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备战2024年广东省深圳市中考数学仿真模拟练习试卷（解析版）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．中国古代数学著作《九章算术》中，首次正式引入负数，
如果收入元，记作元，那么元表示（ ）
A．收入6元 B．收入元 C．支出6元 D．支出元
【答案】C
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【详解】解：收入元，记作元，那么元表示支出6元，
故选：C．
2．如图中几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到图形，可得左视图中间有一条虚线，即可解答．熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，题中几何体的左视图为 ，
故选：C．
3 .深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，
数据320000这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】．
故选：B．
4．不等式组的解集在数轴上应表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据不等式组解集的确定方法确定出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可得答案.
【详解】，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示不等式组的解集为
故选C．
某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，
在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．18，18 B．9，9 C．9，10 D．18，9
【答案】B
【分析】根据众数和中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间的数即可．
【详解】由图可知，锻炼9小时的有18人，
∴9在这组数中出现18次，出现的次数最多，
∴众数为9，；
把这组数据从小到大排列，中位数是第23位，
∵第23位是9，
∴中位数是9，
故选：
矩形ABCD中，AD=3，AB=9，点E、F同时分别从点A、C出发沿AB、CD方向
以每秒1个单位的速度运动，当四边形EBFD为菱形时，两点运动的时间为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】A
【分析】设t秒时四边形EBFD为菱形，根据菱形的性质得到DE=DF=FB=BE，然后表示出AE=t，DF=9-t，从而根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设t秒时四边形EBFD为菱形，
此时DE=DF=FB=BE，
则AE=t，DF=9-t，
根据勾股定理得：，
解得：t=4，
即当四边形EBFD为菱形时，两点运动的时间为4秒，故A正确．
故选：A．
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）
A．80米 B．米 C．160米 D．米
【答案】B
【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点D，
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故选：B
如图．AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，
则∠AOC的度数为（ ）
A．130° B．124° C．114° D．100°
【答案】B
【分析】如图，设点E是优弧（不与A，C重合）上的一点，则，根据圆内接四边形的对角互补即可求得．
【详解】解：如图，设点E是优弧（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，
∵∠CBD＝62°．
∴．
∴∠AOC＝2∠E＝124°．
故选：B．
9．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
【答案】D
【分析】由作图可得：平分 可判断A，再求解 可得 可判断B，再证明 可判断C，过作于 再证明 再利用 ，可判断D 从而可得答案．
【详解】解：
由作图可得：平分 故A不符合题意；
故B不符合题意；
在的垂直平分线上，故C不符合题意；
过作于
平分
故D符合题意；
故选：D．
如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，
使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】过作于，过作于，由菱形性质和正切定义求出，，再由折叠证明，得到，从而得到，则，则问题可解．
【详解】解：过作于，过作于，
由已知，，，
∴，，
∴设，则，
∴在中，，
，
解得，
∴，，
由折叠可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离是．
故选：D．
填空题：本题共5小题，共15分。
11．已知实数a，b，满足，，则的值为______．
【答案】42
【解析】
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：42．
12．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝ ．
【答案】2
【分析】把代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
去括号得：，
解得：，
故答案为：2
如图，与位于平面直角坐标系中，，，，
若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
【答案】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
14 .如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．
若，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】/
【分析】连接，由翻折的性质及圆的性质可得是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面积即为所求的阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接，设l交于点D，
由翻折的性质得：，，，
，
，
即是等边三角形，
，由勾股定理得，
，
故答案为：．
15 .如图，在中，，P为边上一动点，
于E，于F，M为中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据已知得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值．
【详解】解：连接，如图：
在中，，
，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵M是的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短，
，即，
．
故答案为：．
解答题：本题共7小题，共55分。
16．计算：．
【答案】．
【分析】本题考查了实数的混合运算，负指数幂，算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数，先算负整指数幂和零指数幂，算术平方根和求三角函数值，最后算加减，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
．
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
18.2022年3月23日15:40，“天宫课堂”第二课开讲，本次太空授课活动同样采取天地对话方式进行，在约45分钟的授课中，神舟十三号飞行乘组生动演示了微重力环境下太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校组织全体学生观看了本次授课活动，并让同学们选出自己最感兴趣的实验．学校教务处随机抽取了部分学生对授课活动最感兴趣的实验进行了问卷调查，具体问卷如下：
将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）
请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
(1)参与本次问卷调查的总人数为_________人；在扇形统计图中，“太空抛物实验”的圆心角是_________度．
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)若该校有3600名学生，请你估计选择太空“冰雪”实验的有多少人．
(4)为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量，学校教务处决定开展
“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：A．书写观后感；B．演示科学实验；C．绘制手抄报；D．开展主题班会．王老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，然后背面朝上放置，搅匀后要求先由七年级派一名代表从中随机抽取一张，记下标号后放回，再由八年级派一名代表从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两个年级代表抽到的主题卡片中有演示科学实验（B）的概率．
【答案】(1)120；72
(2)见解析
(3)600人
(4)
【分析】（1）根据“液桥演示实验”的人数以及其占比求得调查的总人数，用“太空抛物实验”的人数所占比例乘以360°可得其对应圆心角度数；
（2）根据各形式人数和等于总人数求出“水油分离实验”的人数即可补全图形；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：参与本次问卷调查的总人数为36÷30%=120（人），
“太空抛物实验”的圆心角是360°×=72°，
故答案为：120，72；
（2）解：“水油分离实验”的人数为120-20-36-24=40（人），
补全条形统计图如图：
（3）解：人，
答：估计选择太空“冰雪”实验的约有600人；
（4）解：列表如下：
八年级七年级 A B C D
A A，A A，B A，C A，D
B B，A B，B B，C B，D
C C，A C，B C，C C，D
D D，A D，B D，C D，D
由表可得，可能出现的结果有16种，并且他们出现的可能性相等，两个年级代表抽到的主题卡片中有演示科学实验（B）的结果有7种，所以．
19．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少
【答案】(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元
(2)最低费用为1101元
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意．
∴乙类型的笔记本单价为：（元）．
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元．
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件．
由题意得：．
∴．
．
∵，
∴当a越大时w越小．
∴当时，w最小，最小值为（元）．
答：最低费用为1101元．
如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，
以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)求的长度．
【答案】(1)画图见解析，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线；
（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）如图所示，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴为的切线；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴解得．
21．如图，已知二次函数与x轴交于点A(-3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿△ABC的BA，BC边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接MN，将△BMN沿MN翻折，若点B的对应点B′恰好落在抛物线上，试求此时t的值及点B′的坐标；
(3)在(2)的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，试说明理由．
【答案】(1)
(2)t=1，
(3)存在；(-1,0)或或
【分析】(1)把A与B的坐标代入二次函数解析式，得到二元一次方程组，求出方程组的解得到b与c的值，即可求出二次函数解析式；
(2)当B落在抛物线上的B′时，由OA，OB，OC的长，得到三角形MBN为等边三角形，表示出M与N的坐标，由翻折可得B′NBM为菱形，进而表示出B′坐标，代入二次函数解析式求出t的值及B′坐标即可；
(3)当P在x轴上时，由PQ与AC平行，Q为BN中点，得到PQ为中位线，可求出P坐标；当QP⊥x轴时，由相似及Q为BN中点，求出此时P的坐标；当P在y轴上时，由相似，角平分线性质，以及正切函数定义求出P坐标．
【详解】（1）解：把点A(-3,0)，B(1,0)代入解析式，得
，
解得 ，
二次函数的解析式为；
（2）解：如图
由题意知OA=3，OB=1， ，
，
∴∠CBA=60°，
又∵BM=BN，
∴△MBN是正三角形，
∴M(1-2t,0)，N(1-t,t)．
将△BMN沿MN翻折后，得
B′N=BN=2t，∠B′NM=∠BMN=60°，
∴，
∴B′(1-3t, t)，
又点B′在抛物线上，
∴ ，
化简，得9t2-9t=0，解得t=0(不符合题意，舍)或t=1，
t=1时，1-3t=-2，，
∴；
（3）解：由题意可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=30°，∠ABC=60°．又．
如图：
由题意知OA=3，OB=1，
P在x轴上时，过Q作P1Q⊥BQ交x轴于P1点，
∵，
∴，
，
解得P1B=2，OP1=1，此时P1(-1,0)；
过Q作P2Q⊥x轴于P2，
∵∠P2BQ=∠CBA，∠QP2B=∠ACB，
∴，
，
解得，，
此时；
P在x轴的其它位置时，△PBQ不可能为直角三角形，不可能与△ABC相似；
②同理，当P在y轴上时，作P3Q⊥BQ交y轴于P3，
∵∠P3BQ=∠BAC=∠P3BO=30°，∠P3QB=∠ACB=90°，
∴△BP3Q∽△ABC．
∵，，
此时．
过B作P4B⊥BQ交y于P4，但，
∴△QBP4与△ABC不相似，P在y轴上其它位置时，△PQB不为直角三角形，不能与△ABC相似；
综上所述：坐标轴上存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似，P点坐标为(-1,0)或或．
（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，
将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或
【分析】（1）根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证；
（2）延长，交于，设，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有①，在中，②，可解得，；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．
【详解】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延长，交于，如图：
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
的长为；
（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：
设，，则，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
联立①②可解得，
；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
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备战2024年广东省深圳市中考数学仿真模拟练习试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．中国古代数学著作《九章算术》中，首次正式引入负数，
如果收入元，记作元，那么元表示（ ）
A．收入6元 B．收入元 C．支出6元 D．支出元
2．如图中几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
3 .深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，
数据320000这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集在数轴上应表示为（ ）
A． B．
C． D．
某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，
在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．18，18 B．9，9 C．9，10 D．18，9
矩形ABCD中，AD=3，AB=9，点E、F同时分别从点A、C出发沿AB、CD方向
以每秒1个单位的速度运动，当四边形EBFD为菱形时，两点运动的时间为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）
A．80米 B．米 C．160米 D．米
如图．AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，
则∠AOC的度数为（ ）
A．130° B．124° C．114° D．100°
9．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，
使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（ ）
A． B． C．6 D．
填空题：本题共5小题，共15分。
11．已知实数a，b，满足，，则的值为______．
12．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝ ．
如图，与位于平面直角坐标系中，，，，
若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
14 .如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．
若，则图中阴影部分的面积是 ．
15 .如图，在中，，P为边上一动点，
于E，于F，M为中点，则的最小值为 ．
解答题：本题共7小题，共55分。
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18.2022年3月23日15:40，“天宫课堂”第二课开讲，本次太空授课活动同样采取天地对话方式进行，在约45分钟的授课中，神舟十三号飞行乘组生动演示了微重力环境下太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校组织全体学生观看了本次授课活动，并让同学们选出自己最感兴趣的实验．学校教务处随机抽取了部分学生对授课活动最感兴趣的实验进行了问卷调查，具体问卷如下：
将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）
请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
(1)参与本次问卷调查的总人数为_________人；在扇形统计图中，“太空抛物实验”的圆心角是_________度．
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)若该校有3600名学生，请你估计选择太空“冰雪”实验的有多少人．
(4)为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量，学校教务处决定开展
“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：A．书写观后感；B．演示科学实验；C．绘制手抄报；D．开展主题班会．王老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，然后背面朝上放置，搅匀后要求先由七年级派一名代表从中随机抽取一张，记下标号后放回，再由八年级派一名代表从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两个年级代表抽到的主题卡片中有演示科学实验（B）的概率．
19．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少
如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，
以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)求的长度．
21．如图，已知二次函数与x轴交于点A(-3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿△ABC的BA，BC边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接MN，将△BMN沿MN翻折，若点B的对应点B′恰好落在抛物线上，试求此时t的值及点B′的坐标；
(3)在(2)的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，试说明理由．
（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，
将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
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