安徽省六安市舒城中学2023-2024学年高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省六安市舒城中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，，那么至少有人解对的概率是( )
A. B.
C. D.
2.在三角形中，，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则使成立的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如图，下列正方体中，为下底面的中心，，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线的是( )
A. B.
C. D.
5.若直线为曲线的一条切线，则实数的值是( )
A. B. C. D.
6.在中，为的角平分线，在线段上，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知半径为的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知中，边上的高为，为上一动点，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率可能的值为( )
A. B. C. D.
10.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 是数列中的最大项 D.
11.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为该正方体的上底面上的动点，则( )
A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 存在唯一的点满足
C. 满足的点的轨迹长度为
D. 存在点满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若抛物线上一点到焦点的距离为，则 ______．
13.在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆，
上，则____________．
14.设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知半径为的圆与直线：相切，圆心在轴的负半轴上．
求圆的方程；
若直线：与圆相交于，两点，且的面积为，求直线的方程．
16.本小题分
已知数列是首项为的正项数列，且，若数列满足且．
求数列、的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，其中，，且．
求与的值；
若斜率为的直线与曲线相切，求切点坐标．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，底面侧面，，．
证明：平面；
若三棱锥的体积为，为锐角，
求大小；
(ⅱ)求平面与平面的夹角的余弦值．
19.本小题分
已知点在椭圆：上，椭圆的左、右焦点分别为、，的面积为．
求椭圆的方程；
设点，在椭圆上，直线，均与圆：相切，记直线，的斜点分别为，．
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)证明：直线过定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：没有人解对的概率为，故至少有人解对的概率是，
故选：．
由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得没有人解对的概率，再用减去此概率，即得所求．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：在三角形中，，，，
记，
则，，
，
，
即．
故选：．
根据向量的数量积公式求得结果．
本题考查了平面向量数量积公式，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
函数在上为增函数，在上为减函数，
故在上为增函数，
若，则有，
等价于或，
解可得：，即不等式的解集为．
故选：．
根据题意，分析的单调性，由此可得原不等式等价于，解可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为，点，
对于，与不垂直，不是；
对于，是；
对于，与不垂直，不是；
对于，与不垂直，不是．
故选：．
根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答．
本题考查了线线垂直的判定，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：设切点为，
对求导得，
则，
解得．
故选：．
设切点为，根据题意可建立关于，的方程组，解出即可．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，依题意设，
由，可得
，
即，即，
显然，可得，
在中，由余弦定理可得
，
解得．
故选：．
根据角平分线利用三角形等面积公式可得，再由余弦定理即可求得．
本题考查三角形中的几何计算，考查倍角公式及余弦定理，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：设圆心为，切点为，则，切线长为，
切线长最大，只需最大，当，，三点共线时最大，
，则最大为，
则最大切线长为．
故选：．
根据切线的性质，三点共线问题即可得．
本题考查圆的性质，最值问题，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，，，三点共线，
所以，又，所以，
所以
，
当且仅当时取到最小值．
故选：．
先根据三点共线的条件得出，再利用基本不等式即可得出的最小值．
本题考查平面向量基本定理及基本不等式的应用，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：由点在双曲线的右支上，且，
又有双曲线的定义可得，
解得，，
由，解得，
即，故A、B正确，、D错误．
故选：．
由双曲线的定义和已知条件，解得，再由，结合双曲线的离心率公式，可得所求结论．
本题考查双曲线的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：等比数列的公比为，若，则．
由，可得，则数列各项均为正值，
若，则，，则，故A正确；
所以，故B正确；
根据，可知是数列中的最大项，故C正确；
由等比数列的性质可得，
所以，故D错误．
故选：．
根据等比数列的通项公式及所给条件得到，即可判断、，再根据数列的单调性判断，最后根据下标和性质判断；
本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，如图：
在正方体中，，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得：平面，
又，所以平面平面，
又平面平面，
故满足平面的点的轨迹为线段，
由题意知，，故选项A正确；
选项B，在正方体中，建立如图所示坐标系，
则，，设，其中，，
则，，
由，可得，
即，故，
即，故选项B正确；
选项C，，，
由可得：，即，
故点的轨迹为图中线段，
其中，为线段和上靠近的四等分点，
则，故选项C正确；
选项D，作点关于平面的对称点，则，
当，，三点共线时，最短，
故，
故不存在点满足，故D错误．
故选：．
通过证明面面平行，得出点的轨迹为线段，可判断；建立空间直角坐标系，通过，求得点只有唯一解，可判断；由可得点坐标满足，从而判定点轨迹，可判断；作点关于平面的对称点，当，，三点共线时，最短，求得最短距离，可判断．
本题考查空间点、线、面间的距离计算，考查空间向量解决距离问题，属难题．
12.【答案】
【解析】解：抛物线上一点到焦点的距离为，
则，
则．
故答案为：．
结合抛物线的性质求解．
本题考查了抛物线的性质，属基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用．考查了学生对椭圆的定义的灵活运用．
先利用椭圆的定义求得，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．
【解答】
解：利用椭圆定义得三角形的三边存在，，
由正弦定理得．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：，
化为，
由，则，
，
，
数列的前项和，
．
故答案为：．
，化为，由，可得，进而得出，利用裂项求和方法即可得出结论．
本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：由已知可设圆心，
则，解得或舍，
所以圆的方程为；
设圆心到直线的距离为，
则，，
即，解得，
又，解得，
所以直线的方程为或．
【解析】根据直线与圆相切，根据点到直线距离公式求出半径，再应用圆的标准方程即可求解；
根据几何法求弦长，再结合面积公式计算即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
16.【答案】解：根据题意，数列满足，变形可得，
又由数列是首项为的正项数列，则有，变形可得：，
则有，
则有，故，
数列满足，即，则有，
则有，故，
由可得，
设，
则，
则有，
可得：，
变形可得：；
【解析】根据题意，对于数列，将其递推公式变形可得，即，由累乘法可得，对于数列，将其递推公式变形可得，即有，由累加法可得；
由可得，设，由错位相减法计算可得答案．
本题考查由数列递推公式求通项公式，涉及数列的求和，属于中档题．
17.【答案】解：如图，过点向轴引垂线交于点，
由正弦曲线的性质知，
由射影定理知，
而，所以，即，
故，由且，可得，
当时，由，可得，
由，可得，
故，；
由知：，设切点为，
由，可得，
即，则，
或，
又，，
故其切点坐标为或．
【解析】在直角三角形中，由射影定理得长，从而求出，再由求解即可；
设切点坐标，利用导数的几何意义表示切线斜率，求解切点坐标．
本题考查根据部分图象求三角函数解析式，考查导数的几何意义，属中档题．
18.【答案】证明：平面平面，平面平面，
平面，又平面，
，，
，四边形为菱形，
，，，平面，
平面；
解：平面，
，
，又，则，
又，
，为锐角，
；
(ⅱ)以为原点，，及平面过点的垂线所在的直线分别为，，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，
平面，
即为平面的法向量，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
设平面与平面的夹角为，
，
平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证；
由等体积法结合已知条件即可求解；
(ⅱ)建系利用向量法即可求解．
本题考查了空间几何体中线面位置关系的证明和空间角的求解，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，
又的面积为，则，
可得，解得，，
所以椭圆的方程为，；
证明：(ⅰ)设直线的方程为，
直线的方程为，
由题意可知，整理可得，
同理可得，
所以，是方程的两根，
所以；
(ⅱ)设，，直线的方程为，
联立，得，
所以，，
，，
，
，或，
当时，直线的方程为，
即此时直线过点，舍去，
当时，直线的方程为，
即，此时直线过点，
直线过定点．
【解析】利用，结合三角形的面积公式，求出，，即可求椭圆的方程；
设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得，是方程的两根，利用韦达定理即可证明；
(ⅱ)设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点．
本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中档题．
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