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七年级数学下册 5.1.2 垂线 导学案
1.垂线的概念：两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直；例如直线AB垂直于直线CD，可写成：；其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点称为垂足。
2.垂线的性质：平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3.垂线段：过直线外一点作这条直线的垂线，这个点与垂足之间的线段叫作垂线段。
4.垂线段的性质：在连接直线外一点与直线上各点的线段中垂线段最短，简称：垂线段最短。
5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。
6.垂线的画法：用量角器画垂线：
①经过直线上一点画已知直线的垂线：先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器底边的中心点与直线上已知点重合，再在量角器90°所对的位置处标出一点，拿走量角器，连接即可。
②经过直线外一点画已知直线的垂线：先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器90°的垂线经过直线外的该点，再在量角器90°所对的位置出标出一点，连接这两点即可。
选择题
1.如图．，，垂足分别为、．下列说法中错误的是（ ）
A．线段的长是点到的距离
B．、、三条线段，最短
C．线段的长是点到的距离
D．线段的长是点到直线的距离
【答案】C
【分析】本题考查点到直线的距离、垂线段的性质，根据定义“点到这一直线的垂线段的长度叫作点到这条直线的距离”以及垂线段最短，逐项判断即可．
【详解】解：由可知，线段的长是点到的距离，故A选项说法正确；
由垂线段最短可知，、、三条线段，最短，故B选项说法正确；
由可知，线段的长是点到的距离，故C选项说法错误；
由可知，线段的长是点到直线的距离，故D选项说法正确；
故选C．
2.如图，直线a，b相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，求出的度数是解题的关键．根据垂直的定义可求的度数，然后根据邻补角的定义求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
3.如图，O是直线上一点．，射线平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂直的定义，邻补角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．先求出，再由平分，，再根据垂直的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4.如图，直线交于点O，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角的计算，掌握对顶角相等以及图形中角的和差关系是正确解答的前提．根据垂直的定义，对顶角相等以及角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴
故选：B．
5.）如图，点O在直线上，，、分别平分和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，根据垂线的定义可得，由结合邻补角的性质求得，再根据角平分线的性质即可求得．
【详解】解：，
，
，
，
平分，
，
故选：C．
6.下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】略
7.P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
【答案】D
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知垂线段最短是解题的关键，根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可．
【详解】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于，
故选D．
8.如图，测量运动员跳远成绩选取的是的长度，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．垂直的定义
【答案】B
【分析】本题主要考查垂线段的性质，根据垂线段的性质即可求解．
【详解】解：测量运动员跳远成绩选取的是的长度，其依据是：垂线段最短．
故选：B．
填空题
1.下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是 （填序号）．
【答案】②
【分析】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
【详解】解：图利用垂线段最短；
图利用两点之间线段最短；
图利用两点确定一条直线．
故答案为：．
2.如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．
【答案】/
【分析】本题考查了点到直线的距离，根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”即可得到答案．
【详解】解：，
，
点A到直线PC的距离是线段的长，
故答案为：．
3.已知点在直线上，，，那么 ．
【答案】/
【分析】此题考查了角度的计算和垂直的定义，根据题意分情况讨论即可求解，解题的关键是正确找到各个角之间的关系，熟练掌握垂直的定义及计算．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
如图，
∵，
∴，
∴，
综上可知：的度数为或，
故答案为：或．
4.如图，中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作，垂足为F点．如果，，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．过C作于F，交于E．则的最小值为，利用三角形等面积法求出，即为的最小值．
【详解】解：过C作于F，交于E，
则的最小值为．
∵，，，
∴，
∴CF=，
即的最小值为：，
故答案为：．
5.下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是 （填序号）．
【答案】②
【分析】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
【详解】解：图利用垂线段最短；
图利用两点之间线段最短；
图利用两点确定一条直线．
故答案为：．
解答题
1.如图，所有小正方形的边长都为1，点、、均在格点上．
(1)过点画线段的平行线；
(2)过点画线段的垂线，垂足为；
(3)线段的长度是点到直线 的距离；
(4)比较线段、的大小关系（用“<”连接）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查利用格点作平行线、垂线，垂线段的性质，点到直线距离的定义：
（1）根据网格的特点直接作平行线即可；
（2）根据网格的特点直接作垂线即可；
（3）根据点到直线距离的定义求解；
（4）根据垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：线段的长度是点到直线的距离，
故答案为：；
（4）解：由垂线段最短可知：．
2.已知一条笔直的公路两侧有、、三个村庄．
(1)画出村庄、之间距离最短的路线；
(2)加油站D在村庄B、C所在直线与公路L的交点处，画出加油站的位置D；
(3)画出村庄到公路的最短路线，画图依据是：______，测量答题卡上______（精确到），如果示意图与实际距离的比例尺为，通过你的测量和计算，在实际中村庄到公路的距离是：______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析；垂线段最短；，
【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接即可，
（2）两条直线的交点就是加油站的位置，
（3）依据点到直线的所有线段中，垂线段最短，和比例尺的意义可得．
【详解】（1）如图所示．根据两点之间线段最短，连接，
（2）如图所示．线与公路的交点，即为加油站，
（3）如图所示．
作图依据：垂线段最短．
过点作交点为
测量，．
示意图与实际距离的比例尺是
：实际距离：
实际距离
在实际中村庄到公路的最短线路为．
【点睛】本题考查了两条直线的交点，垂线段最短，以及过直线外一点作已知直线的垂线，以及比例尺，解题的关键是掌握两点之间线段最短，以及垂线段最短．
3.如图，直线，相交于点，，垂足为，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查几何图形中求角度，根据垂直的定义得到，利用，求出的度数，对顶角相等，得到，平角的定义求出．
【详解】解：，
．
，
，
，
．
4．几何说理填空：
如图，直线、相交于点，于点，平分，平分，．
(1) ；
(2)求的度数．（过程如下，补全过程）
解：于点，
，
，
，
，
，
平分，
．
【答案】(1)
(2)90，145，145，，72.5
【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由垂线的定义可得，从而得出，再根据角平分线的定义进行计算即可；
（2）由垂线的定义可得，从而得出，最后根据角平分线的定义计算即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
平分，
，
故答案为：；
（2）解：解：于点，
，
，
，
，
，
平分，
故答案为：90，145，145，，72.5．
5．如图所示，直线交于点平分平分．
(1)若，求与的度数，并求出的度数；
(2)当的度数变化时，的度数是否会变化？请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)见解析
【详解】解：（1）由题意，得．
由对顶角相等，得．
因为平分，所以．
同理可得，
所以．
（2）的度数不会变化．理由如下：
因为平分，
所以．
同理可得．
因为，
所以．
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七年级数学下册 5.1.2 垂线 导学案
1.垂线的概念：两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直；例如直线AB垂直于直线CD，可写成：；其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点称为垂足。
2.垂线的性质：平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3.垂线段：过直线外一点作这条直线的垂线，这个点与垂足之间的线段叫作垂线段。
4.垂线段的性质：在连接直线外一点与直线上各点的线段中垂线段最短，简称：垂线段最短。
5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。
6.垂线的画法：用量角器画垂线：
①经过直线上一点画已知直线的垂线：先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器底边的中心点与直线上已知点重合，再在量角器90°所对的位置处标出一点，拿走量角器，连接即可。
②经过直线外一点画已知直线的垂线：先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器90°的垂线经过直线外的该点，再在量角器90°所对的位置出标出一点，连接这两点即可。
选择题
1.如图．，，垂足分别为、．下列说法中错误的是（ ）
A．线段的长是点到的距离
B．、、三条线段，最短
C．线段的长是点到的距离
D．线段的长是点到直线的距离
2.如图，直线a，b相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，O是直线上一点．，射线平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，直线交于点O，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5.）如图，点O在直线上，，、分别平分和，若，则（ ）
A． B． C． D．
6.下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）．
A． B．
C． D．
7.P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
8.如图，测量运动员跳远成绩选取的是的长度，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．垂直的定义
填空题
1.下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是 （填序号）．
2.如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．
3.已知点在直线上，，，那么 ．
4.如图，中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作，垂足为F点．如果，，，则的最小值为 ．
5.下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是 （填序号）．
解答题
1.如图，所有小正方形的边长都为1，点、、均在格点上．
(1)过点画线段的平行线；
(2)过点画线段的垂线，垂足为；
(3)线段的长度是点到直线 的距离；
(4)比较线段、的大小关系（用“<”连接）．
2.已知一条笔直的公路两侧有、、三个村庄．
(1)画出村庄、之间距离最短的路线；
(2)加油站D在村庄B、C所在直线与公路L的交点处，画出加油站的位置D；
(3)画出村庄到公路的最短路线，画图依据是：______，测量答题卡上______（精确到），如果示意图与实际距离的比例尺为，通过你的测量和计算，在实际中村庄到公路的距离是：______．
3.如图，直线，相交于点，，垂足为，若，求的度数．
4．几何说理填空：
如图，直线、相交于点，于点，平分，平分，．
(1) ；
(2)求的度数．（过程如下，补全过程）
5．如图所示，直线交于点平分平分．
(1)若，求与的度数，并求出的度数；
(2)当的度数变化时，的度数是否会变化？请说明理由．
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