2023-2024学年江苏省南京市临江高级中学高二（下）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市临江高级中学高二（下）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导数为，则( )
A. B. C. D.
3.根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第项的点数( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，若，则( )
A. B. C. D.
5.经过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点非顶点，为右焦点，则的周长为( )
A. B. C. D.
6.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
7.已知抛物线的方程为，过其焦点的直线交抛物线于，两点，若，( )
A. B. C. D.
8.双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于，两点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若点在圆：的外部，则实数的取值范围是
B. 圆与圆仅有一条公切线
C. 圆上有个点到直线的距离都等于
D. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为
10.已知函数，则( )
A. 的极值点为 B. 的极大值为
C. 的最大值为 D. 只有个零点
11.已知数列满足，则下列说法正确的有( )
A. 数列的前项和为 B. 数列为等比数列
C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点作圆的切线，则切线方程为______．
13.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为______．
14.等差数列的前项和为，，，则数列的前项的和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数在处取得极小值．
求实数，的值；
当时，求函数的最小值．
17.本小题分
已知椭圆：的长轴长为，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．
求椭圆的标准方程；
倾斜角为的直线过椭圆的左焦点并交椭圆于，两点为坐标原点，求的面积．
18.本小题分
已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，成等差数列．
求的通项公式；
若，求的值．
19.本小题分
已知函数在处的切线和直线垂直．
求实数的值；
设，已知在单调递增，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：抛物线，可知抛物线的开口向下，，
所以抛物线的准线方程是：．
故选：．
利用抛物线方程直接求解准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
其导数，
则．
故选：．
根据题意，求出函数的导数，进而计算可得答案．
本题考查函数的导数计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，，，，，
所以，，，
根据规律，，
所以．
故选：．
根据所给数据，找出规律即可得解．
本题主要考查了归纳推理，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以负值舍去，
所以．
故选：．
根据等比数列性质直接求解即可．
本题考查等比数列性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由椭圆，可化为，可得，
由椭圆的定义可得：，
的周长．
故选：．
由椭圆的定义可得：即可得到三角形的周长．
本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：圆，
圆的圆心，半径，
圆与圆关于直线对称，
圆的圆心，半径，
圆的方程为．
故选：．
由圆的标准方程和对称知识，能求出圆的圆心坐标和半径，由此能求出圆的方程．
本题考查圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，注意对称知识的合理运用．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得．
【解答】
解：如下图所示：
易知，不妨设，；
设直线的方程为，与联立消去得，
，
由韦达定理可知，；
由可得；联立解得，即；
根据焦点弦公式可得；
代入计算可得．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：如图，设双曲线的方程为，则，
设切线与圆相切于点，
过点作，垂足为，则，
，，
又，，
为等腰直角三角形，
，，
，．
在中，由余弦定理可得：
，
，
，，
离心率．
故选：．
设双曲线的方程为，设切点为，过点作，垂足为，可推出进而在中，可求得，，根据双曲线的定义可得，在中，根据余弦定理可得，即可得出离心率．
本题考查双曲线的几何性质，余弦定理的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，依题意，，解得，故A正确；
对于，圆与圆的圆心距为，
故两圆内切，仅有一条公切线，故B正确；
对于，圆心到直线的距离，
而圆的半径为，
圆上只有个点到直线的距离为，故C错误；
对于，由题意知圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则圆心距，可知两圆相交，
所以公共弦所在直线的方程为，即，故D正确．
故选：．
利用点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系求解即可．
本题考查点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：函数，，
由，得，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
是函数的极大值点，函数在上取得极大值，，
且为函数的最大值，故A错误，BC正确；
又因为，且当时，，
当时，，故D正确．
故选：．
利用导函数可得，进而可求函数的极值，可判断，利用对数函数的性质可判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，最值与极值，函数的零点，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：，
可得，
时，，
即有，对也成立，
则，，
数列的前项和为，故A错误；
数列，即数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；
，数列的前项和为
，故C错误；
数列，即数列的前项和为，故D正确．
故选：．
由已知数列的递推式求得，由等差数列的求和公式可判断，由等比数列的定义可判断；由数列的并项求和可判断．
本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】或
【解析】解：根据题意，圆的圆心为，半径．
当直线的斜率不存在时，直线方程为，该直线到圆心的距离，满足题意；
当直线斜率存在时，设切线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，可得直线方程为，即．
综上所述，所求切线的方程为或．
故答案为：或．
根据直线的斜率是否存在，分两种情况讨论，利用点到直线的距离公式加以计算，可得所求切线的方程．
本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意可得，故可得，则，
则右焦点坐标为，一条渐近线为，
右焦点到一条渐近线的距离．
故答案为：．
根据已知条件求得，再求焦点到渐近线距离即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，解得：，
，公差，，
，
，
，
故答案为：．
先由题设求得等差数列的首项与公差，然后求得，再利用裂项相消法求得其前项的和即可．
本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题．
15.【答案】解：设等比数列的公比为，
由，可得，，
设等差数列的公差为，
由，所以，
所以，
所以，．
，
所以数列的前项和为：
．
【解析】由等比数列和等差数列的通项公式，解方程可得所求；
由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：由，得，
因为在处取极小值，所以，解得，
此时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取极小值，符合题意，
所以，．
又，所以，
所以，．
，所以，
和随着的变化情况如下表所示．
极大值 极小值
所以时，．
【解析】对求导，根据函数在处取得极小值，列方程求出，的值即可；
对求导，判断在上的单调性，再求出的最小值即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数求函数在给定区间上的最值，属基础题．
17.【答案】解：由题意得，，
解得，，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
由题意知，直线的斜率为，左焦点为，
所以直线的方程为，
设，，
联立，得，
所以，，
所以，
而到直线的距离为，
故的面积．
【解析】根据椭圆的几何性质，即可得解；
联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合弦长公式、点到直线的距离公式，求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握弦长公式，点到直线的距离公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，，成等差数列，所以．
令，得，因为，所以．
当时，有，
所以，整理得，
因为均为正数，所以，即是公差为的等差数列，
所以，满足，
所以的通项公式为；．
由知，，
由，得，
解得．
【解析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力，是中档题．
利用，，成等差数列，得到当时，有，作差，推出是公差为的等差数列，然后求解通项公式．
利用等差数列的前项和与，化简求解即可．
19.【答案】解：由函数，可得，可得，
因为函数在处的切线和直线垂直，所以，
即，解得；
因为在单调递增，
从而有，即在上恒成立，
设，则，
因为，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，故在上最小值，
所以实数的取值范围是．
【解析】根据题意，求出函数的导数，因为切线和直线垂直，由导数几何意义可得，解出的值，即可得到答案．
将问题转化为在上恒成立，设，则，根据单调性求出最小值，即为的取值范围．
本题考查利用导数的几何意义求参数的取值，考查导数的综合应用，考查运算求解能力，是中档题．
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