2023-2024学年福建省福州市城门中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州市城门中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则：( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数中，是奇函数且在上单调递增的为( )
A. B. C. D.
4.在下列图像中，能表示函数图像的是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知幂函数的图象过点，则( )
A. B. C. D.
7.“”是“”成立的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8.下列函数为奇函数，且在上单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有( )
A. B. C. D.
10.已知曲线表示椭圆，则下列说法正确的是( )
A. 的取值范围为
B. 若该椭圆的焦点在轴上，则
C. 若，则该椭圆的焦距为
D. 若椭圆的离心率为，则
11.已知抛物线：的焦点为，定点和动点，都在抛物线上，且其中为坐标原点的面积为，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线的标准方程为
B. 设点是线段的中点，则点的轨迹方程为
C. 若点在第一象限，则直线的倾斜角为
D. 若弦的中点的横坐标为，则弦长的最大值为
12.在正方体中，，，，，分别为，，，，的中点，则( )
A. 直线与直线垂直
B. 点与点到平面的距离相等
C. 直线与平面平行
D. 与的夹角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则不等式______．
14.已知函数是偶函数，当时，，则当， ______．
15.已知集合，且，则 ______．
16.某收购站分两个等级收购棉花，一级棉花元，二级棉花元，现有一级棉花，二级棉花，若以两种价格平均数收购，对棉农公平吗？其理由可用不等式表示为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解下列关于的不等式：
；
．
18.本小题分
求函数的定义域．
19.本小题分
已知函数．
点在的图象上吗？
当时，求的值；
当时，求的值．
20.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求平面与平面所成的角的余弦值．
21.本小题分
已知抛物线：经过点
求抛物线的方程；
若直线：与抛物线相交于，两点，且，证明：直线过定点．
22.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若对任意的实数，恒成立，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
或，
如图所示阴影部分所表示的集合为：
．
故选：．
推导出或，如图所示阴影部分所表示的集合为：，由此能求出结果．
本题考查交集、补集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题：，，
则：，．
故选：．
利用特称命题的否定为全称命题求解即可．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对：是偶函数；故A错误；
对：是奇函数，且在上单调递增；故B正确；
对：在上单调递减；故C错误；
对：在上单调递减；故D错误；
故选：．
分析判断函数的奇偶性和单调性即可．
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由函数的定义可知，一个函数的图象与一条平行于轴的直线最多一个交点，
所以本题只有选项满足，
故选：．
利用函数的定义解答本题．
本题考查了函数的定义．
5.【答案】
【解析】解：因为，
则．
故选：．
由已知函数解析式可得，代入即可求解．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设幂函数，
则，即，可得幂函数的解析式为，
则．
故选：．
设幂函数，代入已知点的坐标求得，可得幂函数的解析式，则可求．
本题考查幂函数的定义，是基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
将不等式等价转化：，由此能求出结果．
【解答】
解：，
“”是“”成立的充要条件．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：是增函数，所以不正确；不是奇函数，所以不正确；
不是奇函数，所以不正确；为奇函数，且在上单调递减的函数，所以D正确；
故选：．
利用函数的奇偶性以及函数的单调性判断选项的正误即可．
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
令，可得，解得或，
所以的单调递增区间是，，
所以在与上单调递增．
故选：．
求解，再对比选项即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，错；
椭圆的焦点在轴上，则，对；
若，则，
故，该椭圆的焦距为，对；
若椭圆的离心率为，则或，
可得或，错．
故选：．
由方程表示椭圆可得判断，再根据其它各项描述及椭圆的性质判断正误即可．
本题考查椭圆的标准方程，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由抛物线方程可得，
其中为坐标原点的面积为，
，解得，故抛物线的标准方程为，故A错误；
对于，抛物线的焦点为，
，，则，，
代入，得，整理得，
点的轨迹方程为，故B正确；
对于，由于，，，三点共线．
设直线的倾斜角为，
，，
解得，
同理可得．
依题意，即，解得，
为锐角，，故C正确；
对于，设直线的方程为，
联立方程组，消去并化简得，
，
设，，则，
，则，
，
当时，，，
满足，故D正确．

故选：．
根据的面积求得，从而求得抛物线的标准方程，利用相关点代入法、焦半径、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想及数形结合思想，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：在正方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
，，，，分别为，，，，的中点，
则，，，，，，，，
对于，，，则，A正确；
对于，，即，而，则，
而平面，平面，因此平面，所以点与点到平面的距离相等，B正确；
对于，，即，而，则，
又平面，平面，因此平面，C正确；
对于，，令与的夹角为，
则，显然，不正确．
故选：．
根据给定的正方体，建立空间直角坐标系，再借助空间向量逐项分析求解作答．
本题主要考查点、线、面间的距离计算，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数函数值的计算，关键是分析分段函数解析式的形式，属于基础题．
根据题意，由函数的解析式可得，进而计算的值可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数，
则，
则；
故；
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：设，则，依题意，，
为偶函数，
．
故答案为：．
设，则，可得，再根据偶函数的性质得解．
本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，属于基础题．
15.【答案】或
【解析】解：由于，所以，解得或．
当时，，
当时，．
所以的值为或．
故答案为：或．
由求得，进行检验后确定的值．
本题考查元素与集合关系的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：若分类收购，则总钱数为元，
若以两种价格平均数收购，则总钱数为，
因为
，
因为，，
所以，
所以，
所以不合理．
故答案为：．
分别表示出两种方式收购的总钱数，结合比较法进行判断即可．
本题主要考查了不等式及不等关系的应用，属于中档题．
17.【答案】解：不等式，即，解得或，
所以不等式解集为．
不等式，即，得，
等价于，解得或，
所以不等式解集为．
【解析】结合二次函数的图像和性质，解一元二次不等式；
分式不等式移项通分后，转化为整式不等式求解．
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
18.【答案】解：，
则，解得且且，
故函数的定义域为．
【解析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
19.【答案】解：，
故点不在的图象上．
由题意得，．
由可得，解得．
【解析】计算的值，可得出结论；
直接计算的值即可；
解方程可得出的值．
本题考查了函数值的求法、函数值与自变量的关系，属于基础题．
20.【答案】解：Ⅰ证明：连接交于点，，
，
，
又底面，平面，
，
又，平面，平面，
平面，
又平面，
；
Ⅱ依题意，，，，
在中，由余弦定理可得，，
，
，
设平面与平面所成的锐二面角为，则，
故平面与平面所成的角的余弦值为．
【解析】Ⅰ先利用向量法证明，再结合，可证得平面，由此得证；
Ⅱ求出及的面积，利用射影法即可得解．
本题考查线面垂直的判定定理及性质定理，考查利用射影法求二面角，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：抛物线：经过点，
，解得，
抛物线的方程为；
证明：直线的方程为，交点，
联立，消去得，，
．
，．
又，．
，整理得，
或．
，，
则直线方程为，直线过定点．
【解析】把已知的的坐标代入抛物线方程，求得值，则抛物线方程可求；
联立直线方程与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，由根与系数的关系结合数量积可得与的关系，即可证明直线过定点．
本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：的导数为，
可得曲线在点处的切线的斜率为，
切点为，
则切线的方程为；
若对任意的实数，恒成立，
即为对恒成立．
设，，
由的导数为，可得在递增，
即有，
所以当时，，递增；当时，，递减，
可得在处取得极小值，且为最小值．
所以，即，
则的最大值为．
【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程；
由参数分离和构造函数法，求得导数和单调性、最值，可得所求最大值．
本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
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