18.1.2.1平行四边形的判定（第1课时）（同步课件）-八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

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第18章
平行四边形
八年级数学下册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 下册
18.1.2.1
平行四边形的
判定（1）
情景引入
如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？
B
复习引入
　　平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫
做平行四边形．
　　平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线
互相平分．
判定
性质
定义
D
A
B
C
思考：如何寻找平行四边形的判定方法？ 　　
新知探究
两组对边分别相等的
四边形是平行四边形　
平行四边形的性质　
猜想　
对边相等　
对角相等　
对角线互相平分　
两组对角分别相等的
四边形是平行四边形　　
对角线互相平分的四
边形是平行四边形　　
思考：这些猜想正确吗？
新知探究
证明：连接BD．
∵　AB=CD，AD=BC，
BD是公共边，
∴　△ABD≌△CDB．
∴　∠1=∠2，∠3=∠4．
∴　AB∥DC，AD∥BC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
　　如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
　　求证：四边形ABCD是平行四边形．
猜想1
D
A
B
C
1
2
3
4
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定1
新知探究
平行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
新知探究
证明：∵　多边形ABCD是四边形，
∴　∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
又∵　∠A=∠C，∠B=∠D，
∴　∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°．
∴　AD∥BC，AB∥DC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
　　如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．
　　求证：四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
猜想2
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定2
新知探究
平行四边形的判定定理：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
新知探究
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且
OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
　　 对角线互相平分的四边形是平行四边形．　　
D
A
B
C
O
证明：∵　OA=OC，OB=OD，
∠AOD=∠COB，
∴　△AOD≌△COB．
∴　∠OAD=∠OCB．
∴　AD∥BC．
同理　AB∥DC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
猜想3
平行四边形的判定3
新知探究
平行四边形的判定定理：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
归纳总结
新知探究
　　这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提
供了研究几何图形的一般思路．
　　在研究平行四边形判定的过程中，我们经历了两个
阶段，哪两个阶段呢？
性质
定义
判定
逆向猜想
典例精析
例1
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD和BC的中点．
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=CB AD//BC又∵E、F分别是AD和BC的中点∴ ED=1|2AD BF=1|2BC∴ DE=BF又∵ED∥BF∴ 四边形BFDE是平行四边形
平行四边形的判定1
典例精析
例2
如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.
求证：四边形PONM是平行四边形．
证明：
Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
平行四边形的判定1
典例精析
例3
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝80°，∠2＝45°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形的判定2
典例精析
例4
如图， ABCD中，E，F分别是对角线AC 上的两点，并且 AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
A　
B　
C　
D　
E　
F　
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠BAF＝∠DCF，
在△ABF和△CDF中
BA=DC
∠BAF＝∠DCF
AE=CA
∴△ABF≌△CDF(SAS) ∴BE=FD
同理可得BF=ED
∴四边形BFDE是平行四边形．
平行四边形的判定1
典例精析
例4
如图， ABCD中，E，F分别是对角线AC 上的两点，并且 AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
A　
B　
C　
D　
E　
F　
O
　还有其他证明方法吗？
启示：
条件　
对角线　
简便的证明方法 　
边，角　
证明：作对角线BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO，BO=DO
∵AE=CF∴AO-AE=CO-CF 即EO=FO。
又 BO=DO∴四边形BFDE是平行四边形
平行四边形的判定3
典例精析
例5
如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．
解：四边形BMDN是平行四边形．
理由如下：连接BD交AC于O．
∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∴∠AND=∠CMB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAN=∠BCM,
∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，
∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,
∴四边形BMDN是平行四边形．
O
平行四边形的判定3
典例精析
例6
如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点N． 求证：四边形ABNE是平行四边形．
证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的每个内角的度数是
AB=BC=CD=DE=AE，
∴∠DEC=∠DCE= ×(180°-108°)=36°，
同理∠CBD=∠CDB=36°，
∴∠ABN=∠AEN=108°-36°=72°，
∴∠BNE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，
∴四边形ABNE是平行四边形．
A
B
C
D
E
N
平行四边形的判定2
典例精析
例7
如图，已知E，F，G，H分别是 ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，
∠A=∠C，AD=BC,
又∵BF=DH，∴AH=CF.
又∵AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF.
同理得△BEF≌△DGH（SAS），
∴GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
平行四边形的判定1
典例精析
例8
如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
平行四边形的判定3
典例精析
例9
已知平面直角坐标系中点A(-1,-1),B(2,-1),C(1,2),在坐标系内找一点D，使得以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形.
D1(4,2)
x
y
O
A
B
C
D1(4,2)
D2(-2,-2)
D1(-2,-2)
D3(0,-4)
D1(0,-4)
归纳总结
平行四边形的判定（1）
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
当堂检测
1.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D的值为（　　）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
D
2.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是 ( )
A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行
C
3.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
当堂检测
4.如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC.
又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△ABC≌△DBF(SAS)，
∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD，
∴四边形DAEF是平行四边形．