9.4 矩形、菱形、正方形（第5课时）（同步课件）-八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共32张PPT)
第9章 · 中心对称图形——平行四边形
9.4　矩形、菱形、正方形（5）
第5课时　正方形的性质与判定
学习目标
1.探索并证明正方形的判定定理和性质定理;
2.进一步体会有条理地推理的基本方法.
问题情境
把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，这是为什么呢？
B
A
D
C
概念学习
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(square).
B
A
D
C
符号语言：
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴ ABCD是正方形.
讨论与交流
正方形是矩形吗？是菱形吗？反之对不对？
怎样使一个矩形变为正方形？怎样使一个菱形变为正方形呢？
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
新知归纳
新知归纳
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
B
A
D
C
1. 一个矩形的两条对角线互相垂直，证明这个矩形是正方形.
A
B
C
D
O
已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
且AC⊥BD.
求证：矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO.
又∵AC⊥BD，
∴AB=AD.
∴矩形ABCD是正方形.
讨论与交流
2. 一个菱形的两条对角线相等，证明这个菱形是正方形.
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
且AC=BD.
求证：菱形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AC＝BD，
∴AO＝BO.
又∵AC⊥BD，
∴∠OAB=∠OBA=45°.
同理：∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=90°.
∴菱形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
讨论与交流
新知归纳
B
D
平行四边形
A
C
有一个角是直角
对角线相等
B
A
D
C
矩形
有一组邻边相等对角线垂直
B
A
D
C
正方形
有一组邻边相等对角线垂直
B
A
D
C
菱形
有一个角是直角
对角线相等
有一组邻边相等并且有一个角是直角
A
B
C
D
四边形
有三个角是直角
A
B
C
D
四边形
四边相等
新知巩固
1.下列命题正确的是 ( )
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
新知巩固
2. 已知： ABCD的对角线AC、BD交于点O，从下列条件中取出哪些条件后，可使 ABCD成为正方形.
(1)AB＝AD；　　　　
(2)AC＝BD；
(3)∠BAD＝90°；　　
(4)AC⊥BD.
A
B
C
D
O
讨论与交流
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
正方形具有矩形的性质同时又具有菱形的性质.
正方形的边、角和对角线各具有哪些性质呢？
新知归纳
四个角都是直角
对边平行，四条边相等
对角线相等且互相垂直平分
边
角
对角线
对称性
A
B
C
D
既是中心对称图形又是轴对称图形
新知归纳
边 角 对角线
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行四边相等
对边平行四边相等
对角相等邻角互补
四个角都是直角
对角相等邻角互补
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线相等且互相平分
对角线互相垂直平分
对角线相等且互相垂直平分
新知巩固
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打 ”√”
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
例题讲解
例 已知：如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．
求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
1
2
3
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′，
∴DA′＝A′B＝B′C＝C′D，
∴△AA′D≌△BB′A≌△CC′B′≌△DD′C′，
∴D′A′＝A′B′＝B′C′＝C′D′，
∴四边形A′B′C′D′是菱形．
由△AA′D′≌△BB′A′，可得∠2＝∠3，
∵∠A=90°，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠D′A′B′＝90°，
∴菱形A′B′C′D′是正方形．
新知巩固
1. 已知：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE=BC，EF⊥BD，交DC于点F.
求证：DE=CF.
A
B
C
D
E
F
证明：连接BF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，BC＝DC，
∴∠BDC＝45°.
在△DEF中，EF⊥BD，∠BDC＝45°，
∴∠EFD＝45°.
∴EF＝DE.
易证△BEF≌△BCF，
∴EF＝CF.
∴DE＝CF.
2.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在BD上，且BF=DE.
求证：四边形AECF是菱形.
新知巩固
A
B
C
D
E
F
证明：连接AC，AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵BF＝DE，
∴OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC⊥BD，
∴ AECF是菱形.
O
新知巩固
3. △ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB．
根据下列条件，分别判断四边形AEDF是怎样的特殊平行四边形？证明你的结论.
(1)∠BAC=90°；
解：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
∵∠BAC=90°，
∴ AEDF是矩形.
A
B
C
D
E
F
新知巩固
3. △ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB．
根据下列条件，分别判断四边形AEDF是怎样的特殊平行四边形？证明你的结论.
(2)AD平分∠BAC；
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2.
∵DE∥AC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE=DE.
∴ AEDF是菱形.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
新知巩固
3. △ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB．
根据下列条件，分别判断四边形AEDF是怎样的特殊平行四边形？证明你的结论.
(3)∠BAC=90°，AD平分∠BAC.
(3)由(1)得四边形AEDF是矩形，
由(2)AE=DE.
∴矩形AEDF是正方形.
A
B
C
D
E
F
课堂小结
9.4 矩形、菱形、正方形(5)
定义
性质
判定
当堂检测
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
D
2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等.
B
当堂检测
3.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是( )
A. AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B. AD∥BC，∠A=∠C
C. AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D. AO=CO，BO=DO，AB=BC
A
B
C
D
O
C
当堂检测
4. 如图，点E在正方形ABCD内，且∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(　　)
A．48 B．60 C．76 D．80
A
B
C
D
E
C
当堂检测
(2)若AC=4，则正方形边长为 ， 周长为 ，面积是 ；
5. (1)如图，有 个等腰直角三角形；
8
(3)延CB长到E，使BE=BD，连接ED，∠E= _____度.
22.5
2
A
B
C
D
O
E
8
8
当堂检测
6.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离AE，CF分别是1 cm，2 cm，则线段EF的长为________cm.
3
A
B
C
D
l
E
F
2
1
当堂检测
7. 如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：
①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形.
其中正确的有_____个.
2
A
B
C
D
E
F
当堂检测
证明：(1)在正方形ABCD中，
AB＝DC，∠BAD＝∠CDA＝90°.
在等边三角形ADE中，
AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°
∴∠BAE＝∠CDE＝150°.
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴BE＝CE.
8. 在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE、CE.
(1)求证：BE＝CE；
B
C
D
A
E
当堂检测
8. 在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE、CE.
(2)求∠BEC的度数．
B
C
D
A
E
解：(2)∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE.
由(1)知，∠BAE＝150°，
∴∠AEB＝(180°－∠BAE)＝15°.
同理，∠DEC＝15°.
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠DEC
＝60°－15°－15°
＝30°.
9.如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC，AC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FCE=90°， AC垂直平分BD，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
当堂检测