　)
A. 50° B. 60°
C. 140° D. 160°
A
3-2. 已知∠α 与∠β互为补角， 且∠β 比∠α 的一半
大15°，求∠β 的余角.
解：由题意得∠α＋∠β＝180°，∠β＝∠α＋15°，
故∠α＋ ∠α ＋15°＝180°，解得∠α ＝110°.
把∠α＝110°代入∠β＝ ∠α ＋15°，
解得∠β＝70°，
所以∠β 的余角为90° －∠β ＝20°.
知识点
余角、补角的性质
4
1. 性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
2. 示例：
(1)如果∠ 1+ ∠ 2=180°，∠ 1+ ∠ 3=180°，那么
∠ 2=∠ 3；
(2)如果∠ 1+ ∠ 2=90°，∠ 3+ ∠ 4=90°，且∠ 1=
∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4.
特别提醒
1. “同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角.
2. 余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.
如图2-1-6，直线AB 与∠ COD 的两边OC，OD 分别相交于点E，F，且∠ 1+ ∠ 2=180° .
请找出图中与∠ 2 相等的角，并说
明理由.
例4
解题秘方：先找出与∠ 1 和∠ 2 互补的角，然后利用互补的关系找出与∠ 2 相等的角.
解：图中与∠ 2 相等的角有∠ 3，∠ 4，∠ 6. 理由如下：
因为∠ 1+ ∠ 3=180°，∠ 1+ ∠ 2=180°，
所以∠ 3= ∠ 2.
因为∠ 1+ ∠ 4=180°，∠ 1+ ∠ 2=180°，
所以∠ 4= ∠ 2.
因为∠ 2+ ∠ 5=180°，∠ 6+ ∠ 5=180°，
所以∠ 2= ∠ 6.
所以图中与∠ 2 相等的角有∠ 3，∠ 4，∠ 6.
同角的补角相等
同角的补角相等
同角的补角相等
4-1. 如图，点O 为直线AB 上一点，∠AOC=∠ DOE=90° .
(1)图中互余的角有几对？各是哪些？
解：因为点O 为直线AB 上一点，所以∠AOB ＝180°(平角的定义). 又因为∠AOC＝ ∠DOE ＝90°，
所以∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3 ＝90°，
∠3＋∠4＝∠AOB－∠AOC ＝ 90°，∠1＋∠4 ＝
∠AOB － ∠DOE ＝90°. 所以图中互余的角有4 对，分别是∠1 和∠2，∠2和∠3，∠3 和∠4，∠1 和∠4.
(2)图中互补的角有几对？各是哪些？
解：因为∠AOB＝ 180°，所以∠1＋∠BOD ＝180°，∠4＋∠AOE ＝180°.由(1)可知，∠1＝∠3，∠2＝∠4，
所以∠3＋∠BOD＝180°，∠2＋∠AOE ＝180°.
又因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＋∠DOE ＝
180°，∠DOE＋∠BOC＝180°，所以图中互补的角有7对，分别是∠1 和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC和∠BOC， ∠AOC和
∠ DOE，∠DOE和∠BOC.
如图2-1-7，已知O 是直线AB 上的一点，OC 是一条射线，OD 平分∠ AOC，∠ DOE=90°，OE 平分
∠ BOC 吗？为什么？
例 5
解题秘方：紧扣角平分线的定义和余角的性质说明两个角相等.
解：OE 平分∠ BOC. 理由如下：
因为∠ DOE=90°，所以∠ DOC+ ∠ COE=90° .
又因为∠ AOB=180°，所以∠ AOD+ ∠ BOE=90° .
因为OD 平分∠ AOC，
所以∠ AOD= ∠ DOC.
所以∠ COE= ∠ BOE.
所以OE 平分∠ BOC.
5-1. 如图，A,O,B 三点在同一条直线上，∠ DOE=90° .
(1)图中∠ AOD 的补角是_________, ∠ DOC 的余角是_______；
∠BOD
∠COE
(2)如果OE 平分∠ BOC, ∠ DOC=36°，求∠ AOE 的度数.
解：因为∠DOC＝90°，∠DOC ＝36°，
所以∠COE ＝∠DOE － ∠DOC＝54°.
因为OE平分∠BOC，
所以∠BOE＝∠COE＝54°.
因为A，O，B三点在同一条直线上，
所以∠AOE＝180°－∠BOE＝180°－54°＝126°.
知识点
垂直的定义及垂线的画法
5
1. 定义 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
特别解读：垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角.
特别提醒
垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线.
2. 表示符号 直线AB与直线CD垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”.
3. 垂线的画法
经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线的步骤.
步骤 内容 示图
一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合
二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 特别提醒：
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上.
如图2-1-8，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE=40°，求∠BOD的度数.
例6
解题秘方：利用垂直的定义及对顶角的性质将要求的角用已知角来表示.
解：因为OE⊥AB，所以∠AOE=90°.
又因为∠AOE=∠AOC+∠COE，∠COE=40°，
所以∠AOC=90°－40°=50°.
又因为∠AOC=∠BOD，
所以∠BOD=∠AOC=50°.
6-1. [中考·孝感]如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O，若∠BOE=40°，则∠AOC的度数为( )
40°
50°
60°
140°
B
在图2-1-9中，分别过点P作AB的垂线.
例 7
解题秘方：利用三角尺和直尺根据画垂线的步骤进行操作.
解：如图2-1-10.
7-1. 如图，分别过点P作线段MN的垂线.
解:如图所示.
知识点
垂线的性质
6
1. 垂线的性质
(1)性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
2. 点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一条线段，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度.
特别提醒
1. 性质1中隐含两个关键条件：一是“同一平面内”，二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外.
2. 垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段，长度可度量.
(1)如图2-1-11， 在三角形ABC 中， ∠ ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D. 若AC=4 cm，BC=3 cm，AB=
5 cm，则点A 到直线BC 的距离为______cm，点B 到直线AC 的距离为______ cm，点C 到直线AB 的距离为______ cm.
例8
4
3
2.4
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段.
解：根据点到直线的距离的定义可知，点A 到直线BC 的距离是线段AC 的长，点B 到直线AC 的距离是线段BC 的长，点C 到直线AB 的距离是线段CD 的长.因为三角形ABC 的面积S= AC·BC= AB·CD，所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上三点，PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距离( )
A. 等于4 cm B. 等于2 cm
C. 小于2 cm D. 不大于2 cm
D
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段.
解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应该不大于
2 cm.
8-1. 如图, 点A 是直线l外一点, 过点A 作AB ⊥ l于点B, 在直线l 上取一点C, 连接AC, 使AC=2AB,点P 在线段BC 上, 连接AP. 若AB=3, 则线段AP的长不可能是( )
A. 3.5 B. 4
C. 5.5 D. 6.5
D
两条直线的位置关系
相交线与
平行线
相交线
平行线
对顶角
垂线
数量关系与
位置关系
画法与性质
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