2022-2023学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学（平江）有限公司高一（下）开学数学试卷(含解析）

2022-2023学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学（平江）有限公司高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则中的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的零点所在的大致区间为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知非零向量满足，且，则的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，真命题是( )
A. 若，且，则，至少有一个大于
B. ，
C. 的充要条件是
D. 若，，则的取值范围是
10.如图是函数的部分图象，
则( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的序号是( )
A. 偶函数的定义域为，则
B. 一次函数满足，则函数的解析式为
C. 奇函数在上单调递增，且最大值为，最小值为，则
D. 若集合中至多有一个元素，则
12.已知，则结论正确的是( )
A. 函数有唯一零点
B. 存在实数使得函数有三个以上不同的零点
C. 当时，函数恰有三个不同的零点
D. 当时，函数恰两个不同的零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数为偶函数，则函数的值域为______．
14.已知，则______．
15.，，且恒成立，则的最大值为______．
16.在平行四边形中，如图，，依次是对角线上的两个三等分点，设试用与表示和，则 ______， ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算
；
．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
若，求角的取值集合．
19.本小题分
设全集，集合，集合．
若“”是““的充分条件，求实数的取值范围；
若命题“，则“是真命题，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的单调递增区间；
将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
21.本小题分
销售甲种商品所得利润是万元，它与投入资金万元的关系有经验公式；销售乙种商品所得利润是万元，它与投入资金万元的关系有经验公式其中，为常数．现将万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品．所得利润为万元．若将万元资金中的万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为万元．
求利润总和关于的表达式；
怎样将万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．
22.本小题分
若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”．
若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”并说明理由；
若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；
对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值集合．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．
联立两个方程，求得交点坐标得答案．
【解答】
解：由集合，，
联立，得或．
，．
的元素个数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】
【解析】解：在连续不断，且单调递减，
，
函数的零点所在的大致区间为，
故选：．
根据零点存在性定理，即可得出答案．
本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，，
，
故选：．
根据正弦函数的单调性、对数运算法则、指数函数单调性，可求得，，的范围，进而比较出大小关系．
本题考查正弦函数的单调性、对数运算法则、指数函数单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的图像变换规律，属基础题．
由题意利用函数的图像变换规律，得出结论．
【解答】
解：把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，
把函数的图像，向左平移个单位长度，
得到的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
可得的图像．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
由已知利用诱导公式化简所求即可得解．
本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
【解答】
解：因为，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由对任意，都有成立可得，在上单调递减，
所以，解得，即的取值范围是
故选：．
分段函数单调递减，则每一段分段图象均单调递减，且整体也是单调递减．
本题主要考查分段函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用向量的数量积求向量的夹角，向量垂直的性质运用，熟练运用公式是解决问题的关键，属于基础题．
由已知向量垂直得到数量积为，得到非零向量的模与夹角的关系，利用，即可求出夹角的余弦值，进而得到答案．
【解答】
解：设两个非零向量的夹角为，，
因为，且，
所以，
即，
所以，
因为，
所以．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：对于，用反证法，假设，，所以，与矛盾，所以对；
对于，用特值法，当时，不等式不成立，所以错；
对于，当时，满足，但是无意，所以不满足，
所以的充要条件不是，所以错；
对于，如图，令，若不等式有实数根，必有，
所以的取值范围是，所以对．
故选：．
用反证明法证明判断；用特值法判断；用特值法判断；用数形结合法判断．
本题以命题真假判断为载体，考查了充要条件概念，考查了用反证法证明不等式，考查了全称与特称命题问题，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．比较基础．
根据图象先求出函数的周期，进而求得，利用五点作图法求出函数解析式中的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
【解答】
解：由图象知函数的周期，即，即，
显然不正确；
当时，由五点作图法，可使，则，
则
，C正确；
当时，由五点作图法，可使，则，
所以，B正确．
当时，，这与图象不符，所以不正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：对，偶函数的定义域为，
，解得，对；
对，设一次函数，则，
，，
解得，或，，
函数的解析式为或，错；
对，奇函数在上单调递增，且最大值为，最小值为，
，，
，，，对；
对，集合中至多有一个元素，
方程至多有一个解，
当时，方程只有一个解，符合题意；
当时，由方程至多有一个解，可得，解得，
或，错．
故选：．
对，由偶函数定义域对称解出参数即可；
对，设，则可得，建立方程组求解即可；
对，由单调性得，，由奇偶性得，，即可求解；
对，分别讨论、解的个数即可．
本题综合考查了函数奇偶性的定义，待定系数求解函数解析式，函数单调性在最值求解中的应用及集合元素个数的确定，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：作出函数的图象如右：
当时，，有且仅有一个零点，时，，没有零点，
所以有且仅有一个零点，A正确；
，则或，其中有且仅有一个零点，至多有两个零点
所以不存在使得有三个以上零点，B错误；
结合上述可知，当时，有且仅有三个零点，C正确；
时，有且仅有两个零点，D正确．
故选：．
先画出函数的图象，然后根据零点存在性定理，函数的单调性、区间端点处函数值的符号逐项判断即可．
本题考查函数零点的判断方法，注意数形结合思想的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为函数为偶函数，
所以，即，则，解得，
所以，易得，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以函数的值域为
故答案为：
利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果．
本题考查函数的奇偶性和函数的值域的求解、利用基本不等式求最值，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
分子分母同时除以，把正弦、余弦转化为正切即可算出结果．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：恒成立
即恒成立
只要
，
为
故答案为．
将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求出最小值．
本题考查利用基本不等式求函数的最值要注意满足：一正、二定、三相等．凑定值是难点．
16.【答案】
【解析】解：由题意有：
，
．
故答案为：；．
利用平面向量的基本定理求解．
本题考查平面向量基本定理，属基础题．
17.【答案】解：．
．
【解析】根据指数幂的运算性质，即可求解．
根据对数的运算法则及性质，结合对数的换底公式，即可求解．
本题主要考查指数、对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：
，
故函数的最小正周期为．
由，可得，
故或，
解得或．
故角的取值集合为或．
【解析】根据三角恒等变换可得，根据周期公式即可求解；
由，可得，求解即可．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为“”是““的充分条件，所以．
故，解得．
所以实数的取值范围是．
因为命题“，则“是真命题，所以．
当时，，解得；
当时，，解得，所以．
综上所述，实数的取值范围是
【解析】将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解．
将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解．
本题考查了充分条件与集合间的关系，属于基础题．
20.【答案】解：函数
，，
令，求得，
可得函数的增区间为，．
再结合，可得函数的增区间为，．
将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，
若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，
即在区间上有两个不相等的实根．
令，则在区间上有个根．
令，则，或，
求得，或，
即实数的范围为．
【解析】由题意利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，二次函数的性质，求得的范围．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，二次函数的性质，属于中档题．
21.【答案】解：因为对甲种商品投资万元，所以对乙种商品投资为万元，
由题意知：，
当时，，当时，，则，解得，，
则．
由可得，
当且仅当时取等号，
故对甲种商品投资万元，对乙种商品投资万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元．
【解析】由题意，根据给定的函数，代入给定值，可得答案；
利用分离常数项整理函数，根据基本不等式，可得答案．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
22.【答案】解：由题意得，是上的“二阶局部奇函数”，
证明：函数，若，即，
即，
变形可得：，即，则，
又由，则有，
故是上的“二阶局部奇函数”，
由题意得，函数是上的“一阶局部奇函数”，
即在区间上有解，
又由，
即，
由题意得，函数恒为上的“阶局部奇函数”，即在上有解，
则有即有解，
当时，，满足题意，
当时，对于任意的实数，，
变形可得，
令，当时，显然成立，
当时，则是单调递增函数，可得，
代入可得，
解可得：，
由，故．
【解析】根据题意，由“二阶局部奇函数”可得，即，变形可得的值，结合的范围分析可得答案，
根据题意，分析可得在区间上有解，变形可得，据此分析可得答案；
根据题意，可得在上有解，则有即有解，结合二次函数性质分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，关键是理解“阶局部奇函数”的定义，属于综合题．
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