2023-2024学年上海市嘉定二中高二年级下学期
3月月考数学试卷
2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.若，则______.
2.设抛物线的准线方程为______.
3.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.
4.某医疗机构有4名新冠疫情防控志愿者，现要从这4人中选3个人去3个不同的社区进行志愿服务．则不同的选择办法共有 ______种.
5.已知直线，，当时，则直线与之间的距离是______.
6.直线被圆所截得的弦长等于，则______.
7.已知数列的前项和，则______.
8.无穷等比数列满足，则首项的取值范围是______.
9.空间内7个点，若其中有且只有4点共面，但无3点共线，可组成 个四面体.
10.在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为______.
11.已知抛物线与椭圆有公共焦点，椭圆的另一焦点为是这两曲线的一个交点，则的面积为______.
12.已知点是双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）．
13.给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线的”（ ）条件.
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
14.用数学归纳法证明时，在证明等式成立时，此时等式的左边是
A．1 B． C． D．
15.等差数列的前项和为，若当首项和公差变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是
A． B． C． D．
16.已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片，则额外获得2分．
（1）求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得7分的不同的抽法种数
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在长方体中（如图），，点是棱的中点.
（1）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体是否为鳖臑？并说明理由；
（2）求直线与直线所成角的大小.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知双曲线为双曲线上的任意点
（1）求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小；
（2）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数。
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设各项均为整数的无穷数列满足，且对所有，，均成立．
（1）求的所有可能值；
（2）若数列使得无穷数列、、、、、是公差为1的等差数列，求数列的通项公式；
（3）求证：存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2024．
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2．已知直线与椭圆相交于、两点，且与轴，轴交于、两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的值；
（3）若点的坐标为，求证：为定值2023-2024学年上海市嘉定二中高二年级下学期
3月月考数学试卷
2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.若，则______.
【答案】7
【解析】
2.设抛物线的准线方程为______.
【答案】
【解析】准线方程为
3.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意得
4.某医疗机构有4名新冠疫情防控志愿者，现要从这4人中选3个人去3个不同的社区进行志愿服务．则不同的选择办法共有 ______种.
【答案】24
【解析】从4人中选3个人去3个不同的社区进行志愿服务．
不同的选择办法共有：种
5.已知直线，，当时，则直线与之间的距离是______.
【答案】
【解析】直线，，，
，解得，
故，，即，
故直线与之间的距离是
6.直线被圆所截得的弦长等于，则______.
【答案】
【解析】由于圆的半径为，弦长等于，故弦心距．
再根据点到直线的距离公式可得，求得
7.已知数列的前项和，则______.
【答案】448
【解析】
8.无穷等比数列满足，则首项的取值范围是______.
【答案】
【解析】
9.空间内7个点，若其中有且只有4点共面，但无3点共线，可组成 个四面体.
【答案】34
【解析】根据题意，空间内7个点，从中任选4个，有种选法，
其中有且只有4点共面，且无3点共线，则选出4点不共面的情况有种，
即可以组成34个四面体
10.在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为______.
【答案】
【解析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以平面的一个法向量．
点到平面的距离为．
11.已知抛物线与椭圆有公共焦点，椭圆的另一焦点为是这两曲线的一个交点，则的面积为______.
【答案】
【解析】因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得
所以椭圆方程为
由，得，解得或（舍去）
所以，即点
又因为，所以的面积为
12.已知点是双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为______.
【答案】
【解析】设△的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，
，，，
由题意得，
故，
双曲线的，，代入上式得：
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线的”（ ）条件.
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
【答案】A
【解析】反例：无数条直线在平面内是平行线
故选A
14.用数学归纳法证明时，在证明等式成立时，此时等式的左边是
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】用数学归纳法证明，
在验证时，把当代入，左端．
故选：．
15.等差数列的前项和为，若当首项和公差变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为定值，
故为定值，
则为定值，
故选：．
16.已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】C
【解析】方程变形为，
表示动点到点和直线的距离相等，
所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线．
故选：．
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片，则额外获得2分．
（1）求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得7分的不同的抽法种数
【答案】（1）24；（2）30
【解析】
（1）根据题意，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．
则学生甲抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的情况有种，
（2）学生乙最终获得7分，有2种情况，
①抽中3张“龙”卡和其他任意一张卡片，有种抽法，
②抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片，有24种抽法，
则有种抽法
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在长方体中（如图），，点是棱的中点.
（1）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体是否为鳖臑？并说明理由；
（2）求直线与直线所成角的大小.
【答案】（1）是；（2）
【解析】（1）在长方体中，，
点是棱的中点，，
，
平面平面，
平面，
平面，
四面体为鳖臑.
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
直线与直线所成角的大小为.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知双曲线为双曲线上的任意点
（1）求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小；
（2）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数。
【答案】（1），；（2）
【解析】
（1）由题意得，双曲线的渐近线为，化为一般式为
设渐近线的夹角为，则
则渐近线的夹角为
（2）设是双曲线上任意一点，
可得，
该双曲的两条渐近线方程分别是和，
点到两条渐近线的距离分别是和，
它们的乘积是．
点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设各项均为整数的无穷数列满足，且对所有，，均成立．
（1）求的所有可能值；
（2）若数列使得无穷数列、、、、、是公差为1的等差数列，求数列的通项公式；
（3）求证：存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2024．
【答案】（1），3，7．；（2）；（3）见解析
【解析】
（1），，
或，
又，
当时，或；当时，或．
的所有可能取值为，3，7．
（2）、、、，、是公差为1的等差数列，
，
为奇数时，，
为偶数时，由，
得，，
，
．
（3）证明：由（2）可知，存在、、、、、是公差为1的等差数列，
在该数列中，有，记，
令，，，，
则，，
同理，
存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2024
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2．已知直线与椭圆相交于、两点，且与轴，轴交于、两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的值；
（3）若点的坐标为，求证：为定值
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【解析】
（Ⅰ），
，代入得．
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，
即，即，以上各式联立解得，，
则椭圆方程为．
（2）直线与轴交点为，与轴交点为，
联立消去得：，
△，
设，，，，则，
又，，，，由得：，
解得：．由得；
（3）证明：由（2）知，，
，，，
，
，
，
为定值．
为定值
