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9.3分式方程（1）
学习目标：
1、经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程。
2、初步了解解分式方程可能产生增根，并掌握验根的方法，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系和区别。
学习重点：
掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。
学习难点：
理解化分式方程为一元一次方程的依据和过程，明确产生增根的原因。
学习过程：
一、学习准备
1、解方程；
2、问题；在相距1600km的两地之间运行一列车，速度提高25%后运行时间缩短了4h。列车提速前的速度是多少？
分析：设列车提速前的速度为xkm/h。
用含的未知数填空；
路程 速度 时间
提速前
提速后
根据运行时间缩短了4h，列出方程：
这个方程与以往的一元一次方程有什么区别？
由此，我们得到分式方程的概念： .
思考：如何解这个方程？
方程两边同时乘以最简公分母 ，得到一元一次方程 ，
解得：x=
写出检验：
二、合作探究
1、依照上面方法解方程；
2、把解得的根代入原方程检验，你发现了什么？
把x=3代入检验时，方程中分式的分母为0，这时分式无意义，所以不是原方程的根，原方程无解。
像x=3这样的根，称为增根。
解分式方程为什么会产生增根呢？回顾解题过程，哪一步不是同解变形？
解方程是根据等式性质，我们在把分式方程去分母化为一元一次方程时，是将方程两边都乘以一个含有未知数的整式，如(x-3)，这个整式可能使分母等于0，所以解分式方程必须检验。
3、阅读课本106页例1，总结：
①解分式方程的步骤：
②检验时，通常把求得的根代入
4、解方程：
解下列分式方程：
(1)； (2)．
三、学习体会
对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？又存在哪些方面的疑惑？
四、自我测试
1.下列是关于x的分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2.解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（ ）
A．x B． C． D．
3．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4.若关于的分式方程无解，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
5.要把分式方程化为整式方程，方程两边要同时乘以（ ）
A． B． C． D．x
6．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
7．下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
8.对于实数，定义一种新运算“”：．例如，，则方程的解是 ．
9．有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
10．如果关于的方程会产生增根，则 ．
11．已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围 ．
五、思维拓展
某校八年级两个班的“班级小书库”中各有图书本．已知2班比1班人均图书多2本，1班的人数比2班的人数多．求两个班各有多少人？
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9.3分式方程（1）
学习目标：
1、经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程。
2、初步了解解分式方程可能产生增根，并掌握验根的方法，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系和区别。
学习重点：
掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。
学习难点：
理解化分式方程为一元一次方程的依据和过程，明确产生增根的原因。
学习过程：
一、学习准备
1、解方程；
【答案】x=- ; x=-3
2、问题；在相距1600km的两地之间运行一列车，速度提高25%后运行时间缩短了4h。列车提速前的速度是多少？
分析：设列车提速前的速度为xkm/h。
用含的未知数填空；
路程 速度 时间
提速前
提速后
根据运行时间缩短了4h，列出方程：
这个方程与以往的一元一次方程有什么区别？
由此，我们得到分式方程的概念： .
思考：如何解这个方程？
方程两边同时乘以最简公分母 ，得到一元一次方程 ，
解得：x=
写出检验：
【答案】提速前：1600,x,
提速后：1600，（1+25%）x,-4
=-4
这个方程与以往的一元一次方程区别在于分母中含有未知数
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
(1+25%)x; 1600x=1600(1+25%)-4(1+25%)x
x=80
把x=80代入上述分式方程检验
左边=16，右边=16
所以x=80是该分式方程的解
因而，列车提速前的速度为80km/h
二、合作探究
1、依照上面方法解方程；
解：方程两边同乘以最简公分母（x-3)，得
x=-1-2(x-3)
解这个整式方程，得
x=3
2、把解得的根代入原方程检验，你发现了什么？
把x=3代入检验时，方程中分式的分母为0，这时分式无意义，所以不是原方程的根，原方程无解。
像x=3这样的根，称为增根。
解分式方程为什么会产生增根呢？回顾解题过程，哪一步不是同解变形？
解方程是根据等式性质，我们在把分式方程去分母化为一元一次方程时，是将方程两边都乘以一个含有未知数的整式，如(x-3)，这个整式可能使分母等于0，所以解分式方程必须检验。
3、阅读课本106页例1，总结：
①解分式方程的步骤：
②检验时，通常把求得的根代入
【答案】解分式方程的步骤：（1）去分母 （2）按解整式方程的步骤解 （3）验根
4、解方程：
解下列分式方程：
(1)； (2)．
（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：
去分母得∶：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
三、学习体会
对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？又存在哪些方面的疑惑？
四、自我测试
1.下列是关于x的分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【详解】解：A、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；
B、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；
C、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；
D、分母中含未知数，是分式方程，符合题意；
故选：D．
2.解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（ ）
A．x B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解分式方程中的去分母，直接去分母即可得到答案，掌握等式的基本性质是解决问题的关键．
【详解】解：分式方程的最简公分母是，
方程两边都乘同一个整式去分母是，
故选：C．
3．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【详解】解：∵有正数解，
∴，则，
，
去分母，得，，
移项合并，得，，
∵方程的解是正数，
∴，
解得：且，
故选：B．
4.若关于的分式方程无解，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程无解问题，解分式方程得；根据分式方程无解得，故即可求解．
【详解】解：解分式方程得，
解得：
∵分式方程无解，
∴
∴
解得：
故选：D．
5.要把分式方程化为整式方程，方程两边要同时乘以（ ）
A． B． C． D．x
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程．根据最简公分母的确定方法确定分式的最简公分母即可解答．
【详解】解：∵分式的最简公分母，
∴把分式方程转化成整式方程时，方程两边同乘．
故选：A．
6．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】本题主要考查分式方程解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；由题意易得，然后分式方程的解和有意义可进行求解．
【详解】解：由方程可得：，
∵该方程的解为非负数，
∴，且，
解得：且；
故选B．
7．下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的定义，解答的关键是熟知分式的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
【详解】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程，不符合题意；
B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程，不符合题意；
C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程，符合题意；
D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程，不符合题意；
故选：C．
8.对于实数，定义一种新运算“”：．例如，，则方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可．
【详解】解：
∴方程为：
去分母得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
9．有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
【答案】②
【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可．
【详解】解：①是一元一次方程，
②是分式方程，
③（为不等于2的常数），是一元一次方程，
故答案为：②．
10．如果关于的方程会产生增根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根，解此类题的基本步骤：①化分式方程为整式方程求出增根；②把增根代入整式方程求出相关字母的值．
【详解】解：∵方程会产生增根，
∴，
解得：，
原方程去分母得：，
把代入得：，
解得，
故答案为：．
11．已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴，
∴且，
故答案为：且．
五、思维拓展
某校八年级两个班的“班级小书库”中各有图书本．已知2班比1班人均图书多2本，1班的人数比2班的人数多．求两个班各有多少人？
【答案】1班有人，2班有人
【分析】本题考查了分式方程的应用，设2班有人，则一班有人，根据2班比1班人均图书多2本，列方程求解．
【详解】解：设2班有人，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
则．
答：1班有人，2班有人．
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