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七年级数学下册 5.3.2 命题、定理、证明 导学案
一、命题
1.命题的定义：判断一件事情的语句叫作命题。
2.命题的组成：命题由题设和结论两部分组成。
3.命题的表达形式：命题通常写成：“如果……那么……”的形式。“如果”后面接的是题设部分，“那么”后面接的部分是结论。
4.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫作真命题。
5.假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫作假命题。
二、公理、定理与证明
1.公理：从实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据的真命题。
2.定理：经过推理证实的真命题叫作定理，它可以作为继续推理的依据。
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明。
4.举反例：判断一个命题是假命题，一般举反例说明，它符合命题的题设，但不满足结论。
选择题
1.下列命题中，真命题是（ ）
A．若两个角相等，则这两个角是对顶角 B．同位角一定相等
C．若，则 D．平行于同一条直线的两直线平行
【答案】D
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据对顶角、同位角、等式的性质和平行线的判定判断即可．
【详解】解：A、若两个角相等，则这两个角不一定是对顶角，是假命题；
B、两直线平行，同位角一定相等，是假命题；
C、若，则或，是假命题；
D、平行于同一条直线的两直线平行，是真命题；
故选：D．
2．下列语句中，不是命题的是（ ）
A．x一定小于吗 B．两点之间线段最短
C．等腰三角形是轴对称图形 D．对顶角相等
【答案】A
【分析】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题，根据命题的概念判断即可．
【详解】解：A、一定小于吗？，不是命题，符合题意；
B、两点之间线段最短，是命题，不符合题意；
C、等腰三角形是轴对称图形，是命题，不符合题意；
D、对顶角相等，是命题，不符合题意；
故选：A．
3．要证明命题“若为锐角，则”是假命题，下列的度数能作为反例的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的命题的真假判断，举反例的方法理解，掌握举反例要明确：举例要满足条件，而不满足结论，从而可得答案．
【详解】解：证明命题“若为锐角，则”是假命题，
的度数能作为反例的是，
故选A
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理的知识，顶角的定义、平行线的性质及垂直、平行的定义，利用对顶角的定义、平行线的性质及垂直、平行的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
C、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，不符合题意，
故选：C．
5．下列命题；
①内错角相等；
②两个锐角的和是钝角；
③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；
④，，是同一平面内的三条直线，若，，则；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②两个锐角的和不一定是钝角，错误，是假命题，不符合题意；
③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；正确，是真命题，符合题意；
④，，是同一平面内的三条直线，若，，则，正确，是真命题，符合题意；
真命题有2个，
故选：B．
6．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．两点之间，线段最短
【答案】C
【分析】本题主要考查真假命题、平行线的性质与判定、对顶角及线段的意义，熟练掌握各个定理是解题的关键；因此此题可根据平行线的性质与判定、对顶角及线段可进行求解．
【详解】解：A、“同位角相等，两直线平行”是真命题，故不符合题意；
B、“对顶角相等”是真命题，故不符合题意；
C、“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是假命题，缺少平行条件，故符合题意；
D、“两点之间，线段最短”是真命题，故不符合题意；
故选C．
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同角的余角互补 B．同位角相等
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】C
【分析】本题主要考查真假命题，余角，同位角，平行线的性质，三角形外角等知识，根据其概念和性质进行判断即可，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
【详解】A. 同角的余角相等，不符合题意；
B. 同位角不一定相等，不符合题意；
C. 两直线平行，内错角相等，符合题意；
D. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，不符合题意；
故选：C．
8．下列语句中，是命题的个数为（ ）
①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的概念是解题的关键；因此此题可根据“一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题”进行排除选项．
【详解】解：①②④⑤符合命题的定义，而③不能写出题设与结论出来，故不是命题，所以是命题的个数有4个；
故选C．
9．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查了反证法；
根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
【详解】解：A.，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；
B.，，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
故选：A．
填空题
1.命题“在一个三角形中，等边对等角”的题设是“在一个三角形中，如果有两边相等”，结论是“这两边所对的角也相等”，逆命题是“在一个三角形中，等角对等边”，是 命题（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】本题考查命题与定理，能根据等腰三角形的判定判断命题的真假是解题的关键．
【详解】解：“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是：“在同一个三角形中”，等角对等边，是真命题；
故答案为：真．
2．命题“对顶角相等”写成”如果，那么”的形式
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题的定义以及命题的书写形式：如果后面写条件，那么后面写结论，据此即可作答．
【详解】解：命题“对顶角相等”写成”如果，那么”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
3．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】略
4．一个命题可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面部分叫 ，“那么”后面部分叫 ．
【答案】 题设 结论
【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【详解】解：一个命题可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面部分叫题设，“那么”后面部分叫结论；
故答案为：题设，结论．
5．如图，三角形中，，是边上的两点，是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．现有以下条件：①平分；②；③．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
条件： ；
结论： ．（填序号）
【答案】 ①② ③
【详解】条件：①②
结论：③
证明：平分，
．
，
，．
．（答案不唯一）
6．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上．
（1）“如果，那么”是一个假命题；
反例： ；
（2）“如果，那么”是一个假命题．
反例： ．
【答案】
【解析】略
解答题
1.把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题．
【答案】见解析
【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直．
题设：两条射线分别是邻补角的角平分线；
结论：它们互相垂直．是真命题；
如图，，是邻补角，，分别平分，．
2.桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为．
(1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上；
(2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由．
【答案】(1)7
(2)14
【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案；
（2）根据三种情况进行分析，进而得出答案．
【详解】（1）解：总变化量：，
次数（至少）：，
故答案为：7；
（2）解：①两张由反到正，变化：；
②两张由正到反，变化：；
③一正一反变一反一正，变化，
要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14，
∵14无法由4，，0相加得到，
∴不能全正，故不能所有纸牌全正；
故答案为：14．
【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可．
3．足球比赛的记分规则为胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某足球队在本赛季共需比赛14场，现已比赛了8场，其中输了一场，得17分．
(1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？（用列方程的方法解）
(2)通过对比赛情况的分析，这支球队踢满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期目标．请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标．
【答案】(1)这支球队共胜了5场
(2)至少胜3场
【分析】（1）设这支球队胜了场，则平了场，根据总分为17分，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）由题意可得在以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可，胜场不少于4场，一定可达到预期目标，而胜3场，平3场，正好也达到预期目标，即可得到答案．
【详解】（1）解：设这支球队胜了场，则平了场，
由题意得：
，
解得，
答：这支球队共胜了5场；
（2）解：由题意可知，在以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可，
胜场不少于4场，一定可达到预期目标，而胜3场，平3场，正好也达到预期目标，
因此在以后的比赛中至少要胜3场，
答：至少胜3场．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，逻辑推理，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4.如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可．
【详解】（1）解：命题1：由①②得到③；
命题2：由①③得到②；
命题3：由②③得到①；
（2）命题1证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题2证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题3证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键．
5．请判断命题“若三条线段、、满足，则这三条线段、、能够组成三角形”的真假性．若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例说明．
【答案】见解析
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，然后举出满足条件但不满足结论的例子即可．
【详解】解：若三条线段a，b，c满足，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段，，满足，但这三条线段不能够组成三角形．
【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．如图，，的两边分别平行，即，．
(1)在图1中，与的数量关系为_____
(2)在图2中，与的数量关系为_____，试说明理由．
(3)结合以上两个结论，用一个真命题表示：如果两个角的两边分别平行，那么_____
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)这两个角相等或互补．
【分析】（1）如图，先证明，，可得；
（2）如图，先证明，，可得；
（3）用语言概况归纳（1）（2）的结论即可．
【详解】（1）解：如图，∵，．
∴，，
∴；
（2）如图，∵，．
∴，，
∴；
（3）总结为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．
7．命题“内错角相等，两直线平行．”
(1)写出该命题的条件和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明）．
【答案】(1)条件是：内错角相等，结论是：两直线平行；
(2)见解析．
【分析】（1）一个命题一般包括条件和结论两部分，根据“如果”后面接的是条件，“那么”后而接的结论，即可得解．
（2）根据平行线的性质即可得解．
【详解】（1）该命题的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行；
写成“如果……那么……”的形式为：
如果内错角相等，那么两直线平行；
（2）己知：如图，直线c与直线a，b相交，且．
求证：．
证明：，（已知）
又（对顶角相等）
，（等量代换）
．（同位角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查了命题的基本概念与组成，平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
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七年级数学下册 5.3.2 命题、定理、证明 导学案
一、命题
1.命题的定义：判断一件事情的语句叫作命题。
2.命题的组成：命题由题设和结论两部分组成。
3.命题的表达形式：命题通常写成：“如果……那么……”的形式。“如果”后面接的是题设部分，“那么”后面接的部分是结论。
4.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫作真命题。
5.假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫作假命题。
二、公理、定理与证明
1.公理：从实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据的真命题。
2.定理：经过推理证实的真命题叫作定理，它可以作为继续推理的依据。
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明。
4.举反例：判断一个命题是假命题，一般举反例说明，它符合命题的题设，但不满足结论。
选择题
1.下列命题中，真命题是（ ）
A．若两个角相等，则这两个角是对顶角 B．同位角一定相等
C．若，则 D．平行于同一条直线的两直线平行
2．下列语句中，不是命题的是（ ）
A．x一定小于吗 B．两点之间线段最短
C．等腰三角形是轴对称图形 D．对顶角相等
3．要证明命题“若为锐角，则”是假命题，下列的度数能作为反例的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．下列命题；
①内错角相等；
②两个锐角的和是钝角；
③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；
④，，是同一平面内的三条直线，若，，则；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．两点之间，线段最短
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同角的余角互补 B．同位角相等
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角
8．下列语句中，是命题的个数为（ ）
①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B．，
C．， D．，
填空题
1.命题“在一个三角形中，等边对等角”的题设是“在一个三角形中，如果有两边相等”，结论是“这两边所对的角也相等”，逆命题是“在一个三角形中，等角对等边”，是 命题（填“真”或“假”）
2．命题“对顶角相等”写成”如果，那么”的形式
3．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的可以是 ．
4．一个命题可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面部分叫 ，“那么”后面部分叫 ．
5．如图，三角形中，，是边上的两点，是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．现有以下条件：①平分；②；③．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
条件： ；
结论： ．（填序号）
6．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上．
（1）“如果，那么”是一个假命题；
反例： ；
（2）“如果，那么”是一个假命题．
反例： ．
解答题
1.把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题．
2.桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为．
(1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上；
(2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由．
3．足球比赛的记分规则为胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某足球队在本赛季共需比赛14场，现已比赛了8场，其中输了一场，得17分．
(1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？（用列方程的方法解）
(2)通过对比赛情况的分析，这支球队踢满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期目标．请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标．
4.如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
5．请判断命题“若三条线段、、满足，则这三条线段、、能够组成三角形”的真假性．若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例说明．
6．如图，，的两边分别平行，即，．
(1)在图1中，与的数量关系为_____
(2)在图2中，与的数量关系为_____，试说明理由．
(3)结合以上两个结论，用一个真命题表示：如果两个角的两边分别平行，那么_____
7．命题“内错角相等，两直线平行．”
(1)写出该命题的条件和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明）．
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