2.1.2（3）指数函数（教学设计）
内容：复合函数的单调性
教学目标
1. 理解指数函数的单调性的应用
2.理解掌握复合函数的单调性。
教学重点与难点：
重点：复合函数的单调性。
难点：函数值域的求解。
教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
问1：对于指数函数，你认为需要注意哪些方面？
答：（1）底数的取值有范围限制：且；
（2）有些函数貌似指数函数，实际上却不是．例如（且，），（且，）．
有些函数看起来不像是指数函数，实际上却是．例如（且）．
形如（且，）的函数是一种指数型函数，上节课我们遇到的（）模型，就是此类型．
（3）指数函数从大的来说按照底数分为两类：和．不要混淆这两类函数的性质．
（4）函数的图象与（且）的图象关于轴对称，这是因为点与点关于轴对称．根据这种对称性就可以通过函数的图象得到的图象．
（5）利用指数函数的概念和性质比较大小，解决的方法主要是：抓底看增减进行比较．对于一般的字母底数要运用分类讨论的思想解决问题．
二、师生互动，新课讲解：
例1（课本P57例8）截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？
变式训练1：（课本P59习题2.1 A组NO：6）一种产品的产量原来是a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加p%，写出产量y随年数x变化的函数解析式。
例2求函数的单调区间，并证明
解：设
则
∵ ∴
当时， 这时
即 ∴，函数单调递增
当时， 这时
即 ∴，函数单调递减
∴函数y在上单调递增，在上单调递减。
解法二、（用复合函数的单调性）：
设： 则：
对任意的，有，又∵是减函数
∴ ∴在是减函数
对任意的，有，又∵是减函数
∴ ∴在是增函数
归纳：复合函数的单调性：（同增异减）
u=g(x) y=f(u) Y=f(g(x))
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
变式训练2：根据复合函数的单调性，求下列函数的单调区间
（1）；（2）；（3）
例3：求下列函数的值域：
（1）；（2）
变式训练3：求函数的定义域与值域。
解：要使函数有意义，必须 即
∵ ∴
又∵ ∴值域为
三、课堂小结，巩固反思：
1、函数模型的建立。
2、复合函数的单调性
u=g(x) y=f(u) Y=f(g(x))
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
四、布置作业：
A组：
1． 函数y＝的值域是 ( )
A．R B．(0，＋∞) C．(2，＋∞) D.
答案 D解析 ∵－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，∴－x2＋2x≥，故选D.
2、(tb0113813)求函数y=()的单调区间。
解：减区间：，增区间：[-2，+
求函数的单调区间。
B组：
1、（课本P59习题2.1 B组 NO：3）
2、求函数f(x)＝3的定义域、值域及其单调区间．
思维启迪：对于和指数函数的图像、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手．
(1)答案 D
解析 由f(x)＝ax－b的图像可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0
(2)解 依题意x2－5x＋4≥0，解得x≥4或x≤1，
∴f(x)的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．
∵≥0，∴f(x)＝3≥30＝1，
∴函数f(x)的值域是[1，＋∞)．
令u＝＝，x∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，
∴当x∈(－∞，1]时，u是减函数，
当x∈[4，＋∞)时，u是增函数．
而3>1，∴由复合函数的单调性，可知f(x)＝3在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．
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11.2.2函数的表示法（1）（教学设计）
教学目的：
（1）明确函数的三种表示方法；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．
教学过程：
复习回顾，新课引入
复习提问：函数的定义及其三要素是什么？
函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。
请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？
答：列表法是、图像法、解析法
二、师生互动，新课讲解
这三种表示法各有什么优、缺点？
在学生回答的基础上师生共同总结:
列表法 图像法 解析法
定义 用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法
优 点 不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观 可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势 能叫便利地通过计算等手段研究函数性质
缺 点 只能表示有限个元素的函数关系 有些函数的图像难以精确作出 一些实际问题难以找到它的解析式
函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。
下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。
例题选讲：
例1（课本P19例3）某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．
分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．
解：（略）
注意：
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；
解析法：必须注明函数的定义域；
图象法：是否连线；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
例2（课本P20例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王 伟 98 87 91 92 88 95
张 城 90 76 88 75 86 80
赵 磊 68 65 73 72 75 82
班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？
解：（略）
注意：
本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；
本例能否用解析法？为什么？
变式训练2：某儿童服装商店一年内销售额(万元)与一年内12个月份的关系用一条折线连接起来如图1—2—1． 请用列表法表示图中的函数关系．
解： 在图象上找出月份与销售额的对应点，用列表法表示为
(月)
(万元)
例3（课本P21例5）画出函数y = | x | ．
解：（略）
归纳：
1）如何作y=|f(x)|的图象：
先作出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象做关于x轴对称，即得y=|f(x)|的图象。
2）如何作y=f(|x|)的图象：
先作出函数y=f(x)的图象在y轴及y轴右侧部分，再将右侧部分作关于y轴对称，即得y=f(|x|)的图象。
变式训练3：作出下列函数图象：
（1）y=|x-1|；（2）y=|x|-1；（3）y=|x2-2x-4|
例4（课本P21例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．
解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，
那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是{x|0〈 x≤20}．
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：
分段函数：像这样在定义域内的不同区间上对应着不同的解析式的函数叫分段函数
注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；
（2）分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；
（3）分段函数的求解策略：分段函数分段解。
课堂练习：（课本P23练习NO：1，2，3）
三，归纳小结，巩固反思：
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．
四、作业布置
A组：
1、（课本P24习题1.2A组NO：7）
2、（课本P24习题1.2A组NO：8）
3、（课本P24习题1.2A组NO：9）
4、写出如图的函数解析式：
5、作出下列函数的图象
（1）y=|x+2|；(2)y=|x2-4x-3|；(3)y=x2+2|x|+1
B组：
1、（课本P24习题1.2B组NO：2）
2、（课本P24习题1.2B组NO：3）
3、（课本P24习题1.2B组NO：4）
A组第4题
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42.2.2(1)对数函数及其性质（教学设计）
（内容：定义，图象与性质（单调性））
教学目的：
（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
（2）画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．
教学重点：掌握对数函数的图象和性质．
教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．
教学过程：
复习回顾，新课引入
1．复习指数函数的图象与性质
学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？
（结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．）
对数的定义及其对底数的限制．
（为讲解对数函数时对底数的限制做准备．）
2．（引例）课本P70
处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：
碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001
生物死亡年数t
然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数”．（进而引入对数函数的概念）
师生互动，新课讲解
（一）对数函数的概念
1．定义：函数，且叫做对数函数（logarithmic function）
其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）（对数的真数大于0）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
例1：在同一坐标系作出函数y=log2x与y=的图象。
解：（1） 列表：
x 1/4 1/2 1 2 4 8 16
Log2x -2 -1 0 1 2 3 4
2 1 0 -1 -2 -3 -4
（2）建系，描点，成图。
变式训练1：在同一坐标系作出函数y=log3x与y=的图象，并说说它们之间有何对称性。
2、对数函数的图象与性质：
定义 函数，且叫做对数函数．
图象
定义域
值域 R
性质 图象过定点，即当时，
在上是减函数 在上是增函数
3．类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：
图象特征 函数性质
函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1）
自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0
例2（课本P71例7）： 求下列函数的定义域：(其中a>0,a≠1)
(1)y=logax2 (2)y=loga(4-x)
变式训练2：(tb0311691)求函数y=log(x+3)(x2-4x+30的定义域。
（答：(-3,-2)(-2,1)(3,+)）
例3(课本P72例8): 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , 且a≠1 )
变式训练3：
（1） 比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log116 log118 ⑵ log0.36 log0.34
⑶ log0.10.5 log0.10.6 ⑷ log1.20.6 log1.20.4
（2）已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) log 2 m < log 2 n (2) log 0.6 m > log 0.6 n
(3) log a m < loga n (0 log a n (a>1)
例4：填空题：
(1)log20.3____0 (2)log0.75____ 0 (3)log34____ 0 (4)log0.60.5____ 0
变式训练4：（1）logab>0时a、b的范围是____________,
（2）logab<0时a、b的范围是____________。
结论：对于(0,1),(1,+∞)两区间而言，logax的值当a、x在同区间为正，异区间为负。
例5：比较下列各组中两个值的大小:
⑴log 67 , log 7 6 ; ⑵log 31.5 , log 2 0.8
变式训练5：将0.32，log20.5，log0.51.5由小到大排列的顺序是：________________
课堂练习：（课本P73练习 NO：2；3）
课堂小结，巩固反思：
对数的定义；
对数函数的图象与性质。
单调性在对数函数中的应用。
布置作业：
A组：
1、（课本P74习题2.2 A组 NO：7）
2、（课本P74习题2.2 A组 NO：8）
3、（课本P74习题2.2 A组 NO：10）
4、（课本P74习题2.2 A组 NO：12）
5、已知函数f(x)=lgx2的定义域是区间F，函数g(x)=2lgx的定义域是区间G，则下面关系中正确的是（B）。
（A）FG (B) FG (C) F=G (D)F
B组：
1、（课本P74习题2.2 A组 NO：4）
2、(tb0116512)如果x>1，a=logx，那么（C）。
（A）a2>2a>a （B）2a>a>a2 (C) a2>a>2a (D) a>2a>a2
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31.3.1（2）函数的最大（小）值（教学设计）
教学目的：
（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
教学过程：
复习回顾，新课引入
1、用定义证明函数的单调性：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
2、画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1） （2）
（3） （4）
二、师生互动，新课讲解：
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．
设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得．
那么，我们称是函数的最小值(minimum value)．
注意：
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
（1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
（2）利用图象求函数的最大（小）值
（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
1）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
2）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
（二）典型例题
例1．（课本P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解一：（顶点法）；
解二：（配方法）y=-4.9（x-1.5）2+29.025
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．
变式训练1：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y，试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？
例2：（课本P31例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
分析：函数单调性求最值。
变式训练2：求函数y=在区间[2,6]上的最大值和最小值。
例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：
(1) 若函数的定义域为，求最大值和最小值；
(2) 若函数的定义域为，求最大值和最小值；
(3) 若函数的定义域为，求最大值和最小值；
解：(1)在定义域上，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 在区间上是增函数，且，则函数在上的最大值为，最小值为；
(2) 在定义域上，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 在区间上是增函数，且，则函数在上的最大值为，最小值为；
(3) 在定义域上，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 由于函数在处没有定义，则函数在上的最大值为，没有最小值．
思考：为什么要讨论？
说明：从本例中可以看出，在求函数的最值时，除了注意单调区间的变化之外，还要注意定义域的区间端点的函数值．
变式训练3：根据函数图象研究函数y=x2-2x-1在下列区间上的最值：
（1）[-2，0]；（2）[-2，2]；（3）[0，2]；（3）[0，3]；（4）[2，4]
三、课堂小结，巩固反思：
函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质．一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性．对于最小值也一样．
我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
四、布置作业：
A组：
1、（课本P39习题1.3A组NO：5）
2、求下列函数的最值：
(1)y= -x2-4x+5； (2)y= -x2-4x+5 ，x[-4,-3]； (3) y= -x2-4x+5 ，x[-4,-1]
（4）y= -x2-4x+5 ，x[-3,-1]；（5）y= -x2-4x+5 ，x[-1,3]；(6) y= -x2-4x+5 ，x[0,4]
B组：
1、（课本P39习题1.3B组NO：1）
2、（课本P39习题1.3B组NO：2）
C组：
例2．旅 馆 定 价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元） 住房率(%)
160 55
140 65
120 75
100 85
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．
设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得
=150··．
由于≤1，可知0≤≤90．
因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题．
将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600．
由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
25
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41.3.1（1）函数的单调性（教学设计）
教学目标
（一）知识与技能目标
学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够：
1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义
2、会根据函数的图像判断函数的单调性
3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数
（二）过程目标
1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力
2、学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养
（三）情感、态度和价值观
1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯
2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心
教学重点：函数单调性的定义及单调性判断和证明
一、复习回顾，新课引入
1、函数与映射的定义。
2、函数的常用表示方法
3、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？
4、作出下列函数的图象：
（1）y=x ； (2)y=x2 ；
二、师生互动，新课讲解：
观察函数y=x与y=x2的图象，当x逐渐增大时，y的变化情况如何？
可观察到的图象特征：
（1）函数的图象由左至右是上升的；
（2）函数的图象在轴左侧是下降的，在轴右侧是上升的；也就是图象在区间上，随着的增大，相应的随着减小，在区间上，随着的增大，相应的也随着增大．
归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．
1．如何用函数解析式描述“随着的增大，相应的随着减小”，“随着的增大，相应的也随着增大”？
在区间上任取x1,x2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？
对于函数，经过师生讨论得出：在区间上，任取两个，当时，有．这时，我们就说函数在区间上是增函数．
课堂练习
请你仿照刚才的描述，说明函数在区间上是减函数．
2．增函数和减函数的定义
设函数的定义域为：
（1）如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数（increasing function）．区间D叫做函数的增区间。
（2）请你仿照增函数的定义给出函数在区间上是减函数的定义．
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数（decreasing function）．区间D叫做函数的减区间。
3．对定义要点分析
问：（1）你能分析一下增函数定义的要点吗？
（2）你能分析一下减函数定义的要点吗？
引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会定义中“区间上的任意两个自变量都有…”的含义．
例题选讲：
例1：（课本P29例1）图2-10是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出x=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数．
解：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中 y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2， 1)，[3， 5]上是增函数．
变式训练1：如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32C），观察这张气温变化图：
问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？
问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？
例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数．
证明：设x1，x2 是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)
=3(x1-x2)．
由x1＜x2，得x1-x2＜0，
于是 f(x1)-f(x2)＜0，
即 f(x1)＜f(x2)．
所以，f(x)= 3x+ 2在R上是增函数．
想一想：函数f(x)=-3x+2在R上是增函数还是减函数？试画出f(x)的图象，判断你的结论是否正确．
归纳：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
变式训练2：
（1）证明函数y=在(0,+)上为减函数。
（2）证明函数在（1，+∞）上为增函数．
课堂练习：（课本P32练习NO：1；2；3；4）
三、课堂小结，巩固反思：
（1）增减函数的图象有什么特点？
增减函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的．
（2）用定义证明函数的单调性：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
（3）如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间．
四、布置作业：
A组：
1、（课本P39习题1.3A组NO：1）
2、（课本P39习题1.3A组NO：2）
3、（课本P39习题1.3A组NO：3）
4、证明函数在（0，1）上为减函数．
B组：
1、作出函数y =－x2 +2|x|+3的图象并指出它的的单调区间。（提示：可以看作y=f(|x|)的图象的作法）
2、(tb0109105)已知函数f(x)是区间(0,+)上的减函数，那么
(1)f(3)与f(2)的大小关系是_____________；（答：f(3)(2)f(a2-a+1)与f()的大小关系是____________（答：f(a2-a+1)f()）
C组：
设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
求f(0)、f(1)的值；
若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
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32.1.1（1）指数函数（教学设计）
教学目标
1. 理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用.
2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.
3. 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.
教学重点和难点
重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质.
难点是认识底数对函数值影响的认识.
教学过程
一、复习回顾，新课引入
问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 次后,得到的细胞分裂的个数 与 之间,构成一个函数关系,能写出 与 之间的函数关系式吗
由学生回答: 与 之间的关系式,可以表示为 .
问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了 次后绳子剩余的长度为 米,试写出 与 之间的函数关系.
由学生回答: .
在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量 均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数.
二、师生互动，新课讲解：
1.定义:形如 的函数称为指数函数.
2.几点说明
(1) 关于对 的规定:
教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢 (若学生感到有困难,可将问题分解为若 会有什么问题 如 ,此时 , 等在实数范围内相应的函数值不存在.
若对于 都无意义,若 则 无论 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定 且 .
(2)关于指数函数的定义域
教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实当指数为无理数时, 也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为 .扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值.
(3)关于是否是指数函数的判断
学生课堂练习1：根据指数函数的定义判断下面函数是否是指数函数.
(1) , (2) , (3) (4) , (5) .
解：指出只有(1)和(3)是指数函数,其中(3)可以写成 ,也是指数图象.
最后提醒学生指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一摸一样才行,然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此时研究的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质.
3.归纳性质
（1）在同一坐标系中分别作出函数y=，y=的图象.
列表如下：
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
y= … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
y= … 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
（2）一般地，指数函数的图象和性质如下表所示．
图象
定义域
值域
性质 （1）过定点，即时，．
（2）在上是增函数 （2）在上是减函数
（3）指数函数的图象的特征与性质
图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
例1（课本P56例6）：已知指数函数的图象经过点（3，），求，，的值．
例2（课本P57例7）：比较下列各题中两个值的大小：
（1） （2） （3）1.70.3，0.93.1
解：利用函数单调性
①与的底数是1.7，它们可以看成函数 y=，当x=1.7和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=在R是增函数，而2.5<3，所以，<；
②与的底数是0.8，它们可以看成函数 y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以，<；
③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：>1；<1；>
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.
变式训练2：
（1）比较下列各组数的大小
1) 与 ; 2) 与 ; 3) 与1 ；4) 与
解: 在 上是增函数,且 < .
⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
（1）；（2）.
三、课堂小结，巩固反思：
1、理解并掌握指数函数的图像与性质。
2、会根据指数函数的单调性比较两个数（式）的大小。
四、布置作业：
A组：
1、(tb0113301)下列函数中为指数函数的是（C）。
（A）形如y=ax的函数 （B）y=xa (a>0且a1) （C）y=(|a|+2) –x (D) y=3ax (a>0且a1)
2、(tb0113701)下列结论中正确的是（C）。
任何指数函数都是增函数 （B）有确定底数的指数函数可能是增函数，也可能是减函数
所有的指数函数都是单调函数 （D）有的指数函数是单调函数，有的指数函数不是单调函数
3、(tb0113702)已知a=0.80.7，b=0.8 0.9，c=1.2 0.8，则a,b,c的大小关系是（A）。
（A）c>a>b (B) c>b>a (C)a>b>c (D)b>a>c
4． 若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．
答案 (－，－1)∪(1，)
解析 由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得05、（课本P59习题2.1 A组 NO：7）
6、（课本P59习题2.1 A组 NO：8）
B组：
1．已知函数y＝ax＋2－2(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(其坐标与a无关)，则定点A的坐标为__________．
解析：当x＝－2时，无论a取何值，都有y＝－1，即图象恒过定点A(－2，－1)．
答案：(－2，－1)
作出函数的图像，并写出它的单调区间。（提示：由向右平移一个单位而得）
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43.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）
教学目标：
知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．
过程与方法：零点存在性的判定．
情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
教学重点：
重点：零点的概念及存在性的判定．
难点：零点的确定．
一、复习回顾，新课导入
讨论：一元二次方程的根与二次函数数的图象有什么关系？
先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．
方程与函数；
方程与函数；
方程与函数；
再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．
一元二次方程有两不同根就是相应的二次函数的图象与轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；
一元二次方程有两个重根就是相应的二次函数的图象与轴一个交点，且其横坐标就是根；
一元二次方程无实数根就是相应的二次函数的图象与轴没有交点；
总之，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与轴的交点的横坐标．
二、师生互动，新课讲解：
1、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点（zero point）．
显然，函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标．
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
2、函数零点的判定：
研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。
问题1： 如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图，第一组第一行两图，第二组第二行两图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？
第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。
问题2：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？
A、B两点在x轴的两侧。
问题3： A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？
A、B两点在x轴的两侧。可以用f（a）·f（b）<0来表示。
问题4： 满足条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在（a，b）内吗？
一定在区间（a，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图象。
通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：
一般地，我们有：
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
⑴函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
⑵函数零点的求法：求函数的零点：
①（代数法）求方程的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
⑶二次函数的零点：．
① △＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
② △＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
③ △＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
课堂练习：（课本P88练习 NO：1）
例1： 观察下表，分析函数在定义域内是否存在零点？
－2 －1 0 1 2
-109 -10 -1 8 107
分析：函数图象是连续不断的，又因为，所以在区间（0，1）上必存在零点。我们也可以通过计算机作图（如图）帮助了解零点大致的情况。
变式训练1：
（1）已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？为什么？
x 1 2 3 4 6 10
f (x) 20 -5.5 -2 6 18 -3
（2）函数f(x)=(x+4)(x-4)(x+2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？
(3)观察下面函数的图象
在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）
例2（课本P88例1）： 求函数的零点个数．
分析：用计算器或计算机作出x，的对应值表和图象。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2
由表可知，f (2)<0，f (3)>0,则，这说明函数在区间（2，3）内有零点。结合函数的单调性，进而说明零点是只有唯一一个．
变式训练2：利用函数图象判断下列方程有几个根
（1）2x(x-2)=-3 （2）
例3：已知函数，问该函数在区间内是否有零点？
解：因为，，所以，又函数是连续的曲线，所以在区间内有零点．
变式训练3：函数的零点所在的大致区间是（ B ）
（A） (B) (C) (D)
三、课堂小结，巩固反思：
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数在区间内至少有一个零点，即相应的方程在区间内至少有一个实数解．
会用代数法或几何法（特别转化为两条曲线的交点）来判断零点的个数。
四、布置作业：
A组：
（课本P92习题3.1 A组 NO：2）
求下列函数的零点：
（1）；（2）；（3）；（4）
（4） EMBED Equation.3 ．
求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：
（1）；（2）．
已知：
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．
求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）
6．设函数．求函数的零点个数。
B组：
1、函数f(x)＝x＋的零点个数为( A )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
答案 D
3．方程2x＋x＝0在下列哪个区间内有实数根( )
A．(－2，－1) B．(0,1) C．(1,2) D．(－1,0)
答案 D
4．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是( )
A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点 B．函数f(x)在(3,5)内无零点
C．函数f(x)在(2,5)内有零点 D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
答案 C
5．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间( )
A．(5,6) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)
答案 B
解析 f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，
f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3,4)．
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52.2.1（1）对数与对数运算（教学设计）
教学目的：
1、理解对数的概念、了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并青春期技能。
2、通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
3、掌握对数的重要性质，通过练习，使学生感受到理论与实践的统一。
4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。
教学重点：对数的概念；对数式与指数式的相互转化。
教学难点：对数概念的理解；对数性质的理解。
教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
引例1：一尺之锤，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？（答：1/32）
（2）取多少次，还有0.125尺？（答：，则x=
引例2：2002年我国GDP为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年GDP是2002年的2倍？
略解：(1+8%)x=2，则x=
二、师生互动，新课讲解：
1．定义
一般地，如果（，且），那么数叫做以为底的对数（logarithm），记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
（解答引例）
问：以4为底16的对数是2，用等式怎么表达？
讨论：按照对数的定义，以4为底16的对数是2，可记作；同样从对数的定义出发，可写成．
2．对数式与指数式的互化
当，且时，如果，那么；
如果，那么．即等价于，
记作当，且时，
．
负数和零没有对数
3．两个重要的对数（常用对数和自然对数）
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并且把记作．
在科学技术中常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并且把记作．
例1：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式
（1）；（2）；（3）；（4）
（5）；（6）；（7）；（8）
变式训练1：（课本P64练习 NO：1；2）
例2（课本P63例2）：求下列各式中x的值。
（1） ；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）
变式训练2：（课本P64练习 NO：3；4）
例3：求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）ln1；（4）；（5）
（6）；（7）；（8）；（9）；（10）
变式训练3：求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）
三、课堂小结，巩固反思：
（1）指数式与对数式的关系
（2）负数与零没有对数；
“1”的对数等于0；
底数的对数等于1；
对数恒等式：=N；=N
四、布置作业：
A组：
1、（课本P74习题2.2 A组NO：1）
2、（课本P74习题2.2 A组NO：2）
3、求下列各式的值：
（1）=________ （2）=_________ （3）=__________ （4）=________
（5）=_________ （6）=_________ （7）=__________ （8）=__________
（9）=__________ （10）=_________ （11）=____________（12）=__________
4、(tb0115001)下列说法中错误的是（B）。
（A）零和负数没有对数 （B）任何一个指数式都可以化为对数式
（C）以10为底数的对数叫做常用对数 （D）以e为底的对数叫做自然对数
5、(tb0115002)把对数式x=lg2化为指数式为（A）。
（A）10x=2 (B) x10=2 (C)x2=10 (D)2x=10
6、(tb0115003)指数式b2=a (b>0且b1)相应的对数式是（D）。
（A）log2a=b (B) log2b=a (C) logab=2 (D) logba=2
B组：
1、(tb0115111)有以下四个结论：
lg(lg10)=0；(2) lg(lne)=0；(3)若10=lgx，则x=10；(4) 若e=lnx，则x=e2。
其中正确的是（C）。
（A）（1）（3） （B）（2）（4） （C）（1）（2） （D）（3）（4）
2、(tb0115113)设f(10x)=x，则f(3)=____________。（答：lg3）
3、(tb0115006)log6[log4(log381)]=_______
4、(tb0114902)设loga2=m，loga3= n，求a2m+3n的值。（答：108）
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31.2.2函数的表示法（2）（教学设计）
教学目的：
了解映射的概念及表示方法。
会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识。
教学重点：映射的概念
教学难点：映射概念的理解
教学过程：
复习回顾，新课引入
函数的常用表示法
分段函数
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；
（2）分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；
（3）分段函数的求解策略：分段函数分段解。
3、复习初中常见的对应关系
（1）对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应。
（2）对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序数对(x,y)和它对应。
（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应。
（4）班级的座位都有唯一的同学与之对应。
4、函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的函数。
二、师生互动，新课讲解：
函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”．当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念．
例如，欧洲的国家构成集合A，欧洲各国的首都构成集合B，对应关系：国家对应它的首都．
这样，对于集合A中的任意一个国家，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的首都与之对应．我们将对应称为映射．
一般地，我们有：
映射定义：设，是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有惟一确定的元素与之对应，那么就称对应为从集合到集合的一个映射(mapping),记作
．
练习 判断下列对应是不是从到的映射？
解：图甲不是映射，因为集合中的一个元素对应了集合中的两个元素；
图乙是映射，符合映射的定义；
图丙是映射，虽然，集合中有的元素没有中的元素与之对应，但仍符合映射的定义；
图丁不是映射，因为集合中的每一个元素都要对应集合中的元素，但是中的元素没有对应中的元素．
说明：
①函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射
②这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
③“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
例1（课本P22例7）以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？
（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应。
（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|xR,yR},对应关系f：平面直角坐标素中的点与它的坐标对应。
（3）集合A={x|x是三角形}，集合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）集合A={x|x是新华中学的班级}，集合B={x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生。
解：（略）
变式训练1：
（1），，；
（2），，；
（3），，．
上述三个对应（2） 是到的映射．
例2：判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：
(1)A=R,B={x|x>0}，f:x→|x|；
(2)A=N,B=?，f:x→|x-2|；
(3)A={x|x>0},B=R，f:x→x2.
[分析] (1)0∈A，在法则f下，0→|0|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；
(2)2∈A，在法则f下，2→|2-2|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；
(3)对于任意x∈A，依法则f:x→x2∈B，故该对应是从集合A到集合B的映射.
变式训练2：设集合，，从到有四种对应如图所示：
其中能表示为到的函数关系的有_____②③____．
课堂练习：（课本P23练习NO：4）
例3.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出的函数解析式．
分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．
解：当时，直线方程为，当时，直线方程为，
点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．
1 (x-1)
变式训练3：(tb0108401)画出函数y= x2 (-1(x+1) (x1)
课堂小结，巩固反思
（1）理解映射的概念；
（2）映射与函数的区别与联系。
布置作业：
A组：
1.已知，若，则的值是（ D ）
A. B. 或 C. ，或 D.
2.在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ A ）
A. B. C. D.
3.下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）
A. B.
C. D.
4.下列图象中不能作为函数图象的是（ B ）
5.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，B中的20对应在A的是( C )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.函数的定义域是_____________________ （答：）
7、（课本P24习题1.2A组NO：3）
B组：
1. 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框 架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y=f (x)，并写出它的定义域.
y
1
2
2
x
O
②
1
2
2
x
y
O
①
1
2
2
x
O
③
y
1
2
2
x
O
④
y
x
y
O
1
2
3
4
10
20
30
40
50
60
例3
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42.1.1（2）指数与指数幂的运算（教学设计）
内容：分数指数幂
一、教学目标
（一）知识目标
（1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。
（2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。
（二）能力目标
（1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．
（2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．
（3）训练学生思维的灵活性
（三）德育目标
（1）激发学生自主学习的兴趣
（2）养成良好的学习习惯
教学重点： 次方根的概念及其取值规律。
教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究。
教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。 ．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出 及 ，同时追问这里 的由来。
二、师生互动，新课讲解：
1.分数指数幂
看下面的例子：
当时，
（1），又，所以；
（2），又，所以．
从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．
那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？
根据次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：（，）．
的正分数指数幂等于, 的负分数指数幂无意义.
由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式．
例如：，而．
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用．
联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q)
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q)
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0, r,∈Q)
3．分数指数幂与根式的表示方法之间关系。
规定正数的正分数指数幂的意义是：
（a>0，m,nN+，且n>1）
规定正数的负分数指数幂的意义是：
（a>0，m,nN+，且n>1）
特别指出分数指数幂的底数a、m、n的取值只需式子有意义即可。
例1（课本P51例2）：求值：
；；；
变式训练1： 求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
解 (１) ；
（2）；
（3）；
（4）．
例2（课本P51例3）用分数指数幂的形式表示下各式（其中a>0）
；；
例3（课本P52例4）：计算下列各式（式中字母都是正数）
（1） （2）
（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）
分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.
我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？
其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.
第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.
解：（1）原式= = =4
（2）原式= =
例4：（课本P52例5）计算下列各式
（1） （2）＞0）
分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.
解：（1）原式=
=
=
=
=
（2）原式=
小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.
课堂练习：（课本P54练习NO：1；2；3）
三、课堂小结，巩固反思：
1.这堂课的主要内容是什么？
2.做指数运算时有什么需要注意的地方？
这节课我们学习了指数幂的定义，性质以及一些运算。在学习中，我们应当逐步深入，领悟从整数到根式再到分数的导出过程，理解由特殊到一般的研究方法，在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。
四、布置作业
A组：
1、（课本P59习题2.1 A组：NO：2（1）（2）（3））
2、（课本P59习题2.1 A组：NO：4（1）~（8））
3、(tb0112901)下列等式中正确的是（D）
-=(-x) (x0) (B) x= -
(C) (y<0) (D) (xy0)
4、(tb0112902)下列各式成立的是（A）。
(A) (B) (C) ( (D)
5、(tb0112911)化简(a>0,b>0)的结果是（C）。
(A) (B) - (C) (D) -
6、(tb0113012) (a>0,b>0)化简得（C）。
(A) (B) (C) (D)
B组：
1、（课本P59习题 2.1 B组：NO：2）
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43.2.2（1）函数模型的应用实例（教学设计）
教学目标：
知识与技能 能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．
过程与方法 感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性．
情感、态度、价值观 体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．
教学重点难点：
重点 运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．
难点 运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．
一、新课引入：
大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？ 你有什么更好的方法？
原来孙子提出了大胆的设想。
分析解答：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35=12；鸡数就是：35－12=23。激发学生学习兴趣，增强其求知欲望．
用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题．
二、师生互动，新课讲解：
例1(课本P102例3)．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．
写出速度关于时间的函数解析式；
写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；
求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；
假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象．
探索：
1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？
2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？
3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？
本例所涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型．此题的主要意图是让学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题．
（1）获得路程关于时间变化的函数解析式：
（2）根据解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象．
例2（课本P103例4）．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：
其中表示经过的时间，表示=0时的人口数，表示人口的年平均增长率．
下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）
年份 1950 1951 1952 1953 1954
人数 55196 56300 57482 58796 60266
年份 1955 1956 1957 1958 1959
人数 61456 62828 64563 65994 67207
1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？
探索：
本例中所涉及的数量有哪些？
描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？
根据表中数据如何确定函数模型？
对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？
如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？
本例中，数学模型是指数型函数模型，它由与两个参数决定，而与的值不难得到．本题意在让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，并用数学模型解释实际问题，并利用模型进行预测，这也是此题的难点．借助计算器做出函数图象，比较与实际的吻合度．
课堂练习（课本P104练习 NO：1；2）
例3：某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝.其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
分析 由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定成本＋100x；②收益函数为一分段函数．
解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，总利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．
解 (1)设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
从而f(x)＝.
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，有最大值25 000；
当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.
∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
点评 在函数应用题中，已知的等量关系是解题的依据，像此题中的利润＝总收益－总成本，又如“销售额＝销售价格×销售数量”等．像几何中的面积、体积公式，物理学中的一些公式等，也常用来构造函数关系．
三、课堂小结，巩固反思：
四、布置作业：
A组：
1.
一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V=f(h)的图象大致是( )
答案 D
解析 考察相同的Δh内ΔV的大小比较．
2用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 设至少要洗x次，则x≤，
∴x≥≈3.32，因此至少要洗4次．
3（课本P107习题3.2 A组 NO：2）
4（课本P107习题3.2 A组 NO：3）
5（课本P107习题3.2 A组 NO：4）（只列出总造价的表达式，并化简即可）
6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
分析 由题目可获取以下主要信息：
①已知飞行速度是耗氧量的函数；
②第(1)问知v，求Q；第(2)问知Q，求v.
解答本题的关键是给变量赋值．
解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：
v＝5log2＝5log28＝15 (m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，
它的飞行速度为15 m/s.
点评 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．
B组：
1、（课本P107习题3.2 B组 NO：2）
（km/h）
t（h）
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41.1.3集合的基本运算教学设计（师）
教学目的：
知识与技能：
1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
3、能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
过程与方法：针对具体实例，通过类比实数间的加法运算引入了集合间“并”的运算，并在此基础上进一步扩展到集合的“交”的运算和“补”的运算。类比方法的使用体现了知识之间的联系，渗透了数学学习的方法。
情感、态度与价值观：
1、类比方法让学生体会知识间的联系；
2、Venn图表达集合运算让学生体会数形结合思想方法的应用对理解抽象概念的作用；
3、通过集合运算的学习逐渐发展学生使用集合语言进行交流的能力。
教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
教学过程：
一、复习回顾：
1：什么叫集合是集合的子集？
2：关于子集、集合相等和空集，有哪些性质？
（1） ；
（2） 若，且，则；
（3） 若则；
（4） ．
二、创设情境，新课引入
问：实数有加法运算，两个集合是否也可以相加呢？考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
（1）；
（2），，．
学生讨论并引出新课题．
三、师生互动，新课讲解：
1、并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）
记作：A∪B 读作：“A并B”即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
例1：（1）设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求：A∪B。
（2）设集合A={x|－1说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
你会用表示上述例题中的两个并集吗 请你用Venn图表示出不同关系的两个集合的并集。
让学生动手操作，教师指导。
在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。你能从上面的例题1中并类比“并集”的概念归纳出“交集”的概念吗
学生归纳得：
2 交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。
记作：A∩B 读作：“A交B”即： A∩B={x|∈A，且x∈B}交集的Venn图表示
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
例2：（1）设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求：AB。
（2）设集合A={x|－1例3（课本P9例7） 设平面内直线l1上的点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系。
请你结合上述例子用Venn图表示出不同关系的两个集合的交集。
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集
变式训练3：求下列各图中集合A与B的并集与交集
3．全集
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。
问：在问题中，我们若把集合C作为全集，请你说出集合A与B有怎样的关系吗？
由此你能归纳出补集概念吗？你会用Venn图表示表示出它们的关系吗？
通过学生思考、讨论、归纳出：
4．补集：
对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，记作：CUA即：CUA={x|x∈U且xA}
补集的Venn图表示
说明：补集的概念必须要有全集的限制
例4（课本P11例8） ① 设U={x|X是小于9的正实数}，A={1，2，3}B={3，4，5，6}
求CUA，CUB。
② 设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∩B，CU（A∩B）。
课堂练习：（课本P11练习NO：1，2，3，4）
**结论归纳（重要）：
⑴求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
⑵集合基本运算的一些结论：
A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A
AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A
（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=
若A∩B=A，则AB，反之也成立
若A∪B=B，则AB，反之也成立
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B
四、课本小结，巩固反思：
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
五、布置作业
A组：
1、（课本P11习题1.1A组NO：6）
2、（课本P11习题1.1A组NO：7）
3、（课本P11习题1.1A组NO：8）
4、（课本P11习题1.1A组NO：9）
5、（课本P11习题1.1A组NO：10）
B组：
1、（课本P11习题1.1B组NO：1）
2、（课本P11习题1.1B组NO：2）
3、（课本P11习题1.1B组NO：3）
4、（课本P11习题1.1B组NO：4）
5、设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求AB.
解：AB=｛(x,y)|y=-4x+6｝｛(x,y)|y=5x-3｝
=｛(x,y)|｝=｛(1,2)｝
A
A∪B
B
A
B
A∩B
A B
A(B)
A
B
B
A
B A
U
CUA
A
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31.1.2集合间的基本关系教学设计（师）
一、教学目标
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
(2)理解子集.真子集的概念.
(3)能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2.过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.
3.情感、态度与价值观
(1)树立数形结合的思想．(2)体会类比对发现新结论的作用.
二、教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
三、学法
让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系.
四、教学过程：
（一）复习回顾：
（1）元素与集合之间的关系
（2）集合的三性：确定性，互异性，无序性
（3）集合的常用表示方法：列举法，描述法
（4）常见的数集表示
(二)创设情景，新课引入：
问题l：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察.研探.
(三)师生互动，新课讲解：
问题1：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？
（1）；
(2)设A为我班第一组男生的全体组成的集合，B为我班班第一组的全体组成的集合；
(3)设
(4).
组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系:
归纳：
①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.
记作：
读作：A包含于B(或B包含A).
②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.
教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。如图l和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn图.
图1 图2
问题2：与实数中的结论“若”相类比，在集合中，你能得出什么结论
教师引导学生通过类比，思考得出结论: 若.
问题3：已知集合：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，请问A与B相等吗？。
问题4：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn图表示.
学生主动发言，教师给予评价.
问题5：阅读教材第6-7页中的相关内容，并思考回答下例问题：
(1)集合A是集合B的真子集的含义是什么 什么叫空集
(2)集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别
(3)0，{0}与三者之间有什么关系
(4)包含关系与属于关系正义有什么区别 试结合实例作出解释.
(5)空集是任何集合的子集吗 空集是任何集合的真子集吗
(6)能否说任何一人集合是它本身的子集，即
(7)对于集合A，B，C，D，如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系
教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题看法.
总结归纳：
（1）集合与集合之间的 “相等”关系；
，则中的元素是一样的，因此
即
任何一个集合是它本身的子集。即：
（2）真子集的概念
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。
记作：A B（或B A）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
（3）空集的概念
不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：
规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（4）结论：由上述集合之间的基本关系，可以得到关于子集的下述性质：
（1）． （类比）
（2）．若则（类比，则）
（3）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
例题选讲：
例1．某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？
试用Venn图表示这三个集合的关系。
变式训练1：已知集合A={正方形}，B={矩形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={四边形}，则它们之间有哪些包含关系？
例2（课本P7例3）写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集？
变式训练2：
（1） 分别写出集合，{0}，{0，1}，{0，1，2)的子集及其个数.
（2）已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有（D）
（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个
课堂练习（课本P7练习NO：1，2，3）
教师及时检查反馈。强调能确定是真子集关系的最好写真子集，而不写子集.
例3：化简集合A={x|x-3>1},B={x|x5}，并表示A、B的关系；
强调：数轴在表示不等式集合的重要性
变式训练3：化简集合A={x|x-3>2},B={x|x5}，并表示A、B的关系；
例4（tb0100901）：用适当的符号表示下列各题元素与集合、集合与集合之间的关系。
0与；（2）与{0}；（3）与{}；（4）1与{（0，1）}
解：（1）是不含任何元素的集合，所以0；
（2）是任何非空集合的真子集，所以真包含于{0}；
（3）{}是以为元素的单元集，所以{}
又是任何非空集合的真子集，所以真包含于{}。
（4）{（0，1）}是以数对（0，1）为元素的单元集，所以1{（0，1）}。
例5：已知集合A={-1，3，2m-1}，集合B={3，m2}，若BA，则实数m=_____（答：1）
(四)课堂小结，总结反思：
1.请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些，所涉及到的主要数学思想方法又那些.
2.在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方,请向老师提出.
(五)布置作业（备注：A与B组为必做题；C组为选做题）
A组：
1、（课本P11习题1.1A组NO：5）（做在课本上）
2、(tb0300710)下面五个关系式：
(1)0{0}；(2)0{0}；(3)=0；(4) {0}；(5) {0}其中正确的是（D）。
（A）(1)(3) （B）(1)(5) （C）(2)(4) （D）(2)(5)
3、已知集合P={1，2}，那么满足QP的集合Q的个数是（A）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
4、以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来．
①0与{0}；②0与 ；③ 与{0}；④{0,1}与{(0,1)}；⑤{(b，a.)}与{(a.，b)}．
B组：
1、已知集合，≥，且满足，求实数的取值范围。
2．已知集合若 求的值．
3．有三个元素的集合A，B，已知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的值。
4、（tb0300712）已知集合A={x|x<-1或x>2}，B={x|4x+m<0}，若BA，则m的取值范围是_______________。（答：m4）
C组：
1、（tb0401003）已知B={3,x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3,1}，使B=C，求a,x的值。
（答：a=-2且x=3或a= -6且x= -1）
2、已知集合A＝，B＝，则A________B.
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32.2.1（2）对数与对数运算（教学设计）
内容：对数运算法则
教学目标：
知识与技能：
（1）通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能。
（2）运用对数运算性质解决有关问题。
（3）培养学生分析、综合解决问题的能力。
过程与方法：
（1）让学生经历并推导出对数的运算性质。
（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
情感态度与价值观：
让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性。
教学重点：对数运算的性质与对数知识的应用。
教学难点：正确使用对数的运算性质。
教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
（1）指数式与对数式的关系：
（1）指数式与对数式的关系
（2）几个重要结论：
1）负数与零没有对数；2）“1”的对数等于0；3）底数的对数等于1；
4）对数恒等式：=N；=N
二、师生互动，新课讲解：
1、问：从指数与对数的关系以及指数运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗？
回顾指数幂的运算性质：
，，．
师生讨论：把指对数互化的式子具体化：设，，于是有
．．
根据对数的定义有：，，．
于是有
2、对数的运算性质：
如果，且时，M>0，N>0，那么：
（1）；（积的对数等于两对数的和）
（2）；（商的对数等于两对数的差）
（3）（）．（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）
例1：（课本P65例3）用logax，logay，logaz表示下列各式：
解
变式训练1：（课本P68练习 NO：1）
例2：（课本P65例4）求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）
变式训练2：（课本P68 练习 NO：2；3）
例3：求下列各式的值：
（1）； （2）；（3）；
三、课堂小结，巩固反思：
对数的运算性质：
如果，且时，M>0，N>0，那么：
（1）；（积的对数等于两对数的和）
（2）；（商的对数等于两对数的差）
（3）（）．（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）
四、布置作业：
A组：
1、（课本P74习题2.2 A组NO：3）
2、（课本P74习题2.2 A组NO：5）
3、(tb0115301)设a,b,c均为正数，有下列四个等式：
lg(a2+b)=2lga+lgb；(2) lg=lga-lgb-lgc；(3) lg=lga+lgb-lgc-lgd；(4) lg=3lga
其中正确的个数是（B）。
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
4、(tb0115202)计算：lg22+lg4·lg50+lg250
（答：4）
B组：
1、（课本P74习题2.2 B组NO：1）
2、(tb0115412)若ac+bd=5，bc+ad=3，则log2(c2-d2)+log2(a2-b2)的值为（B）。
（A）8 （B）4 （C）3 （D）1
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32．2．2（3）对数函数及其性质（教学设计）
（内容：指数函数与对数函数的关系）
教学目的：
⒈了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数；
⒉通过对互为反函数的指数函数和对数函数图象间的关系的认识，了解互为反函数的两个函数图象间的关系；
⒊通过指数函数与对数函数的比较，了解互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系．
教学重点：底数相同的指数函数与对数函数互为反函数．
教学难点：互为反函数的两个函数图象间的关系．
教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
1、指数函数与对数函数对照表
指数函数 对数函数
一般形式 ，且 ，且
图象
定义域
值域
函数值变化情况 当时，当时， 当时，当时，
单调性 时，是增函数；时，是减函数 时，是增函数；时，是减函数
图象 函数的图象与函数的图象关于直线对称．
从上面的表格中，我们看到对数函数与指数函数之间有非常密切的关系，今天我们就对它们之间的关系来做一番研究．
二、师生互动，新课讲解：
例1：在同一坐标系中，作出函数与的图象,并观察两图象之间有何关系。
变式训练1：在同一坐标系中，作出函数与的图象，并观察两图象之间有何关系。
2、反函数：
问1：在指数函数中，x为自变量，y是因变量．如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？
答1：由指数式可得对数式．这样，对于任意一个，通过式子，x在R中都有唯一的值和它对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数．
问2：你可以用几何方法来得到上面的结论吗？
答2：指数函数中，x为自变量，y是x的函数，并且它是上的单调递增函数．我们过y轴正半轴上任一点，作x轴的平行线，与的图象有且只有一个交点．这也说明，对于任意一个，x在R中都有唯一的值和它对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数．
问3：这时我们称函数是函数的反函数．
请同学们考虑，在函数中，自变量、函数各是什么呢？这合乎我们的习惯吗？
答3：在函数中，y是自变量，x是函数．而习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数．
问4：为了和我们的习惯一致，我们常常对调函数在函数中的字母x，y，把它写成．于是，对数函数是指数函数的反函数．
请同学们仿照上面的过程，说明对数函数，且和指数函数，且之间的关系．
答4：（探究、讨论得出结论）对数函数，且和指数函数，且互为反函数．
问5：对于具体的指数函数，且，我们可以怎样得到它的反函数呢？
答5：对于具体的指数函数，且，我们可以先把它化为对数形式，然后再对调其中的字母x，y，就得到了它的反函数，且．
问6：请同学们观察一下对数函数，且和指数函数，且的定义域和值域，你能得出什么结论？
答6：指数函数，且的定义域和值域分别是对数函数，且的值域和定义域．
问7：请同学们观察对数函数是指数函数的图象，它们有什么关系呢？
答7：（观察得）对数函数是指数函数的图象关于直线对称．
小结：对数函数，且和指数函数，且的图象关于直线对称．两函数互为反函数。
例2：求下列函数的反函数：
（1）y=3x ；（2）y=lnx ；（3）y=；（4）
小结：求函数的反函数的步骤：
（1）求定义；（2）反解；（3）互换
性质：反函数的定义域就是原函数的值域。
变式训练2：求下列函数的反函数：
y=x+1；（2）y=；(3)y=
例3：作出下列函数的图象：
（1）y=|lgx| ；（2）y=lg|x|
变式训练3：作出下列函数的图象：
(1)y=||；（2）y=ln|x|；(3)y=
例4：解下列不等式：
（1）；（2）；（3）；（4）
（5）
变式训练：解下列不等式：
（1）；（2）；（3）
三、课堂小结，巩固反思：
1、指数函数与对数函数互为反函数。
2、互为反函数的两图象关于y=x对称。
3、用“同底化”法解指对数不等式。
4、重视分类讨论的数学思想。
四、布置作业：
A组：
1、在同一坐标系中，作出函数y=lgx与的图象，并分别写出它们的定义域，值域，单调递增区间。
2、求下列函数的反函数
（1）y=2x+3；（2）y=ln(x+1)；（3）y=10x-1
3、解下列不等式：
（1） ；（2）；（3）；
4、判断下列函数的奇偶性
（1）；（2）y=loga|x|；（3）y=2|x|
B组：
1、(tb0218719)若a>0且a1，且loga<1，则实数a的取值范围是（D）。
（A）0或01
2、函数的奇偶性为[ ]
A．奇函数而非偶函数 B．偶函数而非奇函数 C．非奇非偶函数 D．既奇且偶函数
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12.1.1（1）指数与指数幂的运算（教学设计）
内容：根式
教学目标
1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。
2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n次方根；通过对“当是偶数时， ”的理解 ，培养学生分类讨论的意识。
3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。
教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。
教学难点：当是偶数时，的得出及运用
教学过程
一、创设情境，新课引入：
问题1（课本P48问题1）：
从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%．那么，在2001——2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？
引导学生逐年计算，并得出规律：
设年后我国的国内生产总值为2000年的倍，那么．
问题2（课本P58问题2）：
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．
根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系．
当生物死亡了5730，25730，35730，…年后，它体内碳14的含量分别为，，，…．是正整数指数幂．它们的值分别为，，，…．
当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量分别为，，，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容．
二、师生互动，新课讲解：
1、问题引入：
（1）若，则叫的 .如：是4的平方根
一个正数的平方根有 个，它们互为 数；负数没有平方根；零的平方根是 .
（2）若，则叫的 .如：是8的立方根，－2是－8的立方根。
一个正数的立方根是一个 数，一个负数的立方根是一个 数，0的立方根是 .
（3）类比平方根、立方根的定义，你认为，一个数的四次方等于，则这个数叫的 ；一个数的五次方等于，则这个数叫的 ；一个数的六次方等于，则这个数叫的 ；……；一个数的n次方等于，则这个数叫的 ；
一般地，如果，则叫的n次方根，其中且.
问：（1）16的四次方根是 .32的五次方根是 .－32的五次方根是 .
（2）一个正数的n次方根有几个？一个负数的n次方根有几个？0的n次方根是多少？（给学生留点时间进行探究）
得出结论：
（1）一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数；负数没有偶次方根。
（2）一个正数的奇次方根是一个正数，一个负数的奇次方根是一个负数。
（3）0的任何次方根都是0。
即 为正数：
为负数：
零的n次方根为零，记为
注意： 正数的正的次方根叫做的次算术根
指出： 式子 叫做根式，这里叫根指数，叫被开方数。
探究1：（1）＝ ；＝ ；＝ .
（2）从（1）你有何发现？
（3）＝ 一定成立吗？为什么？
得出结论：＝
探究2：（1）＝ ；＝ ；＝ ；＝ .
（2）由（1）你发现了什么结论？
（3）＝ ；＝ ；＝ ；＝ .
＝ ；＝ ；＝ ；＝ .
（4）由（3）你发现了什么结论？
由此得出：当是奇数时，＝
当是偶数时，
例1（课本P50例1） 求值或化简：
（1）； （2）； （3）； （4）（）
变式训练1：化简：
例2：求值或化简：
（1） （2） （3）
变式训练2：（1）；（2）；（3）．（4），
（5） ，（6）， （7）
例3：若5变式训练3：若，求的取值范围。
（答：a1）
三、课堂小结，巩固反思：
（1）根式：如果，那么叫做的次方根．
（2）根式性质： ．
（3）．
四、布置作业：
A组：
1、（课本P59习题2.1 A组NO：1）
2、已知：=3，求（1）；(2)；(3)；（4）的值。
3、
(1)=_____________________(答：2)
(2)=______________________ （答：2）
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23.1.2用二分法求方程的近似解（教学设计）
教学目标：
知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
一、复习回础，新课引入：
高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．
在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．
二、师生互动，新课讲解：
1、二分法：
上节（P88例1）课我们已经知道，函数在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．
我们知道，函数的图象与直角坐标系中轴交点的横坐标就是方程的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．
（1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；
（2）用计算器计算，因为，所以零点在区间内；
（3）再取区间中点2.75，用计算器计算，因为，所以零点在区间内．
（4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．
本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．
当精确度为0.01时，由于，所以，我们可将作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值．
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）．
给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
1）确定区间，验证，给定精确度；
2）求区间的中点；
3）计算；
4）判断：（1）若，则就是函数的零点；（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）．
5）判断：区间长度是否达到精确度？即若，则得到零点近似值；否则重复2——5．
说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．
例1（课本P90例2）借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）．
小结：
结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点．
函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使的实数；
从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；
若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．
用二分法求函数的变号零点
二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
变式训练1：求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．
解 设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.
取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，
∴2再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25再取2.25与2.5的平均数为2.375，
f(2.375)＝－0.109 4<0，
∴2.375f(2.437 5)＝0.066 4>0.
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.
点评 对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之．
例2：已知函数在区间上是连续不断的曲线，判断下列结论，正确的是
若，则函数在内有且只有一个零点
若，则函数在内无零点
若在内有零点，则
若，则函数在内有零点
若，则函数在内有零点
【解析】①有条件，则函数在内可能不止一个零点，如有（－3，3）内有三个零点；②在下函数在内未必没有零点，如在（－3，3）内有两个零点；③在内有零点，未必成立，如在（－3，3）内有零点，但；④注意端点问题，可能恰好使得＝0．本题从多角度、多侧面考查对定理的理解，对培养学生思维的严密性很有帮助．答案：⑤
变式训练2：（课本P92习题3.1 A组：NO：1）
例3：已知函数，当为何值时，函数在R上有一个零点？两个零点？无零点？
【解析】 当＝０时，是一次函数，在R上有且只有一个零点；当时，是二次函数，其零点个数由的符号决定．又，当时，，无零点；当时，，有一个零点；当时，，有两个零点．综上所述，当＝０或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数没有零点．
变式训练3：函数的零点是－１和２，求函数的零点．
解：由已知得是方程的两根,
,解得:
由得:,即.
故函数的零点是0.
三、课堂小结，巩固反思：
1．二分法的理论依据是什么？
二分法的理论依据是：如果函数在闭区间上连续不断，且，那么一定存在，使．
2．二分法的实施要点是什么？
二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，……，通过次的平分、判断，使零点存在于一个长度的小区间．当适当大时，满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值．
四、布置作业：
A组：
1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx
答案 C
解析 对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，
即函数f(x)＝|x|存在零点；
当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>0，
∴f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点．
2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点( B )．
A．至少有一个 B．至多有一个 C．有且只有一个 D．可能有无数个
3．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )．
A. B. C. D.
解析 因为f＝e＋4×－3＝e－2＜0，f＝e＋4×－3＝e－1＞0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为.
答案 C
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为 。（答案：1.437 5 ）
5．若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
解析：设对区间(1,2)至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，…，第n次二等分后区间长为.依题意得<0.01，∴n>log2100.由于6答案：C
6.[2014·北京卷] 已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞)
6．C [解析] 方法一：对于函数f(x)＝－log2x，因为f(2)＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.
7．方程在区间上的根必定属于区间（ B ）
A． B． C． D．
8．函数的零点所在的大致区间是（ C ）
A．（3，4） B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）
9．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．
解析 函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上递增．由已知条件f(0)f(1)<0，即a(a＋2)<0，解得－2答案 (－2,0)
B组：
1．(2010·福建)函数f(x)＝的零点个数为( )．（提示：作图）
A．3 B．2 C．7 D．0
分析：函数零点的个数 f(x)＝0解的个数 函数图象与x轴交点的个数．
解析 法一 由f(x)＝0得
或解得x＝－3，或x＝e2.
因此函数f(x)共有两个零点．
PAGE
53.2.2（2）函数模型的应用实例（教学设计）
教学目标：
知识与技能：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．
过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性．
情感、态度、价值观：体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．
教学重点难点：
重点 运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．
难点 运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．
一、新课引入：
2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目．67岁的马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了可供决策部门参考的应用软件．
这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真．结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要．分析报告说，就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加2100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府未采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人．
这项研究在充分考虑传染病的一般流行机制、非典的特殊性、我国政府所采取的一系列强有力措施的基础上，根据疾病控制中心每日发布的数据，利用统计学的方法和流行病传播机理建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测．
二、师生互动，新课讲解：
例1：（课本第104页例5）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示，
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解：（课本P104）
课本第104页表3-9中数据的变化是有特定规律的，教学时应注意引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型．同时，应注意变量的变化范围，并以此检验结果的合理性．
例2：（课本第105页例6）某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
（身高：cm；体重：kg）
身高 60 70 80 90 100 110
体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高 120 130 140 150 160 170
体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
1）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重kg与身高cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．
2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
探索：
借助计算器或计算机根据统计数据，画出它们相应的散点图；
观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？
你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重kg与身高cm的函数关系？
确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价．
怎样修正确定的函数模型，使其拟合程度更好？
课堂练习（课本P106练习 NO：1）
例3：根据市场调查商品在最近40天内的价格P（万元）与时间t的关系，用图(1)中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图(2)中的线段表示（t∈N＋）。
(1) 分别写出图(1)表示的价格与时间的函数P＝f(t)，图(2)表示的销售量与时间的函数关系Q＝g(t)；
(2) 求这种商品的销售额最大值及此时的时间。
y y
21
15
11
1 1
0 1 8 20 40 x 0 1 10 30 x
图(1) 图(2)
解：(1) P＝f(t)＝
Q＝g(t)＝ 1≤t≤40
(2) 当1≤t＜20时， t∈N＋
∴
∴t∈N＋ ∴t＝10或11时，Smax＝176
当20≤t≤40
在[20, 40]上为减函数，∴当t＝20时，Smax＝161
∴当t＝10或11时，Smax＝176
答：这种商品在第10或11天时，销售额最大为176（万元）
评注：本题涉及市场经济的销售问题，让我们体会一下在生活中的最大值即最佳方案问题，并且体会一下分段函数的最大、最小值的处理。
三、课堂小结，巩固反思：
四、布置作业：
1．某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米(b答案 C
解析 由于有“休息一段时间”，图象A不符；
图象B在沿原路返回时没有花费时间(体现在平行于s轴的那一段)也不符合现实；
图象D没有“原路返回”．因此选C.
2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
答案 D
3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过( )
A．12小时 B．4小时 C．3小时 D．2小时
答案 C
解析 设共分裂了x次，则有2x＝4 096，
∴2x＝212，又∵每次为15分钟，
∴共15×12＝180分钟，即3个小时．
4．规定的个人稿酬纳税办法是：不超过800元不纳税，超过800元不超过4 000元的按超过800元的14%纳税，超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税，某人出版了一本书，共纳税420元，他的稿费为________元．
答案 3 800
解析 ∵3 000×14%＝420元，
所以他的稿费应为3 800元．
5、
某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图，其中200元为普通顾客的心理价位的上线，超过此上线普通顾客人数将下降并减少盈利，试分析图象，解决下列问题：
(1)求y=f(x)的函数关系式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，那么每天至少应售出多少张门票？
解 (1)由函数图象可得
f(x)= (x∈N)．
(2)由15x-2 500>1 000，得x>，
故至少要售出234张门票，能使游乐场每天的盈利额超过1 000元．
6、了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．
解 (1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，
把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2
得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29，y2＝x.
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<96时，y1>y2，即如意卡便宜；
当x>96时，y1点评 由图象给出的函数关系的应用问题，要先确定函数类型，然后，通过待定系数法列方程求解．
PAGE
42.3 幂函数（教学设计）
教学目的：
1．通过实例，了解幂函数的概念．
2．具体结合函数的图象，了解幂函数的变化情况．
3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导．
教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．
教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．
一、新课导入
先看五个具体的问题：
（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数；
（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里是的函数；
（3）如果立方体的边长为a，求立方体的体积，这里是a的函数；
（4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数；
（5）如果某人 s内骑车进行了1km，那么他骑车的平均速度km/s，这里是的函数．
讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？
它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数．
从上述函数中，我们观察到，它们都是形如的函数．
二、师生互动，新课讲解：
1、幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数（power function），其中是自变量，是常数．对于幂函数，我们只讨论时的情形．
2、幂函数的图象
在同一直角坐标系内作出幂函数； ； ；；的图象．
观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．
定义域 R R R
值 域 R R
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 增 增
公共点 （1,1）
3、幂函数的性质
1）．五个具体的幂函数的性质
（1）函数； ； ；和的图象都通过点（1，1）；
（2）函数；；是奇函数，函数是偶函数；
（3）在区间上，函数，，和是增函数，函数是减函数；
（4）在第一象限内，函数的图象向上与轴无限接近，向右与轴无限接近．
2）．一般的幂函数的性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；
>1时，图象向上，靠近y轴；
0<<1，图景向上，靠近x轴；
=1是条直线。
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴；
（4）幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数由小到大；轴和直线之间，图象由上至下，指数由小到大．
课堂练习： 已知幂函数在第一象限内的图象如图所示，且分别取四个值，则相应于曲线的的值依次为 ．
例1：（课本第78页例1）证明幂函数在上是增函数．
变式训练1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1），；（2），；（3），；（4），．
例2：求下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性：
（1）；（2）；（3）； （4）
解 （1）函数的定义域是，它是奇函数；
（2）函数即，其定义域是，它是偶函数；
（3）函数即，其定义域是，它既不是奇函数，也不是偶函数；
（4）函数即，其定义域是，它是奇函数．
变式训练2：
（1）. 设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（ A ）．
(A) ， (B) ， (C) ， (D) ，，
（2）. 若函数，则函数在其定义域上是（ B ）．
(A) 单调递减的偶函数 (B) 单调递减的奇函数
(C) 单调递增的偶函数 (D) 单调递增的奇函数
（3）若幂函数f(x)的图象经过点(3，)，则其定义域为( )
A．{x|x∈R，x>0} B．{x|x∈R，x<0}C．{x|x∈R，且x≠0} D．R
解析：设f(x)＝xα.∵图象过点(3，)，∴＝3α，即3－2＝3a，∴α＝－2，即f(x)＝x－2＝，∴x2≠0，即x≠0.
答案：C
例3：在同一坐标系作出函数y=x2与y=2x的图象。
变式训练3：已知幂函数f(x)＝ (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
解析：∵幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3<0，∴－1答案：1
布置作业：
A组：
1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )
解析：注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，结合选项知，其图象应与④对应；图象①与y＝x3大致对应．综上述所述，选B.
答案：B
2．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝__________.
解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．
答案：－1或2
3．（课本P79习题2.3 NO:1）已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．
4．(课本P79习题2.3 NO:2)在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．
（1）写出气流流量速率v关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1cm3/s）．
5．讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说出函数的单调性．
6．已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
解：(1)∵f(4)＝－，∴－4m＝－.∴m＝1.
(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，
证明如下：
任取0＝(－x1)－(－x2)＝(x2－x1)(＋1)．
∵00，＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．
B组：
1．如果幂函数f(x)＝ (p∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．
解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴－p2＋p＋>0，即p2－2p－3<0.∴－1PAGE
11.1.1 集合的含义与表示教学设计（师）
三维目标：
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。
（2）了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识。
教学重点：集合的基本概念与表示方法；
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；
教学过程：
一、创设情境，新课引入
（1）请第一组的全体同学站起来？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是第一组的同学）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
二、师生互动，新课讲解
1、集合的有关概念
集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
课本P2：例子(1)—(8),都构成一个集合。
2、集合的表示方法：
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A，B，C，P，Q，X，Y，等；集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如a,b,c, 等。
如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作aA;如果a 不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA(或aA)。
3、常用的数集及其记法：
全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作：N；（注意：0是自然数）
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作：N+或N*。
全体整数的集合通常简称整数集，记作：Z；
全体有理数的集合通常简称有理数集，记作：Q；
全体实数的集合通常简称实数集，记作：R。
学生练习：用符号或填空：
1 N ，0 N, -3 N, 0.5 N, N
1 Z , 0 Z, -3 Z, 0.5 Z, Z,
1 Q , 0 Q, -3 Q, 0.5 Q, Q,
1 R , 0 R, -3 R, 0.5 R, R.
4、集合的表示方法：
先介绍记号：大括号“{ }”，在集合里表示总体，而后提出集合的两种表示方法：
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写出大括内表示集合的方法。
例如：“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}。
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。一般先在大括号内写上这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线右面写上这个集合的元素的公共属性。
例如：所有的奇数表示为：{x|x=2k+1,kZ}
集合的性质：
（1）确定性：集合中的元素，必须是确定的，不是含糊不清的，任何一个对象，都能明确判断它是或者不是某全集合的元素，二者必居其一。
（2）互异性：集合中任何两个元素都是不相同的，在同一个集合中，相同的对象只能算作一个元素。
例如：集合{1，1，2}只能当作只有两个元素的集合。应用写为{1，2}才为正确的。
（3）无序性：在用列举法表示一个集合，写出它的各个元素时，与排列先后的顺序没有关系。
例如，对于集合：{-1，1，2}，也可以写成{1，2，-1}或{1，-1，2}等。
但是对于一些列举法中用省略号“……”表示的集合，仍应按它的一定次序排列，（根据它的特征）不能任意书写。
例如，对于自然数集，应写成：{1，2，3，……}，而不能写成：｛3，2，1，……｝；对于正偶数集，应写成：{2，4，6，……}，不能写成：{4，2，6，……}，但对于数集：{1，2，3，4，5}，则可表成：{3，1，5，2，4}。
6、例题讲解：
例1：下列所给对象不能构成集合的是________．
(1)高一数学课本中所有的难题；
(2)某一班级16岁以下的学生；
(3)某中学的大个子；
(4)某学校身高超过1.80米的学生；
(5)1,2,3,1.
解析 (1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．
(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．
(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合．
(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．
(5)虽然(5)中的对象具备确定性，但有两个元素1相同，不符合元素的互异性，所以(5)不能组成集合．
答案 (1)(3)(5)
点评 判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
变式训练1：
（1）（课本P3的思考题）判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
1）大于3小于11的偶数；2）我国的小河流。
小结：小河流不确定，所以不是集合。
（2）在数集{2x,x2-x}中，实数x的取值范围是____________（答：x0且x3）
例2（课本P3例1）用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x==x的所有实数根组成的集合；
（3）由1~20以内的所有素数组成的集合。
变式训练2：用列举法表示下列集合：
（1）所有绝对值等于8的数的集合A；
（2）所有绝对值小于8的整数的集合B。
例3（课本P4例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合
变式训练3：（课本P5练习NO：2）
例4：(tb0100305)：下面一组集合中各个集合的意义是否相同？为什么？
{1，5} ；{（1，5）}；{5，1}；{（5，1）}
分析：对于这个集合问题，只有明确集合中元素的具体意义才能作出正确解答。
解：{1，5}是由两个数1，5组成的集合，根据集合中元素的无序性，它与{5，1}是同一集合；{（1，5）}是一个点（1，5）组成的单元集合，由于（1，5）和（5，1）表示两个不同的点，所以{（1，5）}和{（5，1）}是不同的两个集合。
变式训练4：
(1)下面一组集合各个集合的意义是否相同？为什么？
，，，
(2)用列举法表示集合{(x,y)|x ∈{1,2},y∈{1,2,3}}
三、课堂小结，巩固反思：
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。
集合的三性：确实性，互异性，无序性。
四、布置作业：
A组：
1、（课本P11习题1.1A组NO：1）（做在课本上）
2、（课本P11习题1.1A组NO：2）（做在课本上）
3、（课本P11习题1.1A组NO：3）
4、（课本P11习题1.1A组NO：4）
5、（tb0300202）：已知集合M={a,b,c}中的三个元素可构成三角形的三边长，那么ABC一定不是（ D ）。
（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰三形
B组：
1.已知集合A＝{x|x＝2n，且n∈N}，B＝{x|x－6x＋5=0}，用∈或填空：
4 A，4 B，5 A，5 B
2.已知集合A＝{x|-33. 用列举法表示集合．
PAGE
42.1.2（2）指数函数（教学设计）
教学目标
1.掌握指数函数的图象与性质，会求指数函数的定义域.
2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.
3. 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.
教学重点和难点
重点：作指数函数的图像.
难点：图像的平移变换.
教学过程
复习回顾，新课引入
1、完成下列表格：
图象
定义域
值域
性质 （1）过定点 ，
（2） （2）
二、师生互动，新课讲解：
例1： 求下列函数的定义域：
（1）； （2） ； （3） ； （4）
变式训练1：解下列指数不等式：
（1）；（2）；（3）
例2：比较下列各题中两个数的大小：
（1）； （2）； （3）．
解 （１）考察指数函数，由于底数，所以指数函数在上是增函数．
∵，∴．
（2）考察指数函数，由于底数，所以指数函数在上是减函数．
∵，∴．
（3）由指数函数的性质知
，， 即，∴．
变式训练2：（1）已知，试比较的大小；
（2）已知，求实数的取值范围．
解 （１）考察指数函数，由于底数，所以指数函数在上是减函数．
∵，∴．
（2）考察指数函数，由于底数，所以指数函数在上是减函数．
∵，，，∴，
∴，即的取值范围是．
例3：在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
变式训练3：如图，则与1的大小关系是 （ ）
A B
C D
例4： 说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图：
(1)y=2x+1； (2)y=2x-2．
解：(1)比较函数y=2x+1与y=2x的关系：
y=2-3+1与y=2-2相等，
y=2-2+1与y=2-1相等，
y=22+1与y=23相等，
……
由此可以知道，将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=2x+1的图象．
（2)比较函数y=2x-2与y=2x的关系：
y=2-1-2与y=2-3相等，
y=20-2与y=2-2相等，
y=23-2与y=21相等，
补充：图像平移变换：
左加右减，上加下减。
变式训练4：作出下列函数的图像：
（1）；（2）
三、课堂小结，巩固反思：
1、指数函数的单调性的应用。
2、指数不等式的解法-----同底化。
3、图像的平移变换。
四、布置作业：
1、(tb0114001)函数y=3x与y=()x的图象（B）。
（A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称 （C）关于原点对称 （D）关于直线y=x对称
2、（课本P59习题2.1 A组 NO：5）
3、（课本P59习题2.1 A组 NO：7）
4、作出函数的图像，并写出它的单调区间。
5、作出函数的图像，根据图像：（1）求出定义域，值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）写出单调区间。
B组：
1、（课本P59习题2.1 B组 NO：1）
2、（课本P59习题2.1 B组 NO：4）
3、函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列
结论正确的是 ( D )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0PAGE
31．2．1函数的概念（教学设计）
教学目的：
1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；
2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
教学重点：理解函数的概念
教学难点：函数的概念
教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
问题1：（）是函数吗？
问题2：与是同一函数吗？
观察对应：
二、师生互动，新课讲解：
（一）函数的有关概念
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的函数，记作
， xA
其中叫自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合（B）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B的子集。
函数符号表示“y是x的函数”，有时简记作函数.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应
这里 A, B 为非空的数集.
（2）A：定义域；：值域，其中 B ；：对应法则 ， A ， B
（3）函数符号： 是 的函数，简记
例1：(tb0107701)判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？
（1）x2+y=1 （2）x+y2=1
答：（1）是；（2）不是。
（二）已学函数的定义域和值域
请填写下表：
函数 一次函数 二次函数 反比函数
a>0 a<0
对应关系
定义域
值域
（三）函数的值：关于函数值
题：=+3x+1 则 f(2)=+3×2+1=11
注意：1在中表示对应法则，不同的函数其含义不一样。
2不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。
3与是不同的，前者为变数，后者为常数。
（四）函数的三要素： 对应法则、定义域A、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
例题讲解
例2： 求下列函数的定义域：
① ；② ；③ .
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定。如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，
而时，分式有意义，∴这个函数的定义域是.
②∵3x+2<0，即x<-时，根式无意义，
而，即时，根式才有意义，
∴这个函数的定义域是{|}.
③∵当，即且时，根式和分式 同时有意义，
∴这个函数的定义域是{|且}
另解：要使函数有意义，必须：
∴这个函数的定义域是： {|且}
变式训练2：（课本P19练习NO：1）
强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.
例3： 已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).
解：f(3)=3×-5×3+2=14；
f(-)=3×(-)-5×(-)+2=8+5；
f(a+1)=3(a+1) -5(a+1)+2=3a+a.
变式训练3：（课本P19练习NO：2）
例4：下列函数中哪个与函数是同一个函数？
⑴；⑵；⑶（4）y=
解：⑴＝（）,，定义域不同且值域不同，不是；
⑵＝（）,，定义域值域都相同，是同一个函数；
⑶＝||=,；值域不同，不是同一个函数。
(4)定义域不同，所以不是同一个函数。
变式训练4：
① （定义域不同）
② （定义域不同）
③ （定义域、值域都不同）
例5： 求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
分析：在直角坐标系中画出函数的图象，发现（1）、（3）两个一次函数的函数值可以取到一切实数；（2）这个反比例函数的函数值不能等于0；（4）这个二次函数有最小值．
解：（1）值域为实数集；
（2）值域为；
（3）值域为实数集；
（4）函数的最小值是2，所以值域为．
（五）区间的概念
研究函数时常会用到区间的概念．
设是两个实数，而且．我们规定：
（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；
（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；
（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为，．
这里的实数都叫做相应区间的端点．
实数集可用区间表示为，我们把满足，，，的实数的集合分别表示为，，，．
“” 读作“无穷大”，“” 读作“负无穷大”，“+” 读作“正无穷大”．
区间可在数轴上表示（课本第17页）．
上面例4的函数值域用区间表示分别为：（1），（2），（1），（4）．
三、课堂小结，巩固反思：
函数是一种特殊的对应f：A→B，其中集合A，B必须是非空的数集；表示y是x的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；表示在x=a时的函数值，是常量；而是x的函数，通常是变量。
四、布置作业：
A组：
1、（课本P24习题1.2 A组NO：1）
2、（课本P24习题1.2 A组NO：2）
3、（课本P24习题1.2 A组NO：3）
4、（课本P24习题1.2 A组NO：4）
5、（课本P24习题1.2 A组NO：5）
6、（课本P24习题1.2 A组NO：6）
B组：
1、（课本P24习题1.2 B组NO：1）
2、(tb0305316)已知二次函数y= -x2+4x+5
当xR 时，求函数的值域。
当x[0,3]时，求函数的值域。
当x[-1,1]时，求函数的值域。
（答：(1) (-；(2)[5，9]；(3)[0，8]）
C组：
1、(tb0108313)设函数f(x)=x2+x+的定义域是[n,n+1] (nN+)，那么在f(x)的值域中共有___________个整数。（答：2n+2）
PAGE
52.2.2(2)对数函数及其性质（教学设计）
（内容：图象与性质应用）
教学目的：（1）进一步理解对数函数的图象和性质；
（2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；
（3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点：对数函数的图象和性质．
教学难点：对对数函数的性质的综合运用．
教学过程：
复习回顾，新课引入：
完成下表（对数函数且的图象和性质）
图象
定义域
值域
性质
二、师生互动，新课讲解：
例1：在同一坐标系作出函数的图象如图所示，回答下列问题．
（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？
（2）函数与且有什么关系？图象之间
又有什么特殊的关系？
（3）以的图象为基础，在同一坐标系中画出，，，，的图象．
思考底数是如何影响函数的．（学生独立思考，师生共同总结）
小结：当a>1时，函数单调递增，a越大，图象越靠近x 轴；当0变式训练1：已知函数的图象，则底数之间的关系：
．
例2：根据对数函数的图象和性质填空．
已知函数，则当时， ；当时， ；当时， ；当时， ．
变式训练2：已知函数，则当时， ；当时， ；当时， ；当时， ；当时， ．
例3：比较大小： ，且； ，．
变式训练3：函数在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；
例4．求函数的定义域，单调区间及值域。
变式训练4：求函数的定义域及单调区间．
课堂小结，巩固反思：
进一步理解与掌握对数函数的图象与性质
复合函数的单调性，“同增异减”。
布置作业：
A组：
1、求函数的定义域及单调区间．
2、求函数的定义域及单调区间．
3．求下列函数的定义域：
（1） （2）
4、求下列函数的值域
（1） ；（2）(提示分别对01讨论)
B组：
1、(tb0116803)若m>n>1，0mxxn (C) logxm2、(tb0218417)若logn2>logm2>0时，则m与n的关系是（A）。
（A）m>n>1 (B) n>m>1 (C)1>m>n>0 (D) 1>n>m>0
eq \o\ac(○,1)
eq \o\ac(○,2)
eq \o\ac(○,3)
1
2
3
4
PAGE
21.3.2函数的奇偶性（教学设计）
教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）学会判断函数的奇偶性．
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．
教学过程：
一、复习回础，新课引入：
1、函数的单调性
2、函数的最大（小）值。
3、从对称的角度，观察下列函数的图象：
；（3）；（4）
二、师生互动，新课讲解：
（一）函数的奇偶性定义
象上面的图象关于y轴对称的函数即是偶函数关于原点对称的函数即是奇函数．
1．偶函数（even function）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数（odd function）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：
（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。
（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．
（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．
（4）偶函数：,
奇函数：；
（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。
（二）典型例题
1．判断函数的奇偶性
例1．如图，已知偶函数y=f(x)在y轴右边的一部分图象，根据偶函数的性质，画出它在y轴左边的图象．
变式训练1：（课本P36练习NO：2）
例2（课本P35例5）：判断下列函数的奇偶性
（1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5；（3）f(x)=；（4）f(x)=
归纳：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
变式训练2：（课本P36练习NO：1）
例3：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数
解：任取，使得 ，则
由于f(x) 在(0，＋∞)上是增函数
所以
又由于f(x)是奇函数
所以和
由上得 即
所以，f(x)在(－∞，0)上也是增函数
结论：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
三、课堂小结，巩固反思：
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
四、作业布置
A组：
1、根据定义判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；（3） （）；（4）f(x)=0 （）
2、（课本P39习题1.3 A组NO：6）
3、(tb0109806)若函数f(x)的图象关于原点对称且在x=0处有定义，则f(0)=_______。（答：0）
4、(tb0109803)若函数y=f(x) (xR) 为偶函数，则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是（ C ）。
（A）(a, -f(a)) (B) (-a, -f(-a)) (C) (-a, f(a)) (D) (-a, -f(a))
B组：
1、(tb0109912)已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且与x轴有四个不同的交点，则方程f(x)=0的所有实根的和为（D）。
（A）4 （B）2 （C）1 （D）0
2、(tb0307345)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7,-3]上是（B）。
（A）增函数且最小值为-5 （B）增函数且最大值为-5
（C）减函数且最小值为-5 （D）减函数且最大值为-5
3、（课本P39习题1.3 B组NO：3）
C组：
1、定义在R上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，求实数的取值范围。
2、已知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)；求当x <0时，函数f(x)的解析式
解：设x <0，则 －x >0
有f(－x)= －x [1+(－x)]
由f(x)是偶函数，则f(－x)=f(x)
所以f(x) = －x [1+(－x)]= x(x－1)
PAGE
42.2.1（3）对数与对数运算（教学设计）
内容：换底公式
教学目标：
知识与技能：
推导对数的换底公式，培养学生分析、综合解决问题的能力，培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度。
过程与方法：
让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识。
情感态度与价值观：
通过对数的运算法则，对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；感受对数的广泛应用。
教学重点：对数的运算性质、换底公式及其应用。
教学难点：正确使用对数的运算性质和换底公式。
教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
问：上节课我们学习了哪些对数的性质？请用文字语言叙述．
答：（1）积的对数等于同底对数的和；
（2）商的对数等于同底对数的差；
（3）次幂的对数等于同底对数的倍；
即：（1）；
（2）；
（3）（）．
二、师生互动，新课讲解：
1、对数的换底公式
问：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或为底的对数？
把问题一般化，能否把以为底转化为以为底？
师生共同探究：设，则，对此等式两边取以为底的对数，得到：
，根据对数的性质，有：，所以．
即．其中，且，，且．
公式称为换底公式．
用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．
例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算的值，利用换底公式和对数的运算性质，可得：
（年）
例1： 利用换底公式推导下面的结论
（1）； （2）．
变式训练1：（课本P68练习 NO：4）
例2：求的值。
略解：
变式训练2：已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求的值。
略解：1.5851
例3（课本P66例5应用题）
例4（课本P67例6应用题）
三、课堂小结，巩固反思：
1、换底公式：，在计算过程中常换成以10为底的常用对数。
四、布置作业：
A组：
1、（课本P74习题2.2 A组NO：4）
2、（课本P74习题2.2 A组NO：11）
3、(tb0115601)的值是（D）。
（A）2 （B）1 （C） （D）
4、(tb0115704)(log43+log83)=_______（答：）
5、(tb0115705)logb-loga=________（答：0）
B组：
1、(tb0115706)设log89=a，log35=b，则lg2=________（答：）
2、(tb0115707)计算：log48-log3+log=___________（答：-2）
PAGE
23.2.1几类不同增长的函数模型（教学设计）
教学目标：
知识与技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法：能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．
情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．
新课导入：
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
二、师生互动，新课讲解：
例1（课本P95例1），假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
探究：
1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？
2）分析解答（略）（见P95--97）
3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
例2：（课本P97例2）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
．问：其中哪个模型能符合公司的要求？
探究：
1）本例涉及了哪几类函数模型？
2）本例的实质是什么？
3）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？
解答：（课本P97—98）
幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：
你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结。
课堂练习：（课本P98练习 NO：1；2）
例3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
探索：
本例涉及到哪些数量关系？
应用如何选取变量，其取值范围又如何？
应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系？
“总收入最高”的数学含义如何理解？
[略解：]
设客房日租金每间提高个2元，则每天客房出租数为300-10，
由>0，且300-10>0得：0<<30
设客房租金总收入元，则有：老派
（0<<30）
由二次函数性质可知当=10时，max=8000．
所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元．
三、课堂小结，巩固反思
三种函数模型的性质
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随n值而不同
四、布置作业：
A组：
1、 一公顷地等于一百五十亩，某外资企业在A开发区租借x公顷，则合多少亩地？
解答：设x公顷合y亩地，则有函数关系
y＝150x（x＞0）
评注：这是一个常规的换算问题，而在我们所学的内容中恰好是一个函数问题，由此可以理解很多换算问题都是一种常规的函数关系。
2、某国际快递公司从上海到纽约的一次快递业务报价为：
物资 快递价格（人民币）
不超出10公斤 200（元）
超出10公斤，不超出20公斤 350（元）
超出20公斤，不超出40公斤 500（元）
40公斤以上 每增加一公斤加费10元
(1) 写出快递价格y与快递物资x的函数关系式；
(2) 某人需要快递50公斤物资，他用一次快递便宜还是分两次快递（一次20公斤，一次30公斤）便宜？
解：(1) 200 0＜x≤10 y的单位元
y＝f(x)＝ 350 10＜x≤20 x的单位：公斤
500 20＜x≤40
500＋10(x－40) 40＜x
(2) 一次快递的费用为：y1＝500＋40(50－40)＝600（元）
二次快递的费用为：y2＝350＋500＝850（元）
答：一次快递费用便宜。
评注：这是一个分段函数的典型实例，在建立数学模型的基础上可以用来怎样合理使用运输方法。
3、将20米长的一段篱笆沿墙围成三个大小相同的矩形猪窝（如图），用怎样围法面积最大？
x
解：设猪舍的一边长为x，则另一边为
∴ 面积为 （0＜x＜5）
∴ 当x＝2.5米时，面积Smax＝25（米2）
答：当一间猪舍的一边长为2.5米，另一边为米时，面积最大。
评注：二次函数的最值是一个重要问题，而在求最值之前有一个二次函数的模型建立问题，在模型建立中，一定要对各种因素思考完整。
4、已知函数图象（如图）中A(0, 4)、B(－2, 0)、C(1, 1)、D(2, 0)（均为线段）
(1) 写出函数在[－2, 3]上的表达式；
(2) 写出函数的增区间；
(3) 出函数的最大或最小值。
解：(1) A
(2) 函数分别在[－2, 0)，[0, 1]上为增函数。 C
(3) 函数当x＝3时取最小值－1，无最大值。 B D
E
评注：这是一个图形与函数关系的问题，在这里要注意[－2, 1]不是它的单调区间，并注意4不是它的最大值，而只是一个上限。
5、商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款．顾客只能任选其一．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论两种办法哪一种更省钱．
解 由优惠办法(1)可得函数关系式为
y1＝20×4＋(x－4)×5＝5x＋60 (x≥4)；
由优惠办法(2)得：
y2＝4×20×0.92＋x×5×0.92＝4.6x＋73.6 (x≥4)
当购买34只茶杯时，两办法付款相同；
当4≤x<34时，y1当x>34时，y1>y2，优惠办法(2)省钱．
PAGE
3