圆的有关证明(广东省深圳市福田区)

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
圆的有关证明（二）
一、圆中等积式的证明
【知识要点】
证明圆中等积式的方法通常有以下几种：
（1）利用相似三角形的对应边成比例证明．
（2）利用圆幂定理证明．
（3）利用建立起来的等积式，进行线段代换，得出所证的等积式．
（4）证明等积式两边两线段的乘积都等于第三个某两线段乘积．
【典型例题】
例1．如图1，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC边上一点，以BD为直径作⊙O，交AB于E，CE交⊙O于F，BF的延长线交AC于G．求证：GF AC=FC AE．
例2．如图2，已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，DA的延长线交⊙O于点E．求证：．
例3．如图3，已知正方形ABCD内接于⊙O，E为AD上一点，过C点与⊙O相切的CP与ED的延长线相交于点P，求证：．
【针对练习】
1．如图4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB是对角线，过C作DB的平行线CE与AB的延长线交于点E，求证：．
2．如图5，△ABC是⊙O的内接三角形，且BF=FC，AF交BC于D，CE∥AF交⊙O于G，AE是⊙O的切线，求证：．
3．如图6，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，求证：．
4．如图7，已知BC为半圆的直径，AD与半圆相切于点D，在AB上截取AE=AD，过E作EF⊥AB，交AC的延长线于点F，过F作GF∥BC交AB的延长线于点G．求证：（1）AE:AB=AC:AF；（2）．
二、圆中两直线平行的证明
在圆中证明两直线平行，主要是依据圆的有关性质转化角等，求边角关系．
例1．如图1，PA、PB是⊙O的两条割线，且PA=PB，AOC是直径．求证：OP∥BC．
例2．如图2，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，在BC的延长线上取一点P，过P作切线，切⊙O于点F，且PF=PE．求证：PE∥AD．
例3．如图3，四边形ABCD是平行四边形，经过A、C的圆分别交AB、CD、AD的延长线于点E、F、G、H，连结EF、GH．求证：EF∥GH．
【针对练习】
1．如图4，⊙和⊙相交于点B和点C，A是⊙上一点，AT为⊙的切线，AB和AC的延长线分别交⊙于点D和点E．求证：AT∥DE．
2．如图5，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，过D作⊙O的切线，交BC于E．求证：OE∥AC．
3．如图6，⊙和⊙相交于C、D两点，点在⊙上，直线MN是过点C的⊙的切线，C交⊙于点A，连结AD并延长交⊙于点B，求证：B∥MN．
4．如图7，已知PT是⊙O的切线，T为切点，过PT的中点M作割线交⊙O于点A、B，连结PA、PB，并延长交⊙O于点D、C，求证：PT∥CD．
5．如图8，△ABC内接于⊙O，BH是⊙O的切线，⊙O的割线HDG分别交BC和AC于点E、F，且．求证：AB∥DP．
6．如图9，过⊙O外一点P作⊙O的切线和割线，切线PA切⊙O于点A，割线交⊙O于点B和点C，以P为圆心，PA长为半径作⊙P，设D是⊙P上的一点，连结CD交⊙O于E，连结DB并延长交⊙O于F．求证：EF∥DP．
三、圆中两条直线垂直的证明
在圆中，证明两条直线互相垂直的方法主要有以下几个：
（1）平分弦（或弧）的直径必垂直于该弦．
（2）过切点的半径垂直于切线．
（3）直径所对的圆周角是直角．
（4）相交两圆的连心线垂直于公共弦．
（5）两相切圆的连心线垂直于过切点的公切线．
例1．已知：如图1，⊙O的直径AB与弦CD相交于G，E是CD延长线上的一点，连结AE交⊙O于F．若．求证：AB⊥CD．
例2．设BD、CE为△ABC的两条高线，O为△ABC的外心，则OA⊥DE．
例3．已知：如图3，BC是⊙O的直径，点A为CB延长线上一点，且AB=BC=2，作割线APM交⊙O于点P、M，使AP:PM=3:2，连结MO．求证：MO⊥AC．
【针对练习】
1．如图4，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交AC于E，交BC于D，过点E作半圆的切线EF，交OD的延长线于点F，连结FB．求证：AB⊥FB．
2．如图5，⊙O内接四边形ABCD中，延长AB、DC交于E，且∠E=∠ADB，AF是⊙O的直径．求证：AF⊥CD．
3．如图6，⊙O与⊙A的公共弦是BC，点A在⊙O上，PB交⊙A于D，PA交CD于E，求证：PE⊥CD．
4．如图7，⊙与⊙相切于点C，它们的外公切线AB（A、B为切点）交的延长线于点P．求证：（1）AC⊥BC；（2）．
7.如图8，AB是半圆O的直径，过A、B引弦AC与BD相交于E，又过C、D作圆的切线，交于点P，连结PE．求证：PE⊥AB．
【作业】日期 姓名 完成时间 成绩
1．已知:PA、PB切⊙O于点A、B，C为AB上一点，CD、CE、CF分别垂直AB、PB、PA于点D、E、F．求证：．
2．如图1，AT切⊙O于T，ADB交⊙O于D、B，BC是⊙O的的直径，在AB上截取AE=AT，过E作AB的垂线EF，交AC的延长线于F，求证：．
3．如图2，⊙O的内接四边形ABCD中，AD=CD，AC交BD于点E．
求证：（1）；（2）．
4．如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BA、CD的延长线交于E，FG切⊙O于G，且与CB的延长线交于F．若FG=FE，求证：AD∥FE．
5．如图4，⊙和⊙相交于A、B两点，过点A的直线交两圆于C、D，过点B的直线交两圆于E、F．求证：EC∥FD．
6．如图5，AB是⊙O 的直径，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PCB交⊙O于点C、B，M是BC的中点，AM交PB于E，PD是∠APB的平分线．求证：PD⊥AM．
A
G
C
D
F
E
O
B
图1
B
O
图2
A
M
D
C
E
A
B
C
D
E
P
O
图3
A
B
E
C
D
O
图4
A
C
F
G
D
O
图5
B
E
C
F
O
图6
D
E
A
P
B
A
B
G
F
C
O
E
H
D
图7
A
C
O
图1
B
P
C
O
图2
A
E
F
B
P
D
F
图3
A
B
D
C
H
G
E
A
C
D
图4
T
B
E
图5
D
B
A
C
E
O
A
C
图6
B
D
N
M
O
T
A
P
B
C
图7
M
D
O
A
C
图8
B
H
D
G
E
F
O
A
C
图9
B
P
D
F
E
O
A
B
图1
EH
C
D
FH
G
图2
A
B
C
E
D
OD
图3
M
B
C
OD
A
P
A
B
O
D
F
C
E
图4
A
E
B
C
F
O
D
图5
A
E
D
C
B
P
O
图6
A
B
C
P
O1
O2
图7
A
B
O
P
C
D
图8
E
A
C
F
O
图1
B
D
E
T
C
E
O
图2
B
D
A
D
O
图3
A
B
E
C
G
F
A
B
D
C
E
F
图4
B
C
P
E
A
D
O
图5
M
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网