2022-2023学年河北省承德市重点高中高一（下）月考数学试卷（5月份）(含解析）

2022-2023学年河北省承德市重点高中高一（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
2.如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为( )
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 圆台
D. 球
3.在中，已知，且，则( )
A. B. C. D.
4.( )
A. B. C. D.
5.设为所在平面内一点，，若，则( )
A. B. C. D.
6.设有直线、和平面、，下列命题中正确的命题是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
7.一艘海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行，小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
8.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是( )
平面平面；
平面；
异面直线与所成角的取值范围是；
三棱锥的体积不变．
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. 在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的立体图形是棱锥
C. 存在每个面都是直角三角形的四面体
D. 半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球
10.已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若为斜三角形，则
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则一定是等边三角形
11.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 存在，使得
C.
D. 当时，在上的投影向量的坐标为
12.已知函数，若，则( )
A. B.
C. D. 在上无最值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设复数满足，则 ______．
14.在中，角，，所对的边分别为，，，，则的面积为______．
15.若是定义域为的奇函数，的零点分别为，，，，，则 ______．
16.已知三棱锥的各侧棱长均为，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为，宽为的长方形，顶点在底面的射影为底面矩形对角线的交点，高为．
求该几何体的体积；
求该几何体的侧面积．
18.本小题分
已知，，且．
求与的夹角；
若，求实数的值．
19.本小题分
如图，正方体的棱长为，点在棱上，点在棱上，在棱上，且，是棱上一点．
求证：，，，四点共面；
若平面平面，求证：为的中点．
20.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，是线段上的一点，，，求．
21.本小题分
将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象．
若恒成立，求；
若在上是单调函数，求的取值范围．
22.本小题分
如图，已知四棱锥的底面为矩形，，，是的中点，平面．
求证：平面；
设平面与平面的交线为．
求证：；
求与平面所成角的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为是纯虚数，
所以，解得．
故选：．
根据纯虚数的定义求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由圆锥的定义可得直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为圆锥，如下图：
故选：．
由圆锥的定义即可求解．
本题主要考查了圆锥的结构特征，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理及三角形的大边对大角，属于基础题．
由已知结合正弦定理及三角形大边对大角即可求解．
【解答】
解：由题意得，，
由正弦定理得，，
所以，
因为，
所以，故B为锐角，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为，
则
，
．
故选：．
根据题意，由，然后结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果．
本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
若，可得，化简与比较，即可得出．
【解答】
解：若，易知不为，
，
化为：，
与比较，可得：，，解得．
则．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：直线、和平面、，
对于，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于，若，，，，则与相交或平行，故B错误；
对于，若，，则或，故C错误；
对于，若，，则由面面平行的性质定理得，故D正确．
故选：．
对于，与相交、平行或异面；对于，与相交或平行；对于，或；对于，由面面平行的判定定理得．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意作出图形：，，则，
由图知：，则，又，
所以，则海里．
故选：．
由题意作出示意图，应用正弦定理求出，两点间的距离即可．
本题考查正弦定理的实际应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：连接，根据正方体的性质，有平面，平面，从而可以证明平面平面，正确；
连接，容易证明平面平面从而由线面平行的定义可得平面，正确；
，因为到面的距离不变，且三角形 面积不变，所以三棱锥的体积不变，正确；
当与线段的端点重合时，与所成角取得最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值，故A与所成角的范围是，错误．正确，
故选：．
根据平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，可判断正确
证明平面平面从而由线面平行的定义可得平面
分别找到当当与线段的端点重合时，与所成角取得最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值，可求得范围
由图得
本题是基础题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，这两点的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义，A错误；
对于，正八面体的各个面都是三角形，但它不是棱锥，B错误；
对于，如图：
四面体的每个面都是直角三角形，C正确；
对于，半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球面，D正确．
故选：．
根据题意，由圆台的定义分析，由棱锥的定义分析、，由球的定义分析，综合可得答案．
本题考查圆台的结构特征，注意圆台的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由正弦定理和比例性质得，故A正确；
对于，由题意，，
则，
所以，故B正确；
对于，因为，所以，所以，
所以为钝角，是钝角三角形，故C错误；
对于，因为，
所以，
所以，且，，，
所以，所以为等边三角形，故D正确．
故选：．
由正弦定理和比例性质可以判断，选项，根据诱导公式及两角和公式判断选项，由平面向量的数量积判断三角形形状判断选项，
本题主要考查三角形的形状判断，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：向量，，
若，则，求得，故A错误；
若存在，使得，则，
求得，故不存在，使得，故B错误；
，，故C正确；
当时，，，
在上的投影向量的坐标为，故D正确．
故选：．
由题意，利用两个向量平行、垂直的性质，向量的模及投影向量的定义，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，向量的模及投影向量的定义，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
因为在处取得最大值，
所以，，即，，
所以，故A正确；
因为，，
解得，，
又，
所以，故C正确；
，，故B正确；
易验证当时，在处取得最大值，故D错误．
故选：．
利用正弦函数的性质，诱导公式以及特殊角的三角函数值即可判断；由题意解得，，结合，可求，即可判断；利用诱导公式即可判断；利用正弦函数的性质即可判断．
本题主要考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故答案为：．
根据复数的四则运算可求得，再结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
由余弦定理得，
整理得，
解得舍负，
所以的面积．
故答案为：．
由已知结合余弦定理先求出，然后结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，因为函数为奇函数，所以的图象关于中心对称，
设函数的个零点分别为，，，，，
所以，
又由的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，
所以关于中心对称，
则，
因为是定义域为的奇函数，
所以零点个数为奇数，
则．
故答案为：
根据题意，由函数为奇函数，可得关于中心对称，从而可得，又由为奇数，代入求解即可．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的对称性，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图：
过点作平面的垂线，垂足为，则，，都是直角三角形，
又，≌，同理可得，
，所以点是的外心，
又，是以斜边的直角三角形，
在底面的射影为斜边的中点，如下图：
则，
设三棱锥外接球的球心为，半径为，
则在上，则，即，得，
外接球的表面积为．
故答案为：．
先证明点在平面的投影是的外心，再证明是直角三角形，运用勾股定理求出外接球的半径即可．
本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．
17.【答案】解：几何体的体积；
正侧面及相对侧面底边上的高，
左、右侧面的底边上的高，
故几何体的侧面面积．
【解析】利用棱锥的体积公式直接计算；
先利用勾股定理求得各侧面上的斜高，再求各侧面面积之和即得棱锥的侧面积．
本题考查了棱锥的体积公式和棱锥侧面积的计算，属于中档题．
18.【答案】解：因为，，且，
所以，
解得，
又，
则与的夹角为；
由可知，，
因为，
所以，
即，解得．
【解析】将平方后，可得，进而得解；
易知，再根据，可建立关于可得方程，解出即可．
本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】证明：如图，在上取一点使得，
连接，，则、
因为，所以四边形是平行四边形，
所以．
同理四边形是平行四边形，所以，且，
又，且，所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以，，，四点共面；
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以．
所以，在中，，
在中，，
所以，即为的中点．
【解析】在上取点，使，连接，，易得四边形是平行四边形，以及四边形是平行四边形，由此推知，则，得到、、、四点共面；
利用面面平行的性质定理可解．
本题考查点共面问题，考查面面平行的性质，考查推理论证能力，属中档题．
20.【答案】解：因为，
所以由正弦定理可得，，
即，所以，因为，所以；
设，则，
所以，解得，，
所以，
由正弦定理，，所以．
【解析】由正弦定理统一为边，再由余弦定理化简即可得解；
由二倍角公式求出的正余弦，再由两角和的正弦求出，由正弦定理即可得解．
本题考查正余弦定理，考查两角和差公式，属于中档题．
21.【答案】解：，
，
又恒成立，是函数的最大值，
故，得，，
，．
，，
令，所以在上是单调函数可转化成在是单调函数，
因为的周期为，所以在是单调函数，
，，
在是单调函数，
，解得，
的取值范围为
【解析】先化简，根据平移规律可得到，利用是函数的最大值即可求解；
由可得，结合函数的周期可考虑区间，利用正弦函数的性质列出不等式即可．
本题主要考查了三角函数的图象变换，考查了正弦函数的单调性，属于中档题．
22.【答案】证明：已知四棱锥的底面为矩形，，，是的中点，平面，
在中，，在中，，
则，
于是，所以，
因为平面，平面，则，
又，，平面，所以平面；
证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，所以；
解：因为，所以与平面所成角的正弦值等于与平面所成角的正弦值，
连接，则，
易知，，则，
因为为中点，，所以，
因为，所以，所以的面积，
设到平面的距离为，
则三棱椎的体积，即，，
设与平面所成的角为，则，
又因为，所以与平面所成角为．

【解析】由已知线面垂直得线线垂直，再在底面中证明，然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直；
由线面平行判定定理证明线面平行，然后由性质定理得线线平行；
转化求与平面所成的角，用体积法求得到平面的距离，再根据线面角的定义得结论．
本题考查了线面垂直，线线平行的证明和线面角的计算，属于中档题．
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