2022-2023学年山西省吕梁市孝义市高二（下）联考数学试卷（5月份）(含解析）

2022-2023学年山西省吕梁市孝义市高二（下）联考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从名老师和名学生中各选人组成一个小组，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知变量关于的回归直线方程为，相关系数为，则下列选项正确的是( )
A. 若，则与是正相关
B. 若接近，则表示与的相关性很强
C. 若，则
D. 若变量增大一个单位，则变量就一定增加个单位
4.已知随机变量的分布列为
若，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
6.某班书法兴趣小组有名男生和名女生，美术兴趣小组有名男生和名女生从书法兴趣小组中任选人，与原来的美术兴趣小组成员组成新的美术兴趣小组，然后再从新的美术兴趣小组中任选人，则选中的人是男生的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.放假伊始，名同学相约前往某门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供人组局的剧本，其中，角色各人，角色人已知这名同学中有名男生，名女生，店主让他们人分成两组先后参加游戏，其中，角色不可同时为女生，角色至少有一名女生，则他们不同的选择方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，则( )
附：若，则，．
A. B.
C. D.
10.在三棱锥中，，，两两夹角均为，且，若，分别为线段，的中点，则( )
A.
B.
C. 异面直线与所成角的正弦值为
D. 异面直线与所成角的正弦值为
11.如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华、小齐分别在道路网的，，的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往地和地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有( )
A. 小明可以选择的不同路径共有种
B. 小明与小齐能相遇的不同路径共有种
C. 小明与小华能相遇的不同路径共有种
D. 小明、小华、小齐三人能相遇的概率为
12.甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知与独立，且，则 ______．
14.被除的余数为______．
15.公司要从名男性员工和名女性员工中随机选出人去出差，设抽取的人中女性员工的人数为，则 ______．
16.夺冠这部影片讲述的是中国女排从年首夺世界冠军到年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的精神某排球赛采用五局三胜制先胜三局者获胜，前局每局分，第局分在每局的每一个回合中，赢的球队获得分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于得分方经过统计，甲、乙两支球队在前局比赛中，甲每局获胜的概率为，各局相互独立且互不影响，在第局每一个回合中，输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队该回合获胜的概率为，当乙队拥有发球权时，甲队该回合获胜的概率为，那么在第局开始之前甲队不输的概率为______；若两支球队比拼到第局时，甲队拥有发球权，则甲队在前个回合中至少获得分的概率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
年卡塔尔世界杯于北京时间月日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看为了了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取名观众进行统计，得到如下列联表．
男 女 合计
喜爱看世界杯
不喜爱看世界杯
合计
试根据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱观看世界杯与性别有关联？
附：，其中．
18.本小题分
已知数列，满足，．
若是等比数列，且，，成等差数列，求的通项公式；
若是公差为的等差数列，证明：．
19.本小题分
某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效益根据资料显示，产出的草莓的箱数单位：箱与成本单位：千元的关系如下：
与可用回归方程其中，为常数进行模拟某农户种植的草莓主要以元箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以元箱的价格销售给当地小商贩．
若该农户月份草莓的种植量为箱，全部被当地大型商超收购，试预测该农户的利润是多少元精确到个位；
据统计，往年月份当地大型商超草莓的需求量为箱、箱、箱、箱的概率分别为，，，，根据回归方程以及往年商超草莓的需求情况进行预测，求今年月份农户草莓的种植量为箱时所获得的利润情况最后结果精确到个位
附：在线性回归直线中，．
20.本小题分
年月日，第个世界湿地日中国主场宣传活动在杭州西溪国家湿地公园举行，年世界湿地日将主题定为“湿地修复”某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛，比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境知识，再答道试题，每答错一道题，用时额外加秒，最终规定用时最少者获胜，已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮明诵的时间均比乙少秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是谁答对互不影响．
若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，求乙最终获胜的概率；
请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大．
21.本小题分
已知双曲线：的左、右顶点分别为，，且顶点到渐近线的距离为，点是双曲线右支上一动点不与重合，且满足，的斜率之积为．
求双曲线的方程．
过点的直线与双曲线交于轴上方的，两点，若是线段的中点，是线段上一点，且，为坐标原点，试判断直线，的斜率之积是否为定值若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
22.本小题分
已知函数有两个不同的零点，．
求的取值范围；
若恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：从名老师和名学生中各选人组成一个小组，则不同的选法共有种．
故选：．
根据分步乘法计数原理计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
由二项分布的方差公式求解即可．
本题主要考查二项分布的方差公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：选项，若，则与是正相关，A错误；
选项，若接，则表示与的相关性很强，B错误；
选项，若，则与是正相关，，C正确；
选项，线性回归方程为估计值，不知准确值，D错误．
故选：．
根据回归方程和相关系数的定义逐项判断即可．
本题考查回归方程和相关系数的概念，是中档题．
4.【答案】
【解析】解：根据随机变量的对应概率之和为可知，，则，
则，
所以，
所以．
故选：．
根据随机变量的对应概率之和为计算，再结合期望和方差公式，计算，，最后根据方差的性质公式计算即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为 ，所以 的展开式的常数项为．
故选：．
利用展开式的来源分析，有两种情况，由于有个括号，个括号中全提供常数，或个括号提供常数，剩下个括号各提供．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：从书法组选出名男生，其概率为，新的美术组中有男女，任选人是男生的概率为；
从书法组选出名男生名女生，其概率为，新的美术组中有男女，任选人是男生的概率为；
从书法组选出名女生，其概率为，新的美术组中有男女，任选人是男生的概率为；
则从新的美术兴趣小组中任选人，选中的人是男生的概率为．
故选：．
按书法班选出男生人数分类，再利用条件概率乘法公式计算即可．
本题考查条件概率公式，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：设，，联立，
得，
则，，
因为直线经过的焦点，
所以，
同理可得，
所以 ，
当且仅当时，等号成立．
故选：．
设，，联立，根据直线经过的焦点，利用抛物线的定义分别得到和，再利用基本不等式求解．
本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：分组方法：一组，角色两个男生、角色男女；
另一组，角色男女、角色女；
方法数有：．
分组方法：一组男女；另一组男女；
方法数有：，
所以他们不同的选择方式共有．
故选：．
根据三个角色的要求进行分组，然后计算出他们不同的选择方式．
本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意，，，
且，
所以，解得，A正确，B错误；
．
故选：．
根据正态分布的对称性及原则，计算即可．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：在三棱锥中，，，两两夹角均为，且，
，分别为线段，的中点，
设，如图，
则，
，，
，
，
，
，
由向量夹角公式得：
，
，
异面直线与所成角的正弦值为．
故选：．
根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角．
本题考查向量数量积公式、向量夹角公式、数量积运算律、异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，小明从到需要走步，向上步，向右步，则有种不同路径可选，A正确；
对于，若小明与小齐能相遇，则小明经过，则小明有种不同路径可选，B错误；
对于，小明与小华能相遇，而两人的速度相同，则相遇时，两人都走了步，
则有种，C正确；
对于，小明从到有种不同路径可选，小华从到也有种不同路径可选，共有种路径可选，
若人相遇，则小明和小华都经过，其情况有种情况，
则小明、小华、小齐三人能相遇的概率为，D正确；
故选：．
根据题意，由排列组合公式分析是否正确，由古典概型公式分析是否正确，综合可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及概率的乘法公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，，
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，，故A正确；
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，，
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，，
，故B正确；
，
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据全概率公式及条件概率概率公式计算可得．
本题主要考查条件概率，全概率公式，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由于与独立，所以，
所以．
故答案为：．
根据相互对立满足的关系，结合条件概率的计算公式即可求解．
本题考查条件概率相关知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
且可以被整除，所以余数为．
故答案为：．
利用二项式定理，展开表达式，即可判断余数．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为从名男性员工和名女性员工中随机选出人去出差，抽取的人中女性员工的人数为，
则，，
．
故答案为：．
由已知结合古典概率公式先求出及，然后结合互斥事件的概率公式可求．
本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为在第局开始之前甲队不输的情况包括：甲：胜，甲：胜，甲：平，对应的概率分别记为，，，
，，，
所以甲队不输的概率．
在前个回合中，甲队至少获得分对应的胜负情况为胜胜负，胜负胜，负胜胜，胜胜胜，共种情况，对应的概率分别记为，，，，
则，，，
所以甲队在前个回合中至少获得分的概率．
前局甲队不输的情况包括了甲：胜，甲：胜，甲：平，利用相互独立事件的乘法公式计算即可；
在前个回合中，甲队至少获得分对应的胜负情况为胜胜负，胜负胜，负胜胜，胜胜胜，共种情况，利用相互独立事件的乘法公式计算即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
17.【答案】解：零假设为：喜爱观看世界杯与性别无关联．
根据列表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以喜爱观看世界杯与性别有关联．
【解析】计算的值，由此作出判断．
本题考查独立性检验思想，属于中档题．
18.【答案】解：设的公比为，由于，，成等差数列，
故，
而，
故，
解得，
由，得，
即是等比数列，且，
故；
证明：是首项为，公差为的等差数列，
故，，
由，得，
故
，
故
．
【解析】设的公比为，由题意列式求得，再结合已知可得，即可求得答案；
由已知求得的通项公式，可得利用累乘法求得的表达式，再用裂项求和法证明结论．
本题考查数列通项公式的求法以及数列的求和，考查裂项项相消法的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为，，
所以，
，
所以，
因为，
所以回归方程为，
当时，，
所以预测该农户的利润是元；
由回归方程知，若农户草莓的种植量为箱，则成本为千元，
设农户草莓的种植量为箱时的收入为元，则的可能取值为，，，，
所以的分布列为：
所以，
所以所获利润为元．
【解析】根据求回归方程参数的计算公式，可求得答案；
根据分布列的概念以及均值的计算公式，可得答案．
本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
20.【答案】解：因为甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，且甲每轮朗诵的时间均比乙少秒，
所以第三轮答题中乙要比甲多答对道题以上才能获胜．
若乙答对道试题，甲答对道试题，则，
若乙答对道试题，甲答对道试题，则，
若乙答对道试题，甲答对道试题，则，
所以乙获胜的概率．
由题意设甲在比赛中答错的题的数量为，乙在比赛中答错的题的数量为，
则，，
则，
则甲因答错试题额外增加的时间的期望值为秒，
乙因答错试题额外增加的时间的期望值为秒．
因为三轮中，甲朗诵的时间比乙少秒，所以最后甲所用的时间的期望比乙少秒，所以甲获胜的可能性更大．
【解析】根据题意，第三轮答题中乙要比甲多答对道题以上才能获胜，然后分情况计算概率；
算出甲、乙两人因答错试题额外增加的时间的期望值结合题意进行比较．
本题考查二项分布的期望，属中档题．
21.【答案】解：渐近线方程为，
因为顶点到渐近线的距离为，
所以，
所以，
所以，
设，
，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
所以，
所以，，，
所以双曲线的方程为．
设直线的方程为，，，
联立，得，
，得，
因为直线与双曲线交于轴上方的，两点，
所以，即，解得，
又，
所以，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，为定值．
【解析】由顶点到渐近线的距离为，得，则，设，则，由于点在双曲线上，则，解得，，，即可得出答案．
设直线的方程为，，，联立双曲线方程，结合韦达定理可得，，进而可得点坐标，则，进而可得点的坐标，即可得出答案．
本题考查双曲线方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：由，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在处取得极小值即最小值，所以，
因为函数有两个不同的零点，所以，解得，
当时，，，，
其中令，，
则，所以在上单调递增，
所以，即，
所以使得，使得，
综上可得．
因为函数有两个不同的零点，，
所以，
由恒成立，可知，所以恒成立，
所以恒成立，
现证明，不妨设，
则，且．
要证，即证，
令，，
则，，
令，则，所以单调递增，则，
所以，函数单调递减，所以，
即，，
又，所以
因为在区间上单调递增，所以，
所以，则，
所以，所以．
【解析】利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，结合已知条件可得到关于的不等式求解即可；
依题意可得恒成立，再证明，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值可知，再结合的单调性可证得结论，得到，即可求出的的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于难题．
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