2.1.1(一) 椭圆及其标准方程（一）
【学习目标】1、通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。
2、通过对椭圆标准方程的推导的教学，提高对各种知识的综合运用能力．
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程
难点：椭圆的标准方程的推导
【课前导学】阅读《选修1-1》课本P32～34的内容后回答下列问题：
1、实验探究：取一条定长的细绳,把它的两端都固定在画板的同一点上，套上铅笔，拿紧绳子，移动笔尖，这时笔尖移动的轨迹是______；若把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拿紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是________，移动的笔尖所满足的条件是___________________________________。
2、椭圆定义：平面内与两个______ F和F的距离之____等于常数( )的点的轨迹；这两定点叫___________，两焦点间的距离叫____________。
3、椭圆的标准方程
(1)建系：以___________________为轴，________________为轴，
建立直角坐标系,如图
(2)设点：设M (，)是椭圆上任一点，焦距为2(>0)，则焦点
F、F的坐标分别是________、_________，设M到焦点F、F的距
离之和为2(>0)。
(3)限制条件：由椭圆定义可知点M所满足的关系式为：=______，
(4)由两点间的距离公式得：=__________________，=__________________，故点M 所满足的方程为：_____________________。
(5)化简：通过移项，平方，整理得：=1……①
由椭圆的定义可知道，2>2>0，即>>0，故>。如右图，令
，可知>，则①
可写成：=1(>>0) ……②
称②式为椭圆的标准方程，它表示焦点在_____轴上，两焦点坐标分别为__ __、___ __。
4、焦点在轴上，且F(0，—)、F(0，)，的意义同上，则椭圆的方程是
_________________________。
5、思考：若F(—3，0)和F(3，0)，且=6，则动点M的轨迹为____________，
【预习自测】
1、指出下列方程中的的值，焦点的位置和坐标。
⑴； ⑵；⑶； ⑷。
2、椭圆上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A、5 B、6 C、4 D、10
3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a=4,b=3,焦点在x轴； （2）a=6,c=1焦点在y轴上
（3）两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
【典例探究】
例1、若椭圆两焦点的坐标分别是F(—3，0)、F(3，0)，且过点M (，2)，求它的标准方程。
变式：求过点P(—，2)、Q(，—)的椭圆的标准方程。
【总结与提升】
【反馈检测】
1、椭圆的两焦点分别是F(—8，0)、F(8，0)，且椭圆上一点到两焦点距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )：
A、=1 B、=1 C、=1 D、=1
2.椭圆的焦点坐标是（ ）
?A.(±5，0)? B.(0，±5) ?C.(0，±12)? D.(±12，0)
3、设F1、F2是椭圆=1的焦点：
(1)P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为_______；
(2)若CD为过左焦点的弦，则的周长为 。
4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
5、求过点P(，)、Q(，1)的椭圆的标准方程。
课件16张PPT。13:17:511复习：1.椭圆的定义:到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2椭圆的几何性质二、椭圆 简单的几何性质1、范围： -a≤x≤a, -b≤y≤b
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中2、椭圆的顶点令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（ ），
令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（ ）。*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。0, ±b±a, 0*长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。焦点总在长轴上!3.椭圆的对称性3、椭圆的对称性 把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称；
把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称；
把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关于( )对称；中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。Y X 原点 根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4、椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁因为 a > c > 0，所以0
长轴长是： ，短轴是： ，焦距是： ，
离心率等于： ，焦点坐标是:____________________,
顶点坐标是____________________
2、比较下列每组中的椭圆的形状，那一个更圆，那一个更扁？
为什么？
更圆更圆【典例探究】例1、求椭圆 长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标，离心率大小。解：椭圆画成标准方程为：则，a=10,b=6,c=8,且焦点在x轴上
长轴长为：20，短轴长为：12，
焦点坐标为： ，
顶点坐标为： ， ，
离心率为： 。
变式：若椭圆过(3,0)，离心率e＝ ；求椭圆的标准方程解：（1）若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆画成标准
方程为： ，则，解得：故椭圆的方程为：（2）同理焦点在y轴上椭圆的方程为：故椭圆的方程为： 或例2：彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行回到是以太阳为一个焦点的椭圆。测得轨道的近日点，（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心4.514天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约1.5*10^8km），且近日点，远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程。
yxo解：如图，A为近日点，B为远日点，F1为太阳，建立如图所示的直角坐标，设椭圆的标准方程为：轨道方程为：
1.基本量: a、b、c、e
几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；
相互关系： 总结提升：椭圆中的基本元素2.基本点：顶点、焦点、中心3.基本线: 对称轴（共两条线）焦点总在长轴上。【反馈检测】1、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，
则该椭圆的离心率是( )3、如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．
4、已知地球运行的轨道是长半轴长a=1.50*10^8km，离心率e=0.0192的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离。
最大距离= a+c=1.5288*10^8km 最小距离=a-c=1.4712*10^8km2.1.1椭圆及其标准方程（二）
【学习目标】
1．掌握点的轨迹的求法，学会相关点(坐标转移)求曲线的方程；
2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程
教学难点：掌握点的轨迹的求法
【问题导学】阅文科《选修 1—1》P或理科《选修2—1》P 后，求解下列问题：
若点A(—2，0)，动点B在圆=4上运动，则线段AB中点M的轨迹方程是
___________________________。
2、椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝( )
A．－1 B．1 C. D．－
【预习自测】点的坐标是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是，则点M的轨迹方程是_________________________。
【知识拓展】已知方程=1，则当A、B满足_____________时，此方程表示圆；
则当A、B满足_____________时，方程表示椭圆；当A、B满足_____________时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当A、B满足_____________时，此方程表示焦点在轴上的椭圆。
【典例探究】
例1、若A(—5，0)、B(5，0)，直线相交于点，且它们的斜率之积是—，
求动点M的轨迹。
例2、若在圆=16上任取一点P，过点P作PD⊥轴于D。当点P在圆上运动时，线段PD
的中点M的轨迹是什么？
变式：若点在的延长线上，且，则点的轨迹又是什么？
【总结提升】～求轨迹(曲线)方程的方法：直接、相关点(坐标转移)、定义、待定系数法等。
①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；
②相关点法：寻求点的坐标与中间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程．．
【课后作业】
1、把圆=9上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，所得到的曲线的方程是( )
A、=1 B、=1 C、=1 D、=9
2．若的个顶点坐标、，的周长为，则顶点C的轨迹方程为（ ）．
B． C． D．
3、从圆=9上任一点P向轴作垂线段PQ，点MPQ，且，
求点M的轨迹方程。
4、已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
课件13张PPT。分母哪个大，焦点就在哪个轴上a2=b2+c2|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)复习回顾：椭圆的标准方程
焦点位置的判断建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标.写出曲线上动点M适合的条件p的集合P={M|p(M)}用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0化方程f(x,y)=0为最简形式建系、设点、列式、化简、证明检验方程为满足条件的方程Bx=-3(y ≠0)A=B，A>0且B >0A>0,B>0;A≠BA>B>0B>A>0焦点位置的判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上例题展示一个椭圆（除去A、B两点）一个椭圆（除去（0，±4）两点）（x≠0）一个椭圆（除去（0，±4）两点）（x≠0）CD【总结提升】课件13张PPT。选修1、2—1第二章 圆锥曲线椭圆的简单几何性质2-a≤ x≤ a,-b≤ y≤ b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b. a>bc2=a2- b2x【复习引入】-b≤x≤ b,-a≤y≤ a关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)长半轴长为a,短半轴长为b. a>bc2=a2- b2【问题导学】>=<【问题导学】【预习自测】AAC【合作探究】初步应用，快速作答所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、8的椭圆。分析：若设M(x,y)是椭圆上到直线l距离最近的点，利用点到直线的距离公式可以求出最大值吗？请同学们试一试。很显然这种方法很难求解。
请同学们想想还有其它解法吗？ 通过直线的平移，使直线m与椭圆相切，此时的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最小距离。 xyOlm【合作探究】规范解答解：因为直线l与椭圆不相交，把直线l平移到m与椭圆相切，则可设直线m：得：3x2+4nx+2n2-2=0则△=16n2-4×3(2n2-2)=0解之得：4x-5y+n=0由图可知：当 时直线m与椭圆的交点P到直线l的距离最远，由 解得：故，直线l到椭圆的最大距离为：【合作探究】规范解答【小结反思】这节课我的收获是什么？点差法【课后作业】椭圆【课后作业】
§2. 1(2).2 椭圆的简单的几何性质（二）
【问题导学】请阅文科《选修1—1》P或理科《选修2—1》P ：
1、点P(x0， y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：(1)点P在椭圆上?＋ 1；
（2）点P在椭圆内部?＋ 1；（3）点P在椭圆外部?＋ 1。
2、直线与椭圆的位置关系判断方法：联立，消去得到方程，则有(1)△ 0(直线与椭圆相交(有两个公共点；
(2)△ 0 (直线与椭圆相切(有且只有一个公共点；
(3)△ 0 (直线与椭圆相离(无公共点．
3、（理科）弦长公式：设直线，椭圆方程.直线与椭圆的两个交点为， 则
【预习自测】
1.点A(a,1)在椭圆的内部，则a的取值范围是( )
A．－ C．－22．直线与椭圆的位置关系为( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
3．直线被椭圆所截得的线段的中点坐标是 ( )
A． B. C． D．
【典例探究】
例1、点M()与定点F(3，0)的距离和它到直线：=的距离之比是，求动点M的轨迹。
例2、椭圆=1上是否存在一点M，它到直线：—+3=0的距离最大？最大距离是多少？
变式：已知椭圆和点，直线经过点P且与椭圆交于A、B两点.
（1）当直线的斜率为时，求线段AB的长度； （2）当P点恰好为线段AB的中点时，求的方程.
【课后作业】
1、满足+=10的动点M()的轨迹是______，方程为____ _。
2、点M()与定点F(2，0)的距离和它到直线：=8的距离之比是，则动点M的轨迹方程是_________。
3、过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________
4、动圆M与⊙C1：=4外切，同时与⊙C2：=100
内切，求动圆M的圆心M的轨迹。
5、(理科)若直线：=(+1) 交椭圆=1于A、B两点，求|AB |。
