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七年级数学下册 5.3.1 平行线的性质 导学案
1.性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；即两直线平行，同位角相等。
2.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；即两直线平行，内错角相等。
3.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；即两直线平行，同旁内角互补。
选择题
1.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质解答，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
2．如图，把一块含有角的直角三角板的两个锐角顶点放在直线，上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据题意可得，结合，可求出，最后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：根据题意得，
又，
，
，
，
故选：B．
3.已知与是直线、被直线所截得的同位角，且，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】D
【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，根据平行线的性质进行判断即可，解题的关键是理解同位角的定义以及两直线平行线，同位角相等．
【详解】解：∵与是两条直线被第三条直线所截的同位角，两条直线不一定平行，
∴不能确定，
故选：．
4．如图，直线a、b被直线c所截，且直线，则下列两个角不互补的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质及补角的定义，根据平行的性质和补角的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．与互为邻补角，则与互补，故A不符合题意；
B．，，即与互补，故B不符合题意；
C．，，，，即与互补，故C不符合题意；
D．，，由图可知，，即与不互补，故D符合题意；
故选：D．
5.如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，第一次在处拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶，两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次右拐，第二次左拐
B．第一次右拐，第二次左拐
C．第一次左拐，第二次左拐
D．第一次右拐，第二次左拐
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，理解题意，根据题意作图，利用数形结合的思想，掌握平行线的判定是解答本题的关键．
根据题意，作正确的图形，然后根据平行线的判定定理，选出答案．
【详解】解：，
，
故第一次右拐，第二次左拐，
故选：．
6.海上有两艘军舰和，测得在的北偏西方向上，则由测得的方向是（ ）
A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西
【答案】B
【分析】本题考查了方向角，方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度．根据定义，正确画出图形，利用平行线的性质就可以解决．
【详解】如图：
∵，，
∴，
由方向角的概念可知由测得的方向是南偏东．
故选：B．
7．如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线性质，根据平行线性质得到内错角的大小，结合邻补角互补即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
填空题
1.如图，， （写出一个结论）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行线的性质，由两直线平行，同位角相等，即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，
故答案为：（答案不唯一）．
2.如图，，直线分别交，于点，，平分，，则的度数为 ．
【答案】/80度
【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义．根据可得，由平分可得，最后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
3.如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为，则 ．（用含x，y的式子表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质，能够正确的识别图形，找出角与角之间的关系．先过点，，分别作水平线的垂线，证明，根据平行线的性质证明，由，则，，进而求解．
【详解】如图所示：过点，，分别作水平线的垂线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
4.如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、、、在同一条直线上，若，则的度数为 ．
【答案】/49度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义．先根据邻补角的性质求得的度数，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
5.如图，直线，直线与分别交于点，交于点，若， 则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂线的定义，由两直线平行，内错角相等可得，由垂线的定义可得，最后由进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
1.已知，点在上，点在上，点为射线上一点．
(1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分）
证明：过点作直线，
∵，
∴_______①_______．
∵，
∴_______②_______．
∵，
∴_______③_______（_______④_______）．
∴．
(2)【类比探究】如图2，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【应用拓展】如图3，点与点重合，平分，且，，那么的度数为________．
【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（）过点作直线，根据平行线的性质与判定即可求解；
（）过点作直线，同理可得，，则；
（）利用平行线的性质求出的值，再利用平行线的性质进行计算即可；
本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.
【详解】（1）过点作直线，
∵，
∴ (平行于同一条直线的两条直线平行)，
，
∴，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴；
故答案为：；；；两直线平行，内错角相等；
（2）如图所示，过点作直线，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图所示，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
2.如图，点F在上，于点G，与相交于点H，且．
(1)求证：．在下列解答中，填空：
证明：∵（已知）
___①___（对顶角相等）
∴___②___（等量代换）
∴（ ③ ）
∴___④___（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（垂直的定义．）
∴___⑤___（等量代换）
∴（垂直的定义）
(2)若平分，且，求的度数．
【答案】(1)；；同旁内角互补，两直线平行；；
(2)
【分析】（1）证明得，从而，然后再证明即可；
（2）由角平分线的定义得，然后利用平行线的性质可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵（已知）
（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（垂直的定义．）
∴（等量代换）
∴（垂直的定义）
故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；；
（2）∵平分，且，
∴．
∵，
∴
3.如图，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接．
(1)已知，直接写出的度数；
(2)求证：平分．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线定义，垂线，平行线的性质．
（1）由平行线的性质得到，而，得到，求出，由垂直的定义得到，即可求出；
（2）由（1）知，，由余角的性质推出，即可证明平分．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴
∴，
∴平分．
4．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，于，点是上任意一点，于，且，．试求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．由，则，则，从而证得，即可得到．
【详解】解：，
又
5.如图，已知，．
(1)证明：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质定理，并灵活运用．
（1）由平行线的性质可得，从而可求得，即可判定；
（2）由平行线的性质可得，，结合条件即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴；
（2）解：∵，
，
，
∵，
，
，
，
．
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七年级数学下册 5.3.1 平行线的性质 导学案
1.性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；即两直线平行，同位角相等。
2.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；即两直线平行，内错角相等。
3.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；即两直线平行，同旁内角互补。
选择题
1.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，把一块含有角的直角三角板的两个锐角顶点放在直线，上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.已知与是直线、被直线所截得的同位角，且，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．如图，直线a、b被直线c所截，且直线，则下列两个角不互补的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
5.如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，第一次在处拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶，两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次右拐，第二次左拐
B．第一次右拐，第二次左拐
C．第一次左拐，第二次左拐
D．第一次右拐，第二次左拐
6.海上有两艘军舰和，测得在的北偏西方向上，则由测得的方向是（ ）
A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西
7．如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.如图，， （写出一个结论）．
2.如图，，直线分别交，于点，，平分，，则的度数为 ．
3.如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为，则 ．（用含x，y的式子表示）．
4.如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、、、在同一条直线上，若，则的度数为 ．
5.如图，直线，直线与分别交于点，交于点，若， 则 ．
1.已知，点在上，点在上，点为射线上一点．
(1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分）
证明：过点作直线，
∵，
∴_______①_______．
∵，
∴_______②_______．
∵，
∴_______③_______（_______④_______）．
∴．
(2)【类比探究】如图2，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【应用拓展】如图3，点与点重合，平分，且，，那么的度数为________．
2.如图，点F在上，于点G，与相交于点H，且．
(1)求证：．在下列解答中，填空：
证明：∵（已知）
___①___（对顶角相等）
∴___②___（等量代换）
∴（ ③ ）
∴___④___（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（垂直的定义．）
∴___⑤___（等量代换）
∴（垂直的定义）
(2)若平分，且，求的度数．
3.如图，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接．
(1)已知，直接写出的度数；
(2)求证：平分．
4．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，于，点是上任意一点，于，且，．试求的度数．
5.如图，已知，．
(1)证明：．
(2)若，求的度数．
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