2.1.1 函数的概念和图象（1）
教学目标：
1．通过现实生活中丰富的实例，让学生了解函数概念产生的背景，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数的概念，掌握函数是特殊的数集之间的对应；
2．了解构成函数的要素，理解函数的定义域、值域的定义，会求一些简单函数的定义域和值域；
3．通过教学，逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．
教学重点：
两集合间用对应来描述函数的概念；求基本函数的定义域和值域．
教学过程：
一、问题情境
1．情境．
正方形的边长为a，则正方形的周长为 ，面积为 ．
2．问题．
在初中，我们曾认识利用函数来描述两个变量之间的关系，如何定义函数？常见的函数模型有哪些？
如图，A(－2，0)，B(2，0)，点C在直线y＝2上移动．则△ABC的面积S与点C的横坐标x之间的变化关系如何表达？面积S是C的横坐标x的函数么？
二、学生活动
1．复述初中所学函数的概念；
2．阅读课本23页的问题（1）、（2）、（3），并分别说出对其理解；
3．举出生活中的实例，进一步说明函数的对应本质．
三、数学建构
1．用集合的语言分别阐述23页的问题（1）、（2）、（3）；
问题1 某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示，试根据函数图象回答下列问题：
（1）这一变化过程中，有哪几个变量？
（2）这几个变量的范围分别是多少？
问题2 略．
问题3 略（详见23页）．
2．函数：一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A．其中，所有输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．
（1）函数作为一种数学模型，主要用于刻画两个变量之间的关系；
（2）函数的本质是一种对应；
（3）对应法则f可以是一个数学表达式，也可是一个图形或是一个表格
（4）对应是建立在A、B两个非空的数集之间．可以是有限集，当然也就可以是单元集，如f(x)＝2x，(x＝0)．
3．函数y＝f(x)的定义域：
（1）每一个函数都有它的定义域，定义域是函数的生命线；
（2）给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的集合，如果没
有指明定义域，那么就认为定义域为一切实数．
四、数学运用
例1．判断下列对应是否为集合A 到 B的函数：
（1）A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8，10}，f：x→2x；
（2）A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，f：x→2x；
（3）A＝{1，2，3，4，5}，B＝N，f：x→2x．
练习：判断下列对应是否为函数：
（1）x→，x≠0，x∈R；
（2）x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R.
例2 求下列函数的定义域：
（1）f(x)＝；（2）g(x)＝＋.
例3 下列各组函数中，是否表示同一函数？为什么？
A．y＝x与y＝()2； B．y＝与y＝；
C．y＝2x－1(x∈R)与y＝2t－1(t∈R)； D．y＝·与y＝
练习：课本26页练习1～4，6．
五、回顾小结
1．生活中两个相关变量的刻画→函数→对应(A→B)
2．函数的对应本质；
3．函数的对应法则和定义域．
六、作业：
课堂作业：课本31页习题2.1（1）第1，2两题．
课件16张PPT。高中数学 必修12.1.1 函数的概念和图象（1）情境创设正方形的边长为a，则正方形的周长为 ，面积为 ． 初中学过的函数的概念如何表述？ 一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个
值， y都有惟一的值与之对应，我们就说y是x的函数，x是自变量．常用的表示函数关系的方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．常见的函数模型：一次函数、二次函数和反比例函数；一次函数的一般形式为y ＝ kx＋b(k≠0)；二次函数的一般形式y ＝ ax2＋bx＋c(a、b、c 是常数 ，a≠0)．情境问题 1．某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示，试根据函数图象回答下列问题：
(1)这一变化过程中，有哪几个变量？
(2)这几个变量的范围分别是多少？t/h?/℃ O226102420102．估计人口数量变化趋势是我们指定一系列相关政策的依据．下表是我国从1949年至1999年人口数据资料：(1)这个表中，涉及哪几个变量？
(2)这些变量的范围分别是多少？情境问题 3．一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落的时间x(s)之间近似地满足y＝4.9x2．若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？x(s)y(s)y＝4.9x2O(1)这个过程中，涉及哪几个变量？
(2)这些变量的范围分别是多少？情境问题4．如图，A(－2，0)，B(2，0)，点C在直线y＝2上移动．则△ABC的面积S与点C的横坐标x之间的变化关系如何表达？xyy＝2O情境问题ABC(1)这个过程中，涉及哪几个变量？
(2)我们能否说S是x的函数呢？5．用集合表示函数y＝ 的定义域和值域．情境问题(1)从函数的角度看这个问题中的函数，有什么问题吗？
(2)如何改变函数的定义，使之满足函数的要求呢？数学建构1．函数的概念以及记法 一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集
合A中的每个元素x，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的
对应叫从A到B的一个函数．x的值构成的集合A叫函数y＝f(x)的定义域．通常记为：y＝f (x)，x?A，例1. 判断下列对应是否为集合A 到 B的函数：
(1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8，10}，f：x→2x；
(2)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，f：x→2x．
(3)A＝{1，2，3，4，5}，B＝N，f：x→2x． 若是集合A 到 B的函数，则函数的定义域和值域分别是什么？数学应用判断下列对应是否能构成函数？为什么？1． x ? ，其中x≠0，x∈R2．x? y，其中y2＝x，x∈N，y∈R 该问题中函数的定义域和值域分别是什么？ 小结：给定函数时，一般要指明定义域．若没指明，则认为定
义域是指使函数表达式有意义的输入值(即自变量)的集合．数学应用数学应用3．判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数． 例2. 求下列函数的定义域．(1)f(x)＝ ；(2)f(x)＝ ；小结：求函数定义域的法则：
整式型函数的定义域为R；
二次根式的被开方数非负；
分式的分母不为零；
实际问题要有实际意义；
其他要求．数学应用求下列函数的定义域：数学应用例3．下列各组函数中，是否表示同一函数？为什么？ (3)y＝2x－1(x?R)与y＝2t－1(t?R)；数学应用(4)y＝ 与y＝ ．小结ABf一对一(即单值对应)2．要素：两个非空数集A，B，一个对应法则f3．两个关键词：每一个，惟一4．一个方向：从A到B．5．一个记法： y＝ f(x)．1．定义作业P31习题2.1（1）第1，2两题．2.1.1 函数的概念和图象（2）
教学目标：
1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；
2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；
3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．
教学重点：
用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．
教学过程：
一、问题情境
1．情境．
复述函数及函数的定义域的概念．
2．问题．
概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？
二、学生活动
1．理解函数的值域的概念；
2．能利用观察法求简单函数的值域；
3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．
三、数学建构
1．函数的值域：
（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之
为函数的值域；
（2）值域是集合B的子集．
2．x( g(x)( f(x) ( f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；
四、数学运用
（一）例题．
例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．
例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．
（1）x∈{－1，0，1，2，3}；
（2）x∈R；
（3）x∈[－1，3]；
（4）x∈(－1，2]；
（5）x∈(－1，1)．
例3 求下列函数的值域：
①y＝； ②y＝．
例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
4
x
1
2
3
4
f(x)
2
3
4
1
g(x)
2
1
4
3
分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．
（二）练习．
（1）求下列函数的值域：
①y＝2－x2； ②y＝3－|x|．
（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．
（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．
（4）已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．
（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．
五、回顾小结
函数的对应本质，函数的定义域与值域；
利用分解的思想研究复合函数．
六、作业
课本P31-5，8，9．
课件13张PPT。高中数学 必修12.1.1 函数的概念和图象（2）情境问题：函数的概念以及记法： 一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合
A中的每个元素x，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的对应
叫从A到B的一个函数．通常记为：y＝f(x)，x?A， x的值构成的集合A叫
函数y＝f(x)的定义域．概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？ 例1 已知函数f (x) ＝x2 ＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)． 数学应用：思考：是否存在实数x0 ，使f (x0 )＝ －2，为什么？ 函数值域的概念：按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域． 数学建构：注：函数值域是集合B的子集 ． 例2 已知f (x)＝(x－1)2＋1，根据下列条件，分别求函数f (x)的值域．(1)x?{－1，0，1，2，3}．(2)x?R．(3)x?[－1，3]．(4)x?(－1，2]．(5)x?(－1，1)．数学应用：例3 求下列函数的值域. (1)(2)思考：求函数f(x)＝ －2 的值域. 数学应用：求函数值域的常用方法：
(1) 观察法——依托图象．
(2) 代入法——一般适用于定义域为孤立数集．
(3) 依托已知函数的值域．
(4) 其他方法．数学建构：例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出， 数学应用：试分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值． f(g(x))与g(f(x))的涵义以及不同之处.xff(x)gg(f(x))xgg(x)ff(g(x))数学建构：已知函数f(x)＝2x＋1，求f(f(x))．数学应用：变式：已知函数f(x)＝x2－3x＋2，求f(2a＋1)．变式：已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－3x＋2，求g(f(x)和f(g(x)．数学探究： 已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－3x＋2，试分别求出g(f(x)和f(g(x)的值域，比较一下，看有什么发现．小结：定义域对应法则值域函数的通常称之函数的三要素．f(g(x)型的函数通常被称之为复合函数．作业：P31第5，8，9． 2.1.2 函数的表示方法（1）
教学目标：
1．进一步理解函数的概念，了解函数表示的多样性，能熟练掌握函数的三种不同的表示方法；
2．在理解掌握函数的三种表示方法基础上，了解函数不同表示法的优缺点，针对具体问题能合理地选择表示方法；
3．通过教学，培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法．
教学重点：
函数的表示．
教学难点：
针对具体问题合理选择表示方法．
教学过程：
一、问题情境
1． 情境．
下表的对应关系能否表示一个函数：
x
1
3
5
7
y
－1
－3
0
0
2．问题．
如何表示一个函数呢？
二、学生活动
1．阅读课本掌握函数的三种常用表示方法；
2．比较三种表示法之间的优缺点．
3．完成练习
三、数学建构
1．函数的表示方法：
2．三种不同方法的优缺点：
函数的表示方法
优点
缺点
列表法
对应关系清晰直接
不连贯，容量小
解析法
便于用解析式研究函数的性质
抽象，不直观
图象法
直观形象，整体把握
图象过程比较繁
3．三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的，一般都能列出符合条件的表、画出符合条件的图，反之亦然；列表法也能通过图形来表示．
四、数学运用
（一）例题
例1 购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．
跟踪练习：某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．
（1）列表：
单价
10
20
数量
100
0
利润
200
0
（2）图象：
（3）解析式：
将条件变换成：“某公司将进货单价为8元一个
的商品按10元一个销售，每天可卖出110个”
例2 如图，是一个二次函数的图象的一部分，试根据图象
中的有关数据，求出函数f(x)的解析式及其定义域．
（二）练习：
1．1 nmile(海里)约为1854m，根据这一关系，写出米数y关于海里数x的函数解析式．
2．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，并画出函数的图象．
3．已知f(x)是一次函数，且图象经过(1，0)和(－2，3)两点，求f(x)的解析式．
4．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x－4，求f(x)的解析式．
五、回顾小结
1．函数表示的多样性；
2．函数不同表示方法之间的联系性；
3．待定系数法求函数的解析式．
六、作业
课堂作业：课本35页习题1，4，5．
课件14张PPT。高中数学 必修12.1.2 函数的表示方法（1）情境问题：定义域值域A＝{x|y＝ f(x)}C＝{y|y＝ f(x)，x? A}M＝{(x，y)|y＝ f(x)，x?A}函数的图象函数的三要素?函数存在的范围?函数本质属性的直观反映?函数变化的范围下表的对应关系能否表示一个函数呢？1．1 n mile(海里)约为1854m，根据这一关系，写出米数y关于海里数x的函数解析式．2．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，并画出函数的图象．数学应用：数学应用：例1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x?{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．解析法 y＝2x(x?{1，2，3，4})2468 某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．2001190270128032013703501460360155035016403201730270182020019101102000 根据上表确定销售价格，使得利润最大！ 此题能否利用解析式求使利润最大的销售价格？数学应用：对应关系清晰明了直观而形象简单便于研究不连续、容量小对应关系不清晰抽象数学建构：表示法列表法图象法解析法优点缺点已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出： 则f(f(1))＝ ， f(g(2))＝ ；g(f(3))＝ ，g(g(4))＝ ；2442数学应用：例2．如图，是一个二次函数的图象的一部分，试根据图象中的有关数据，求出函数f(x)的解析式及其定义域．数学应用：yxO数学应用：3．已知f(x)是一次函数，且图象经过(1，0)和(－2，3)两点，求f(x)的解析式．4．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x－4，求f(x)的解析式．*5．已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)－x－1＝ f(x)，且f(0)＝0，求f(x)．数学建构：已知函数模型求函数的解析式：待定系数法求解．(1)设出函数的解析式；
(2)建立有关参数的方程或方程组；
(3)解方程(组)得参数的值；
(4)求出函数的解析式．6．设 f(x)＝2x＋3，g(x)＝ f(x＋1)，求g(x)． 7．已知函数f(x＋1)＝x2－2x，求f(x)．数学应用：数学建构：已知f(x＋a)求函数f(x)的解析式：(1)凑配；
(2)换元f(x＋a)? f(t)(t＝x＋a)；
注：用这两种方法求函数解析式时，需要注明自变量x的取值范围.1．函数的表示方法．2．不同表示法的优缺点．小结：3．求函数的解析式y＝f(x) 待定系数法 换元法 凑配法 分类讨论法 P35习题1，4，5题．作业：2.1.2 函数的表示方法（2）
教学目标：
1．进一步理解函数的表示方法的多样性，理解分段函数的表示，能根据实际问题列出符合题意的分段函数；
2．能较为准确地作出分段函数的图象；
3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．
教学重点：
分段函数的图象、定义域和值域．
教学过程：
一、问题情境
1．情境．
复习函数的表示方法；
已知A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，试写出从集合A到集合B的两个函数．
2．问题．
函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？
二、学生活动
1．画出函数f(x)＝|x|的图象；
2．根据实际情况，能准确地写出分段函数的表达式．
三、数学建构
1．分段函数：在定义域内不同的部分上，有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数．
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；
（2）分段函数的定义域是几部分的并；
（3）定义域的不同部分不能有相交部分；
（4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线，也可能是由几条曲线共同组成；
（5）分段函数的图象未必是不连续，不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数，如反比例函数的图象；
（6）分段函数是生活中最常见的函数．
四、数学运用
1．例题．
例1 某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．
例2 如图，梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(6，0)，B(4，2)，C(2，2)．一条与y轴平行的动直线l从O点开始作平行移动，到A点为止．设直线l与x轴的交点为M，OM＝x，记梯形被直线l截得的在l左侧的图形的面积为y．求函数y＝f(x)的解析式、定义域、值域．
例3 将函数f(x)＝ | x＋1|＋| x－2|表示成分段函数的形式，并画出其图象，根据图象指出函数f(x)的值域．
2．练习：
练习1：课本35页第7题，36页第9题．
练习2：
（1）画出函数f(x)＝ 的图象．
（2） 若f(x)＝ 求f(－1)，f(0)，f(2)，f(f(－1))，f(f(0))，f(f())的值．
（3）试比较函数f(x)＝|x＋1|＋|x|与g(x)＝|2x＋1|是否为同一函数．
（4）定义[x]表示不大于x的最大整数，试作出函数f(x)＝[x] (x∈[－1，3))的图象．并将其表示成分段函数．
练习3：如图，点P在边长为2的正方形边上按A→B→C→D→A的方向移动，试将AP表示成移动的距离x的函数．
五、回顾小结
分段函数的表示→分段函数的定义域→分段函数的图象；
含绝对值的函数常与分段函数有关；
利用对称变换构造函数的图象．
六、作业
课堂作业：课本35页习题第3题，36页第10，12题；
课后探究：已知函数f(x)＝2x－1（x∈R），试作出函数f(|x|)，|f(x)|的图象．
课件11张PPT。高中数学 必修12.1.2 函数的表示方法（2）情境问题:列表法解析法图象法函数的表示法如果函数y＝f(x) 在不同的区间上具有不同的对应法则呢?例1．某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．试写出收费额关于路程的函数解析式． 数学应用:实际问题中，分段函数是常见的函数模型．例2．如图，梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(6，0)，B(4，2)，C(2，2)．一条与y轴平行的动直线l从O点开始作平行移动，到A点为止．设直线l与x轴的交点为M，OM＝x，记梯形被直线l截得的在l左侧的图形的面积为y．求函数y＝f(x)的解析式、定义域、值域．xyOABC数学应用：1．如图，点P在边长为2的正方形边上按A→B→C→D→A的方向移动，试将AP表示成移动的距离x的函数． 数学应用：例3．将函数f(x)＝ | x＋1|＋| x－2|表示成分段函数的形式，并画出其图象，根据图象指出函数f(x)的值域． 数学应用：f (x)＝ 2x－1 x≥2 －2x＋1 x＜－1 3－1≤x＜2f (x)11-12．函数f(x)＝| 2x＋1|与g(x)＝| x＋1| ＋| x| 是同一函数吗？ 画出函数f(x)与g(x)的图象．数学应用：列表对比：f(x)＝| 2x＋1|f(x)＝ 2x＋1， x≥－0．5 －2x－1， x＜－0．5g(x)＝ 2x＋1 x≥0 －2x－1 x＜－1 1－1≤x＜0g(x)＝| x＋1| ＋| x|数学应用：1111-1-13．若f(x)＝ 求f(－1)，f(0)，f(2)，f(f(－1))，f(f(0))，f(f(0.5))的值． 数学应用： x2－1，x≥0， 2x＋1，x＜0．小结：2．分段函数的应用 ．1．分段函数与分类讨论． 注：分段函数不是几个函数，而是一个完整的函数，只是在不同的区间上具有不同的对应关系．作业：P35习题第3题，P36第10，12题．
