第二十七章 相似 达标检测卷 （含解析）人教版九年级数学下册

第二十七章 相似 达标检测卷 人教版九年级数学下册
一、选择题
1．如图，由图形M改变为图形N，这种图形改变属于（　　）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．相似
2．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为（　　）
A． B． C． D．
3．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
4． 如图所示，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与
△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． = B． = C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
6．如图，的直角顶点在坐标原点上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，中，于点，点为线段，上两点，满足，则的比值是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高CP=1.2 m，在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4 m，通过测量知道BC的距离为1.5 m，则路灯AB的高度是（　　）
A．3 m B．3.6 m C．4.5 m D．6 m
9．如图，和△是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为　　
A．15 B．12 C．9 D．6
10． 如图所示，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为a∶b，则等于（　　）
A．1∶6 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶2
二、填空题
11．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D'＝2：4，AB＝2，则A'B'＝　 　.
12．复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为　 　.
13． 如图， 在 中， 是 B C 边上一点且满足 是 A C 边上一点且满足 ， 连接 B E 交 A D 于点 ， 则 　 　.
14．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1∶2，，．若，则点C的坐标为　 　．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）
①将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1，在图①中画出△AB1C1，并求出在旋转过程中△ABC
扫过的面积；
②在图②中以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，并写出点C的对应点的坐标．
16．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.
求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
17．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）并说明理由．
18．学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用标杆测量大楼的高度CD．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立标杆AB，此时小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF=1.5m，标杆AB=2.5m，BD=23m，FB=2m，EF、AB、CD均垂直于地面FD．求大楼的高度CD．
19． 如图所示，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE=∠B，点F在AD上，且AD2=AF·AB.求证：
（1）=；
（2）△AEF∽△ACD.
20． 如图所示，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD.
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC∶S△DEC=4∶9，BC=6，求CE的长.
21．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=6 ．求AF的长．
22．如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：图形M改变为图形N，是相似变换.
故答案为：D.
【分析】根据图形相似变换定义进行判断，图M和图N形状一样，大小不同，为相似变换.
2．【答案】A
【解析】【解答】由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为3：4.5= ，
∴它们的相似比为 .
故答案为：A.
【分析】两个相似多边形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例.
3．【答案】A
【解析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论．
【解答】∵△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．
故选A．
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：小正方形的边长均为1 ，根据图形可知：BC=2，AC=，∠ACB=135°，
由选项中图形可知：A、C、D中的三角形中都不含有135°，故A、C、D三个选项都不符合题意；
由B选项图形可知：含有135°，且135°角的两边分别为1和，
，且夹角相等，
B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】观察图像可得∠ACB=135°，再根据选项中的图形可知A、C、D中均不含135°，不符合题意，再验证B选项即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∠DAB=∠CAE，
∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∠DAE=∠BAC，
A、 = ，且∠DAE=∠BAC，不能判定 △ABC∽△ADE ，A符合题意；
B、 = ，且∠DAE=∠BAC，能判定△ABC∽△ADE，B不符合题意；
C、 ∠B=∠D ，且∠DAE=∠BAC，能判定△ABC∽△ADE，C不符合题意；
D、 ∠C=∠AED ，且∠DAE=∠BAC，能判定△ABC∽△ADE，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】先由∠DAB=∠CAE，得到∠DAE=∠BAC，再利用相似三角形的判定定理逐项判断即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∴∠BCO=∠ADO=90°，
∵点A、B分别在反比例函数与的图象上 ，
∴S△ADO=×4=2，S△BCO=×1=，
∴，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠AOD=∠OBC，
∴△BOC∽△OAD
，∴，
∴，
∴tan∠BAO=.
故答案为：B.
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，根据反比例函数k的几何意义可得S△ADO=×4=2，S△BCO=×1=，进而可得，然后由有两组角对应相等得两个三角形相似得△BOC∽△OAD，由相似三角形面积的比等于相似比的平方可得，最后根据正切函数的定义即可求出tan∠BAO的正切值.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠ABH=∠ADH，
∴AB=AD，
又∵AH⊥BC，
∴BH=DH=1，
∴CD=CH-HD=，
过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F，
∴∠ADE=∠CFD，
∵∠CDF=∠ADE，
∴∠CFD=∠CDF，
∴FC=CD=，
∵CF∥DE，
∴△ADE∽△AFC，
∴.
故答案为：A.
【分析】由等角对等边得AB=AD，由等腰三角形的三线合一得BH=DH=1，进而根据线段的和差可求出CD的长；过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F，由平行线的性质及已知可推出∠CFD=∠CDF，由等角对等边得FC=CD，由平行三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△AFC，进而根据相似三角形对应边成比例可求出答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，CP⊥QP，
∴∠ABC=∠CPE=90°，
∴AB∥CP，
∴∠A=∠ECP，
∴△ACB∽△CEP，
∴即
解之：AB=4.5.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可得到∠ABC=∠CPE=90°，可推出AB∥CP，利用平行线的性质可得到∠A=∠ECP，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACB∽△CEP，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点C1是OC的中点，
∴OC=2OC1，
∴，
∵△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴△ABC∽△A1B1C1，且相似比为，
∴，
∵ ，
∴S△ABC=12
故答案为：B.
【分析】根据位似图形一对对应点与位似中心连线的比值等于位似比，而位似图形一定相似，且相似比等于位似比，进而再根据相似图形的面积之比等于相似比的平方可得答案.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF ，
，
AD=OA ，
OA=OD，
△ABC与△DEF 的相似比为1：2，
△ABC与△DEF 的面积比 a∶b =1：4，即b=4a，
=，
故答案为：B.
【分析】先根据 AD=OA得到△ABC与△DEF 的相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得b=4a，再代入计算即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，
∴，
∵AB＝2，
∴A′B′＝2.
故答案为：2.
【分析】根据相似图形的面积比等于相似比的平方可得相似比，结合AB的值就可求出A′B′的值.
12．【答案】
【解析】【解答】解：这些型号的复印纸的长与宽分别为a、b ，
∵得到的矩形与原来的矩形相似，
∴，
∴a2=b2，
∴，
故答案为：.
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a ， 根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可
13．【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥DE于点H，过点E作EG⊥CD于点G，延长EG交AD的延长线于点Q，
∴∠AHD=∠ABD=90°，
在△ABD和△AHD中
∴△ABD≌△AHD（AAS），
∴∠BAD=∠HAD，
∵∠C=2∠BAD，
∴∠C=∠BAH，
∵∠BDH+∠BAH=180°，∠BDH+∠EDC=180°，
∴∠BAH=∠EDC=∠C，
∴ED=EC，
∵EG⊥CD，
∴DG=CG=DC，
∵CD=3BD，
设BD=x，则CD=3x，
∴DG=CG=x，BC=4x，
∵EG∥AB，
∴△EGC∽△ABC，
∴，
∴，
∵EQ∥AB，
∴△ADB∽△QGD，
∴，
∴，
∴，
∵AB∥QE，
∴△QEF∽△ABF，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥DE于点H，过点E作EG⊥CD于点G，延长EG交AD的延长线于点Q，利用AAS可证得△ABD≌△AHD，利用全等三角形的对应角相等可证得∠BAD=∠HAD，利用已知可得到∠C=∠BAH，利用余角的性质可证得∠BAH=∠EDC=∠C，利用等角对等边可知ED=EC，利用等腰三角形的性质可得到DG=CG=DC；利用已知设BD=x，则CD=3x，同时可表示出DG，CG，BC的长，再证明△EGC∽△ABC，利用相似三角形的性质可得到；同时可证得△ADB∽△QGD，利用相似三角形的性质，可得到，可表示出EQ的长；然后证明△QEF∽△ABF，即可求出EF与BF的比值.
14．【答案】（1，1）
【解析】【解答】解：如图所示：连接AC，
∵，，
∴△为等腰直角三角形，
∴，
∵与是以为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，是等腰直角三角形，
∴A为的中点，
∴（等腰三角形三线合一），
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴点坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）．
【分析】连接AC，根据位似变换的性质得到B为OC的中点，根据平行线的性质得到OA=AD，再根据等腰直角三角形的性质计算即可。
15．【答案】解：①如图所示：△AB1C1，即为所求，
△ABC扫过的面积为： + ×4×2=10π+4；
②如图所示：△A′B′C′以及△A″B″C″即为所求，
C点对应点位：（2，﹣2）或（﹣2，2）．
【解析】【分析】①直接利用旋转的性质结合扇形面积求法以及三角形面积求法得出答案；②直接利用位似图形的性质得出对应点位置即可．
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF，
即四边形AFGE为正方形．
∴ ＝ ＝ ＝ ，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似
【解析】【分析】由正方形的性质可知；AC平分∠DAB，然后由角平分线的性质可知GE=GF，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似.本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形EAFG为正方形是解题的关键.
17．【答案】解：如图，AD为所作．
理由：∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
又∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD．
【解析】【分析】直接利用过直线外一点作已知直线的垂线作法得出AD，再利用相似三角形的判定方法得出答案．
18．【答案】解：过点作于点，交于点．
则四边形，四边形都是矩形
，，．
，．
由题意易得．
又，
，
，即，
解得，
，
故大楼的高度为．
19．【答案】（1）解：∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC.
∴ =.
（2）证明：∵AD2=AF·AB，
∴ =.
由(1)，得 =.
∴ =.
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACD.
【解析】【分析】（1）由∠ADE=∠B 可得DE∥BC，再根据平行线分线段成比例即可得到= ；
（2）由 AD2=AF·AB可得 =，结合（1）中 =，可得 = ，利用两边成比例且夹角相等即可判定 △AEF∽△ACD.
20．【答案】（1）证明：∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE.
∴∠ACB=∠DCE.
∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEC.
（2）解：∵△ABC∽△DEC，
∴ =()2=.
∴ =.
∵BC=6，∴CE=9.
【解析】【分析】（1）由 ∠BCE=∠ACD，先证得∠ACB=∠DCE，再利用两角相等的两个三角形相似即可判断△ABC∽△DEC ；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得 △ABC与△DEC的相似比为2：3，再代入数值即可解答.
21．【答案】解：方法一：
∵□ABCD，∴AD∥BC，OD= BD= ．
∵∠CBD=30°，∴∠ADB=30°．
∵EO⊥BD于O，∴∠DOF=90°．
在Rt△ODF中，tan30°= ，∴OF=3．∴FD=6．
过O作OG∥AB，交AD于点G，∴△AEF∽△GOF，∴ ．
∵EF=OF，∴AF=GF．
∵O是BD中点，∴G是AD中点．
设AF=GF=x，则AD=6+x，∴AG= ．
解得x=2，∴AF=2．
方法二：延长EF交BC于H．
由△ODF≌△OHB可知，OH=OF．
∵AD∥BC，∴△EAF∽△EBH，∴ ．
∵EF=OF，∴ ．
由方法一的方法，可求BH=6，∴AF=2．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可。
22．【答案】解：如图，设EF=x，则GF=2x．∵GF∥BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，
∴ = ．
∵AH=6，BC=12，
∴ = ．解得x=3．
∴矩形DEFG的周长为18．
【解析】【分析】由已知EF∶GF=1∶2，可设EF=x，GF=2x，由题意易证△AGF∽△ABC，再利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出GF的长，由此可得到矩形DEFG的周长。
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