2022-2023学年陕西省西北农林科大附中高二（下）开学数学试卷（理科）(含解析）

2022-2023学年陕西省西北农林科大附中高二（下）开学数学试卷（理科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知，，为坐标原点，若，则点的坐标应为( )
A. B. C. D.
3.和椭圆有相同焦点的等轴双曲线方程为( )
A. B. C. D.
4.以下四个命题：
“若，则”的逆否命题为真命题；
若为假命题，则，均为假命题；
“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；
对于命题：，，则为：，．
其中真命题的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为
( )
A. B. C. D.
6.在长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知、是椭圆：的焦点，为上一点，且，则的内切圆半径( )
A. B. C. D.
8.如图为陕西博物馆收藏的国宝--唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形绕旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线有共同渐近线的是( )
A. B. C. D.
9.若正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
10.过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.圆：上有四个点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为______．
14.在平面直角坐标系中，已知的顶点，，点在椭圆上，则 ______．
15.已知椭圆：，分别为椭圆的右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为______．
16.设，，是空间中两两夹角都为的三条数轴，分别是与，，轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标．
若，且，则 ______；
若，则三棱锥的表面积为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为．
求椭圆的方程
直线与椭圆相交于，两点，求弦长．
18.本小题分
已知命题：“存在，”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：
若“且”是真命题，求的取值范围；
若是的必要不充分条件，求的取值范围．
19.本小题分
已知空间三点，，，设，．
若，，求；
求与的夹角的余弦值；
若与互相垂直，求．
20.本小题分
已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是．
求双曲线的方程；
已知直线与双曲线交于不同的两点、，且线段的中点在圆上，求实数的值．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
若点为线段上三等份点且靠近点，求直线与平面所成角的余弦值．
22.本小题分
如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点为、过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于，两点，与抛物线相交于，两点，点为的中点．
求椭圆和抛物线的方程；
记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：命题“，”的否定是：，．
故选：．
直接利用原命题得到命题的否定．
本题考查的知识要点：命题的否定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由于，，设，
所以，，
由于，
所以，，．
故B．
故选：．
直接利用向量的坐标运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：椭圆，，则，可得，
设等轴双曲线方程为，其中，
可得，解得
所求的双曲线方程为．
故选：．
求出椭圆的焦点坐标，再利用等轴双曲线性质，求解即可．
本题考查椭圆以及双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：若，则为真命题，其逆否命题也为真命题，故正确；
若为假命题，
则，中至少有一个为假命题，故错误；
函数在区间上为增函数，
则，
故“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故正确；
对于命题：，，则为：，，故正确．
故选：．
根据已知条件，结合逆否命题的定义，充分条件、必要条件的定义，命题否定的定义，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间点到平面的距离公式的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中等题．
求出平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解即可．
【解答】解：四棱锥中，，，，
设平面的法向量为，
则，
可得，
不妨令，则，，
可得，
则，设点到底面的高为，
所以，
，
所以该四棱锥的高为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由题意，在长方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，为的中点，
则，，，，
所以，，
设直线与所成角为，则，
所以直线与所成角的余弦值为．
故选：．
建立空间直角坐标系结合空间向量的数量积即可求解．
本题主要考查异面直线所成的角，考查向量法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：椭圆中，，，
则，
，，
，
，，
，
，
，
解得．
故选：．
根据椭圆方程求出、、的值，即可得到、、的值，从而求出的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径．
本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，
所以双曲线过点，
因为双曲线，
所以有，解得，
因此，双曲线的渐近线方程为，
依次计算四个选项中双曲线的渐近线方程，如下：
对于，双曲线的渐近线方程为，A正确；
对于，双曲线的渐近线方程为，故B错误；
对于，双曲线的渐近线方程为，故C错误；
对于，双曲线的渐近线方程为，故D错误．
故选：．
根据给定条件求出双曲线的渐近线方程，再逐一分析各个选项判断作答．
本题考查了双曲线的几何性质，重点考查了渐近线方程的求解，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接
是的中点，是正三角形
，
平面平面，平面平面，
平面，
过点作，则由平面，得
由线面垂直的判定定理得平面，
于是即为直线与平面所成角，
由已知，不妨令棱长为，则，
由等面积法得
所以直线与面的正弦值为
故选：．
先证出平面，过点作，证平面，可知即为直线与平面所成角，求其正弦即可．
本题考查正棱柱的性质以及线面角的求法，考查空间想象能力以及点线面的位置关系．
10.【答案】
【解析】解：由抛物线：，得，则，
设直线的倾斜角为，则当为锐角时，由抛物线的焦点弦性质，
有，，
，，则，得，
则，即；
由对称性知，当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率．
综上可知，直线的斜率为．
故选：．
由已知可得，由已知向量等式得，设直线的倾斜角为，由焦点弦的性质求得、，代入求得，进一步得答案．
本题考查抛物线的几何性质，考查抛物线焦点弦的性质，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的简单性质以及求解线段和的最值问题，属于基础题．
先把抛物线方程化简为标准方程，得出以及准线方程，根据焦半径公式求出的坐标，利用数形结合求出关于准线对称的点，连接，则即为所求．
【解答】
解：将抛物线方程化为标准方程为：，，
则焦点，准线方程为，
设，所以，得，代入抛物线方程解得，假设在轴右侧，所以，
则点关于准线方程对称的点为，如图所示，
由中垂线性质可得：，
故本题选A．
12.【答案】
【解析】解：双曲线的一条渐近线为，圆：，圆心，半径为，
因为圆上有四个点到的距离为，
所以圆心到的距离，即，
而，所以，
即．
故选：．
易得双曲线的一条渐近线为和圆的圆心，半径为，根据圆上有四个点到的距离为，由圆心到的距离求解．
本题考查了双曲线离心率的计算，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了特称命题，不等式恒成立问题以及函数的图象和性质的应用问题，是中档题．
根据“，不等式成立”是假命题，
求出“，恒成立”是真命题时的最小值，
即可求出实数的取值范围．
【解答】
解：若“，使得成立”是假命题，
即“，使得成立”是假命题，
即“，恒成立”是真命题，
函数，当时取等号，
所以实数的取值范围为
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：由椭圆的方程可得，，所以，
所以可得，为椭圆的焦点，
在中，由正弦定理可得．
故答案为：．
由椭圆的方程可得，，的值，可知，为椭圆的焦点，由正弦定理可得，再由椭圆的定义可知，进而求出它的值．
本题考查正弦定理的应用及椭圆的定义的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：椭圆：，分别为椭圆的右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点，若，
可知，，则，可得，解得．
故答案为：．
利用已知条件，求解的坐标，代入椭圆方程求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：若，
且，有，，则；
依题意，，两两夹角为，且模都是，
则三棱锥是正四面体，则表面积．
故答案为：；．
由向量的线性运算和坐标系中坐标的定义，解出，即可；
由题意，三棱锥为棱长为的正四面体，利用面积公式求表面积即可．
本题考查空间几何体的表面积，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ椭圆的中心在原点，焦点为，且长轴长为，
，，
，
故要求的椭圆的方程为；
Ⅱ把直线代入椭圆的方程化简可得，
，，
弦长
．
【解析】本题主要考查椭圆的性质和标准方程的应用，韦达定理及弦长公式，属于基础题．
Ⅰ利用椭圆的简单性质和标准方程求得、的值，即可得到椭圆的方程；
Ⅱ利用弦长公式求得弦长的值．
18.【答案】解：若为真：
解得
若为真：则
解得
若“且”是真命题，则
解得
由是的必要不充分条件，则可得
即等号不同时成立
解得
【解析】本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
若为真：；若为真：则，若“且”是真命题，求其交集即可得出；
由是的必要不充分条件，则可得，解出即可得出．
19.【答案】解：因为，，
可设，
则，解得，
所以或．
因为，，
所以，．
，，
又因为，
所以，
解得或．
【解析】根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；
利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；
根据向量垂直时数量积为，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到．
本题主要考查了空间向量的共线定理和数量积运算问题，也考查了空间向量的模长、夹角计算问题，是中档题．
20.【答案】解：由双曲线的渐近线为，可得；
由焦点到渐近线的距离是，可得，
则，
所以双曲线的方程为：；
将直线方程代入双曲线的方程，可得，
设，则，，所以，
则中点坐标为，代入圆的方程，
得，
所以．
【解析】根据渐近线可得，的方程，然后由焦点到渐近线的距离，可得，，可得所求双曲线的方程；
联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】证明：在四棱锥中，面，过作，垂足为，则，
以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，
因为为的中点，则，
所以，，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，可得，
因为，即，
又平面，
所以平面；
解：设平面的一个法向量为，
则，即，则，
由知是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
解：平面的一个法向量，
由题意可知，，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
故直线与平面所成角的余弦值为．
【解析】以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，证明，然后证明平面；
求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
求出平面的一个法向量，求出，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的余弦值即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角以及直线与平面所成角的求法，是中档题．
22.【答案】解：根据题意得：，解得，
抛物线焦点，
因此椭圆，抛物线：；
设：，，，，，
联立与椭圆，
整理得：，
，
所以，
所以，
联立与抛物线，整理得：，
，
所以，
所以，
因为，因此，解得：，
在轴上截距为或．
【解析】依题意得到方程组，求出，的值，即可求出椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；
设：，，，，，联立与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积，，再根据，得到不等式，解得即可．
本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，属于中档题．
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