河北省保定一中实验班2023-2024学年高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省保定一中实验班高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若且，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆台的体积为，两底面圆的半径分别为和，则圆台的高为( )
A. B. C. D.
4.若是所在平面内的一点，且满足，则的形状是( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
5.设、是不同的直线，、是不同的平面，以下是真命题的为( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，，是球表面上的不同点，平面，，，，若球的表面积为，则( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，所对的边分别为，，，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知与是共轭复数，以下四个命题一定正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若向量与向量共线，则
C. 与共线的单位的量的坐标为
D. 在方向上的投影向量为
11.已知函数，则( )
A. 点是图象的一个对称中心 B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递增 D.
12.已知圆锥顶点为，高为，底面圆的直径长为若为底面圆周上不同于，的任意一点，则下列说法中正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 面积的最大值为
C. 圆锥的外接球的表面积为
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，平行四边形是四边形的直观图．若，，则原四边形的周长为______．
14.在中，若，则角 ______．
15.若复数满足是实数，则的最小值等于______
16.如图，点是棱长为的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，．
若向量与互相垂直，求的值；
设，求的最小值．
18.本小题分
将如图一的矩形沿翻折后构成一四棱锥如图二，若在四棱锥中有．
求证：；
求四棱锥的体积．
19.本小题分
已知，．
若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求函数的解析式；
若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值．
20.本小题分
在中，已知，，在线段上，且，，设，．
用向量，表示；
若，求．
21.本小题分
如图，在四棱柱中，底面是边长为的正方形，，．
求三棱锥的体积；
若是侧棱的中点，求二面角的余弦值．
22.本小题分
如图，平面四边形中，，，，的内角，，的对边分别是，，，且满足．
判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由，
求内切圆半径的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：易知，
其对应的点坐标为，位于第四象限．
故选：．
由复数的乘法运算法则可得其对应的点坐标为位于第四象限．
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，若，
则，解可得．
故选：．
根据题意，由数量积的计算公式可得，解可得答案．
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设圆台的高为，且上下两底面面积分别为，
根据圆台体积公式可得，
解得．
故选：．
根据两底面圆半径分别求出其面积，代入圆台体积公式即可求得高．
本题主要考查了圆台的体积公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题给出向量等式，判断三角形的形状，着重考查了平面向量的加法法则、减法法则和三角形的形状判断等知识，属于中档题．
由向量的减法法则，将题中等式化简得，进而得到，由此可得以、为邻边的平行四边形为矩形，得到是直角三角形．
【解答】
解：，，
，即
，，
由此可得以、为邻边的平行四边形为矩形，
，得的形状是直角三角形．
故选：
5.【答案】
【解析】解：对于，如上图正方体中，设平面为，
平面为，为，
满足，，此时，故A错误；
对于，因为，，、是不同的平面，则必有，故B正确；
对于，如上图正方体中，设平面为，
平面为，为，
满足，，此时，故C错误；
对于，如上图正方体中，设平面为，
为，为，
则满足，，此时，故D错误．
故选：．
根据空间中点线面的位置关系，借助于正方体，逐项分析即可．
本题考查空间中点线面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据图象可知，
由，可得，
又，可得；
由可知，可得；
将函数图象上所有的点向左平移个单位长度可得．
故选：．
由的部分图象可求得其解析式为，再根据平移规则可求得．
本题考查三角函数性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：平面，，
四面体的外接球半径等于以长宽高分别，，三边长的长方体的外接球的半径
球的表面积为，
，，
，
故选：．
由已知中、、、是球表面上的点，平面，，易、、、四点均为长宽高分别，，三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，利用球的表面积公式即可得到答案．
本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球的直径半径，是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：在中，，
因为，
所以，
则，
所以，
又，均为锐角，
故，，
由余弦定理得，
所以
，
又，当且仅当时等号成立，
所以的最大值是．
故选：．
根据三角形的内角和结合诱导公式、两角和的余弦公式、商数关系式可得，再根据余弦定理与角度转化可得，由基本不等式即可得最大值．
本题考查了三角形的内角和定理，诱导公式，两角和的余弦公式，余弦定理以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设为实数，则，
：，，A错误；
，B正确；
，C正确；
，D错误．
故选：．
结合共轭复数的概念及复数的四则运算分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，若向量与向量共线，则存在实数使得，
所以，解得，故B正确；
对于，与共线的单位向量为，即或，故C错误；
对于，在方向上的投影向量，故D正确．
故选：．
选项A，利用夹角公式即可直接求解；选项B，利用向量的共线定理即可直接求解；选项C，利用向量的共线单位向量公式即可直接求解；选项D，利用投影向量的公式即可直接求解．
本题考查平面向量共线，投影向量的坐标运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于函数，令，求得，可得点是图象的一个对称中心，故A正确．
令，求得，为最大值，可得直线是图象的一条对称轴，故B正确．
在上，，函数不单调，故C错误．
由于，故D错误．
故选：．
由题意，根据正弦函数的图象的对称性以及正弦函数的单调性，得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对：由题意可知：，，，
圆锥的侧面积为，A错误；
对：面积，
在中，，故为钝角，
由题意可得：，
故当时，面积的最大值为，B正确；
对，由选项B可得：，为钝角，可得，
由题意可得：圆锥的外接球过球心的截面圆即为的外接圆，设其半径为，
则，即，故圆锥的外接球的表面积为，C正确：
对：将平面与平面展开为一个平面，如图所示，
当，，三点共线时，取到最小值，
此时，，在，，则为锐角，
则，
在中，，
由余弦定理可得，
则，故的最小值为，D正确．
故选：．
对：根据圆锥的侧面积公式计算即可；对：可得为直角三角形为最大面积；对：圆锥的外接球过球心的截面圆即为的外接圆，利用正弦定理求三角形的外接圆半径，即可得；对：将平面与平面展开为一个平面，当，，三点共线时，取到最小值，结合余弦定理运算．
本题考查几何体的外接球问题，线段和最小问题，几何体的侧面积计算，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，平行四边形是四边形的直观图．若，，
则原四边形为矩形，如图：其中，，
故原四边形的周长；
故答案为：．
根据题意，将直观图还原，分析原图的形状以及边长，进而计算可得答案．
本题考查斜二测画法的应用，注意由直观图还原原图，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：由余弦定理得：，即，
代入已知等式得：，即，
为三角形内角，
或，
故答案为：或
已知等式变形后，利用余弦定理化简，再利用同角三角函数间基本关系求出的值，即可确定出度数．
此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设，，
因为，
由题意可知，得或，
当时，的轨迹是轴除原点外，此时的几何意义表示复数表示的点和的距离，此时，
当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图：
根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，
如图可知，的最小值是点与的距离
故答案为：
首先设复数，不同时为，根据条件化简求得，的关系式，再根据复数模的几何意义求最值．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：若直线与平面所成的角为，
则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，
在平面内，点的轨迹为对角线除掉点，不影响；
在平面内，点的轨迹为对角线除掉点，不影响；
在平面内是以点为圆心为半径的圆弧，如图，
故点的轨迹长度为．
故答案为：．
先利用直线与平面所成的角为，求得点的轨迹，进而求得点的轨迹长度．
本题考查线面角、点的轨迹、圆、正方体结构特征等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
17.【答案】解：因为向量，，
则，，
由向量与垂直，得，
所以．
由，，得，
所以，
所以当时，取到最小值 ．
【解析】利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求解作答．
利用向量线性运算的坐标表示，结合模的坐标表示建立函数关系，求出函数最小值作答．
本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础题．
18.【答案】证明：在中，，，，
，，
又，平面，
．
解：取的中点，连接，
如图二，在中，，，
，，
由可知平面，
，平面，，
在中，，，，
平面，
．
【解析】推导出，，从而平面，由此能证明．
取的中点，连接，推导出，从而，进而平面，平面，由此能求出四棱锥的体积．
本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19.【答案】解：因为，
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则，
所以，解得，
故函数．
由，函数的图象关于对称，
所以，所以，，
由，则，
又函数在上单调，所以，解得，
所以当时，．
【解析】利用三角恒等变换将函数化简，依题意，即可求出，从而得到函数解析式．
由对称性得到，，再由函数在区间上的单调性求出的范围，即可得解．
本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：由题意得，．
，
所以．
【解析】根据平面向量的线性运算法则，平面向量基本定理，即可得解；
根据平面向量的线性运算法则，可得，再结合中结论，推出，代入数据运算，即可．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的线性运算，数量积运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
21.【答案】解：在正方形中，，又，且为公共边，
所以，
所以，即．
因为，，平面，所以平面．
所以四棱柱是正四棱柱．
所以．
是侧棱的中点，由知，在直角中，，
在直角中，，
在正方形中，，
所以为正三角形．
取的中点，连接，，所以，且，
又在等腰直角中，，且，
所以为二面角的平面角，
在中，，
在直角中，，
即二面角的余弦值为．
【解析】可证得平面，所以四棱柱是正四棱柱，利用棱锥的体积公式求解可得答案；
取的中点，所以，又，所以为二面角的平面角，在直角中求解即可．
本题考查了锥体体积的计算以及二面角的求解问题，属于中档题．
22.【答案】解：在中，，
则，
由，得，
于是，
而，
因此，
在中，，解得，
在中，由正弦定理，得，整理得，
由余弦定理，得，
又，
因此，有，
于是，，，四点共圆，且四边形外接圆的半径就等于外接圆的半径，
所以四边形有外接圆，圆半径．
由知：，
则，即有，
因为，
可得，
又，由，
故不是正三角形，
又，则，
于是，
又，
解得，，
则，
所以内切圆半径的取值范围是．
【解析】利用数量积的定义及三角形面积公式求出角，再由正余弦定理求出角，结合圆内接四边形的判定作答．
利用三角形面积建立三角形内切圆半径的函数，再求出函数值域作答．
本题考查了平面向量数量积的定义，三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
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