北师大版2024年七年级下册 第2章 相交线与平行线 单元测试卷（含解析）

北师大版2024年七年级下册 第2章 相交线与平行线 单元测试卷
满分100分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形中，线段AD的长度表示点A到直线BC距离的是（　　）
A．B．C．D．
2．平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，则a+b的值是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．14
3．如图，直线AB，CD相交于点O，若射线OP平分∠AOD，射线OD平分∠BOP，则∠BOC的度数为（　　）
A．115° B．120° C．125° D．130°
4．两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”．为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（　　）
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
5．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠ADC D．∠2＝∠4
6．将一副三角板（含30°，45°，60°，90°角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的余角度数是（　　）
A．15° B．60° C．75° D．105°
7．如图，直线c与直线a，b都相交．若a∥b，∠1＝53°，则∠2＝（　　）
A．50° B．51° C．52° D．53°
8．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCB的度数是（　　）
A．55° B．70° C．60° D．35°
9．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝120°，则∠C的度数为（　　）
A．120° B．110° C．140° D．90°
10．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（　　）
A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90°
C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，直线AB，CD被AE所截，则∠A的同旁内角是 　 　．
12．如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河l向村庄P引水，图中有四种方案，其中沿线段PC路线开挖的水渠长最短，理由是 　 　．
13．如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是　 　，用它测量角的原理是　 　．
14．已知∠1与∠2互余，且∠1＝35°，则∠2的补角的度数为　 　度．
15．如图，直线l1∥l2，将直角三角板按如图方式放置，直角顶点在l2上，若∠1＝40°，则∠2＝　 　．
16．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（5分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE＝36°．求∠AOC的度数．
18．（5分）如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD．
19．（8分）如图，直线AB∥CD，∠1＝70°，∠D＝110°，求∠B的度数．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝（①　 　）（②　 　）．
又∵∠1＝70°，∠D＝110°（已知），
∴∠1+∠D＝180°（等式的性质）．
∴∠C+∠D＝180°（③　 　）．
∴（④　 　）∥（⑤　 　）（⑥　 　）．
∴∠B＝（⑦　 　）（⑧　 　）．
∴∠B＝70°
20．（8分）如图所示，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，使得∠AOC＝5∠AOD，请你求出∠COD的度数．
21．（8分）如图，∠1＝∠C，BE⊥DF于点P．
（1）若∠2＝55°，请求出∠B的度数；
（2）若∠2+∠D＝90°，求证：AB∥CD．
22．（9分）定义：如果有三个角α，β，γ，满足α+β﹣γ＝90°，则称γ是α和β的“减余角”．
（1）已知∠1＝37°，∠2＝66°，若∠3是∠1和∠2的“减余角”，则∠3＝　 　．
（2）现有一张正方形纸片ABCD，如图1所示，点E为线段BC上一点（不与B、C重合）．连结AE，将纸片沿着AE对折，使点B落在正方形纸片的内部且对应点为B′．
①若∠B′EC是∠AEB和∠AEB′的“减余角”，求∠AEB的度数．
②再将此正方形纸片沿着B′E所在直线对折，使点C落在正方形纸片的内部且对应点为C′，如图2所示．是否存在∠AEB，∠AEC′，∠B′EC中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出∠AEB的度数；若不存在，请说明理由．
23．（9分）综合与探究
问题情境
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当∠A＝60°时，∠CBD＝∠A．请说明理由．
（2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表示∠CBD为　 　．
操作探究
（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
（4）点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠ABC+∠A的结果．
参考答案
一．选择题
1．解：A．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．
B．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D．AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
故选：D．
2．解：平面内有五条直线两两相交，最多交点个数为a＝＝10，最少交点个数为b＝1，
∴a+b＝10+1＝11．
故选：C．
3．解：∵射线OP平分∠AOD，射线OD平分∠BOP，
∴∠AOP＝∠POD＝∠BOD，
∵∠AOP+∠POD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝60°．
∴∠AOC＝∠BOD＝60°．
∵∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠BOC＝120°．
故选：B．
4．解：用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成同位角．
故选：A．
5．解：A．∠1＝∠4，不能判定AB∥CD，故该选项不正确，不符合题意；
B．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，故该选项正确，符合题意；
C．∵∠5＝∠ADC，∴AD∥BC，故该选项不正确，不符合题意；
D．∠2＝∠4，∴AD∥BC，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
6．解：如下图所示：
依题意得：∠2＝45°，∠3＝60°，
∴∠2+∠3＝105°，
∵∠4+∠2+∠3＝180°，
∴∠4＝75°，
根据直尺的对边平行得∠1＝∠4＝75°，
∴∠1的余角为：90°﹣∠1＝90°﹣75°＝15°．
故选：A．
7．解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝53°，
∴∠2＝53°．
故选：D．
8．解：由反射定律得到：∠OBC＝∠ABM＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝70°．
故选：B．
9．解：如图所示：过点C作CF∥AB．
∵AB∥DE，
∴DE∥CF；
∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°；
∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝110°．
故选：B．
10．解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC，
∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°，
∴2（∠1+∠3）＝180°，即∠1+∠3＝90°，故A不符合题意；
∴∠2＝90°，故B不符合题意，C符合题意；
∵∠1+∠AEC＝180°，故D不符合题意．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵直线AB，CD被AE所截，
∴∠A的同旁内角是∠AOC．
故答案为：∠AOC．
12．解：沿线段PC路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
13．解：由量角器的读数可知，所测量角的度数为30°，
原理：对顶角相等，
故答案为：30°，对顶角相等．
14．解：∠1与∠2互余，且∠1＝35°，
则∠2＝90°﹣35°＝55°，
∠2的补角的度数为180°﹣55°＝125°．
故填125．
15．解：∵∠1＝40°，
∴∠3＝90°﹣40°＝50°，
∵直线l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝50°．
故答案为：50°．
16．解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，
∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，
分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∠ACD＝120°﹣（3t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（3t）°＝110°﹣t°，
解得t＝5；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF＝360°﹣（3t）°﹣60°＝300°﹣（3t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（3t）°＝110°﹣t°，
解得t＝95；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∠DCF＝（3t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（3t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（3t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝95，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行．
故答案为：5秒或95秒．
三．解答题
17．解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠BOE＝2×36°＝72°，
∴∠AOC＝∠BOD＝72°．
18．解：∵∠1＝∠AGH，∠1＝∠2＝70°，
∴∠2＝∠AGH，
∴AB∥CD．
19．解：∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1＝70°，∠D＝110°（已知），
∴∠1+∠D＝180°（等式的性质）．
∴∠C+∠D＝180° （等量代换），
∴AC∥BD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等），
∴∠B＝70°，
故答案为：∠C；两直线平行，内错角相等；等量代换；AC；BD；同旁内角互补，两直线平行；∠1；两直线平行，同位角相等．
20．解：（1）设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，
依题意列方程90°﹣2x＝x﹣30°，
解得：x＝40°，
即∠AOC＝40°×2＝80°．
（2）由（1）得，∠AOC＝80°，
①当射线OD在∠AOC内部时，∠AOD＝16°，
则∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝80°﹣16°＝64°；
②当射线OD在∠AOC外部时，∠AOD＝16°，
则∠COD＝∠AOC+∠AOD＝80°+16°＝96°．
21．（1）解：∵∠1＝∠C（已知），
∴BE∥CF（同位角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠2＝55°（两直线平行，同位角相等）；
（2）证明：∵BE⊥DF（已知），
∴∠DPE＝90°（垂直定义），
∵BE∥CF（已证），
∴∠CFD＝∠DPE＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴∠2+∠BFD＝180﹣∠CFD＝90°（平角定义），
∵∠2+∠D＝90°（已知），
∴∠BFD＝∠D（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
22．解：（1）∵∠3是∠1和∠2的“减余角”，
∴∠1+∠2﹣∠3＝90°，
∴∠3＝13°，
故答案为：13°．
（2）∵∠B′EC是∠AEB和∠AEB′的“减余角”，
∴∠AEB+∠AEB′﹣∠B′EC＝90°，
∵∠AEB+∠AEB′+∠B′EC＝180°，
∴（∠AEB+∠AEB′﹣∠B′EC）+（∠AEB+∠AEB′+∠B′EC）＝90°+180°，
∴∠AEB+∠AEB′＝135°，
由对折得∠AEB＝∠AEB′，
∴∠AEB＝67.5°．
（3）存在∠AEB，∠AEC′，∠B′EC中的一个角是其它两个角的“减余角”．
理由如下：
由对折设∠B'EC'＝∠B'EC＝α，
∠AEB'＝β，
∴∠AEB＝α+β．
当∠AEB+∠AEC′﹣∠B′EC＝90°时，
α+β+β﹣α＝90°，
∴β＝45°，
由平角∠AEB+∠AEC'+∠B'EC'+∠B'EC＝180°，
∴α+β+β+2α＝180°，
∴α＝30°，
∴∠AEB＝α+β＝75°．
当∠AEB+∠B′EC﹣∠AEC′＝90°时，
α+β+α﹣β＝90°，
∴α＝45°，
由平角∠AEB+∠AEC'+∠B'EC'+∠B'EC＝180°，
∴β＝22.5°，
∴∠AEB＝67.5°．
综上所述，∠AEB＝75°或67.5°．
23．解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN＝60°，
∴∠CBD＝∠A．
（2）∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A，
∴∠CBD＝．
（3）∠APB＝2∠ADB 理由如下：
∵BD分别平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠NBD，
∵AM∥BN，
∴∠PBN＝∠APB，∠NBD＝∠ADB，
∴∠APB＝2∠ADB．
（4）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴2∠ABC＝∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴2∠ABC+∠A＝（∠A+∠ABN）＝×180°＝90°．