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9.3分式方程
一、学习目标
1.理解分式方程的概念、分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程。
2.了解分式方程可能产生增根，并掌握验根的方法。
3.能用分式方程表示实际问题中的等量关系。
二、重点难点
1.重点：分式方程的解法和应用。
2.难点：解分式方程可能产生增根原因的理解，列分式方程应用题。
三、预习导学
一、复习巩固：
1、解分式方程的一般步骤：
【答案】（1）去分母 （2）按整式方程方式解 （3）验根
解下列方程：
解：，
方程两边同时乘以得，，
解得：，
当时，，
∴是原方程的解．
二、经典例题：
例2 有一并联电路,如图9-3,两电阻阻值分别为R1，
R2 ,总电阻阻值为R,三者关系为:
若已知R1, R2,求R.
解：方程两边同乘以 RR1R2 ,得
R1R2=RR2+RR1，
即:R1R2 = R(R1 + R2).
因为R1, R2都是正数,所以R1 +R2≠0.
两边同除以(R1 +R2),得
R=
例3 七年级甲、乙两班师生前往郊区参加义务植树活动,已知甲班每天比乙班多种10棵树,如果分配给甲,乙两班的植树任务分别是150棵和120棵,问两个班每天各植树多少棵,才能同时完成任务
解：设乙班每天种x棵树，则甲班每天种10+x棵树，根据题意列方程，得
解方程得，x=40
检验：x =40是原方程的根.
此时x +10 =50.
因而，当乙班每天植树40棵,甲班每天植树50棵时,两个班能同时完成任务.
三、点拨总结：
列分式方程解应用题的方法与一般步骤是：
（1）审—— 审清题意
（2）设——直接设未知数， 或间接设未知数
（3）列——根据找出的等量关系列出分式方程
（4）解——解这个分式方程
（5）验——既要验是否为所列分式方程的根，又要验是否符合实际情况（6）答——完整地写出答案（注意单位 ）
四、巩固提升：
1.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设规定时间为天，则慢马的速度为里/天，快马的速度为里/天，再根据快马的速度是慢马的倍，列出方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，
由题意得，，
故选B．
2．甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出乙每天做个零件，再根据甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同列出方程即可得．
【详解】解：由题意可知，乙每天做个零件，
则可列方程为，
故选：A．
3.已知电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米的行驶费用少0.4元，当两种汽车的行驶费用均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求电动汽车平均每千米的行驶费用，设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则根据题意可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的应用．
设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则燃油车平均每千米的行驶费用为元，当行驶费用为300元时，电动汽车可行驶的总里程为千米，燃油车可行驶的总里程为，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍”即可列出方程．
【详解】设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则燃油车平均每千米的行驶费用为元，根据题意，得
．
故选：D
4．某书店分别用元和900元两次购进该小说，第二次数量比第一次多50套，且两次进价相同．若设该书店第一次该小说购进x套，由题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据第一次购进该小说的总钱数÷第一次购进套数=第二次购进该小说的总钱数÷第二次购进套数列方程可得．
【详解】解：由题意列出方程：
故选：C．
5.某园林绿化工程队承接了60万平方米的园林绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据题意列分式方程．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化面积为万平方米，根据“实际绿化时间比实际绿化时间少30天”即可列出方程．
【详解】解：设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，
依题意得：，
即：．
故选：A．
6．某化肥厂原计划每天生产化肥x吨，由于采取了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，由题意可知等量关系为：原计划生产吨的时间实际生产吨的时间．
【详解】解：原计划生产吨的时间为天，实际生产吨的时间为天．那么所列方程为．
故选：C．
7．数学文化《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得等量关系：慢马速度快马速度，根据等量关系，可得方程．
【详解】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得：
．
故选：A．
8.为了缅怀革命先烈，传承红色精神，某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为．根据题意，可列方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由汽车及骑车师生速度间的关系，可得出汽车的速度为，利用时间路程速度，结合乘汽车的师生比骑车师生少用，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的2倍，且骑车师生的速度为，
∴汽车的速度为，
根据题意得：，
故答案为：．
9.闽江奇秀清澈又雄浑宽阔，江上自然景色和人文名胜交相辉映，旅游资源丰富． 坐游船游览美丽的闽江便是其旅游项目之一． 已知游船在静水中的最大航速为，它以最大航速顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？若设江水流速为，则依题意可列方程 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设江水流速为，则游船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为，再根据时间路程速度列出方程即可．
【详解】解：设江水流速为，
由题意得，，
故答案为：．
10.某超市中秋节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼礼盒．已知购进甲种月饼礼盒的金额是12000元，购进乙种月饼礼盒的金额是8000元，购进甲种月饼礼盒的数量比乙种月饼礼盒的数量少50盒，甲种月饼礼盒的单价是乙种月饼礼盒单价的2倍．
(1)求甲、乙两种月饼礼盒的单价分别是多少元；
(2)为满足消费者需求，超市准备再次购进甲、乙两种月饼礼盒共200盒，若总金额不超过11500元，问最多购进多少盒甲种月饼礼盒？
【答案】(1)甲、乙两种月饼礼盒的单价分别是80元，40元
(2)最多购进87盒甲种月饼礼盒
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设乙种月饼每盒的单价为x元，则甲种月饼每盒单价为元，根据“购进甲种月饼礼盒的金额是12000元，购进乙种月饼礼盒的金额是8000元，购进甲种月饼礼盒的数量比乙种月饼礼盒的数量少50盒”列分式方程求解即可；
（2）设购进m盒甲种月饼礼盒，则购进盒乙种月饼礼盒，根据总金额不超过11500元列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设乙种月饼每盒的单价为x元，则甲种月饼每盒单价为元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
∴，
答：甲、乙两种月饼礼盒的单价分别是80元，40元；
（2）解：设购进m盒甲种月饼礼盒，则购进盒乙种月饼礼盒，
由题意得：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大取87，
答：最多购进87盒甲种月饼礼盒．
11．甲乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的倍．两人各加工1200个这种零件，甲比乙少用5天．
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这样的零件．
(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有4000个这样的零件加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过5400元，那么甲至少加工了多少天？
【答案】(1)甲每天加工个零件，乙每天加工个零件
(2)天
【分析】本题主要考查了分式方程及不等式，正确读懂题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设乙每天加工个零件，根据题意列出分式方程，求解并检验即可；
（2）设甲加工天，乙加工天，根据题意列出方程及不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设乙每天加工个零件，则甲每天加工个零件，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
故甲每天加工个零件，乙每天加工个零件；
（2）解：设甲加工天，乙加工天，
根据题意得：，
由①得③，
将③代入②中，得，
当时，，符合实际意义，
甲至少加工了天．
12．酸辣粉是重庆的特色美食，三峡广场某小吃店推出两款酸辣粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是“肉沫哨子酸辣粉”．已知1份“经典手工酸辣粉”和2份“肉沫哨子酸辣粉”需34元；3份“经典手工酸辣粉”和1份“肉沫哨子酸辣粉”需42元．
(1)求“经典手工酸辣粉”和“肉沫哨子酸辣粉”的单价；
(2)红薯粉条是制作酸辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价．
【答案】(1)“经典手工酸辣粉”的单价是10元，“肉沫哨子酸辣粉”的单价是12元
(2)第三季度红薯粉条的单价为12元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用和分式方程的应用，
（1）设“经典手工酸辣粉”的单价是x元，“肉沫哨子酸辣粉”的单价是y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设第二季度红薯粉条的单价为m元，则第三季度红薯粉条的单价为元，根据题意列出分式方程并求解即可．
【详解】（1）解：设“经典手工酸辣粉”的单价是x元，“肉沫哨子酸辣粉”的单价是y元，
根据题意得：，
解得：
答：“经典手工酸辣粉”的单价是10元，“肉沫哨子酸辣粉”的单价是12元；
（2）设第二季度红薯粉条的单价为m元，则第三季度红薯粉条的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：第三季度红薯粉条的单价为12元．
反思：
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一、学习目标
1.理解分式方程的概念、分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程。
2.了解分式方程可能产生增根，并掌握验根的方法。
3.能用分式方程表示实际问题中的等量关系。
二、重点难点
1.重点：分式方程的解法和应用。
2.难点：解分式方程可能产生增根原因的理解，列分式方程应用题。
三、预习导学
一、复习巩固：
1、解分式方程的一般步骤：
解下列方程：
二、经典例题：
例2 有一并联电路,如图9-3,两电阻阻值分别为R1，
R2 ,总电阻阻值为R,三者关系为:
若已知R1, R2,求R.
例3 七年级甲、乙两班师生前往郊区参加义务植树活动,已知甲班每天比乙班多种10棵树,如果分配给甲,乙两班的植树任务分别是150棵和120棵,问两个班每天各植树多少棵,才能同时完成任务
三、点拨总结：
列分式方程解应用题的方法与一般步骤是：
（1）审—— 审清题意
（2）设——直接设未知数， 或间接设未知数
（3）列——根据找出的等量关系列出分式方程
（4）解——解这个分式方程
（5）验——既要验是否为所列分式方程的根，又要验是否符合实际情况（6）答——完整地写出答案（注意单位 ）
四、巩固提升：
1.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
3.已知电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米的行驶费用少0.4元，当两种汽车的行驶费用均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求电动汽车平均每千米的行驶费用，设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则根据题意可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
4．某书店分别用元和900元两次购进该小说，第二次数量比第一次多50套，且两次进价相同．若设该书店第一次该小说购进x套，由题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.某园林绿化工程队承接了60万平方米的园林绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某化肥厂原计划每天生产化肥x吨，由于采取了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是( )
A． B． C． D．
7．数学文化《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8.为了缅怀革命先烈，传承红色精神，某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为．根据题意，可列方程 ．
9.闽江奇秀清澈又雄浑宽阔，江上自然景色和人文名胜交相辉映，旅游资源丰富． 坐游船游览美丽的闽江便是其旅游项目之一． 已知游船在静水中的最大航速为，它以最大航速顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？若设江水流速为，则依题意可列方程 ．
10.某超市中秋节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼礼盒．已知购进甲种月饼礼盒的金额是12000元，购进乙种月饼礼盒的金额是8000元，购进甲种月饼礼盒的数量比乙种月饼礼盒的数量少50盒，甲种月饼礼盒的单价是乙种月饼礼盒单价的2倍．
(1)求甲、乙两种月饼礼盒的单价分别是多少元；
(2)为满足消费者需求，超市准备再次购进甲、乙两种月饼礼盒共200盒，若总金额不超过11500元，问最多购进多少盒甲种月饼礼盒？
11．甲乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的倍．两人各加工1200个这种零件，甲比乙少用5天．
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这样的零件．
(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有4000个这样的零件加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过5400元，那么甲至少加工了多少天？
12．酸辣粉是重庆的特色美食，三峡广场某小吃店推出两款酸辣粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是“肉沫哨子酸辣粉”．已知1份“经典手工酸辣粉”和2份“肉沫哨子酸辣粉”需34元；3份“经典手工酸辣粉”和1份“肉沫哨子酸辣粉”需42元．
(1)求“经典手工酸辣粉”和“肉沫哨子酸辣粉”的单价；
(2)红薯粉条是制作酸辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价．
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