§2.3(4).1 抛物线及其标准方程
【问题导学】=(≠ 0)的图像是抛物线，你知道它有哪些几何性质？请阅文科
《选修1—1》P或理科《选修2—1》P后，完成下列问题：
1、二次函数=(≠ 0)的顶点坐标是 ，对称轴方程为 。
2、二次函数=的顶点坐标是 ，对称轴方程为 ；开口向 。
3、抛物线定义：平面内到定点F的距离与到不过F的定直线的距离 的点的轨迹。
点F叫抛物线的 ，直线叫 。定点F能否在定直线上？为什么?
4、抛物线的标准方程有哪些不同形式？填下表(焦点到准线的距离>0)：
标准方程
=2
=—2
=2
=—2
图形
焦点坐标
准线方程
依定义得|MF|=|MH|=
+
||+
【预习自测】填表：1、
各小题条件
(1)焦点是F(3，0)
(2)准线是x=2
(3)对称轴是x轴，顶点与焦点的距离为8
(4) 焦点到准线
的距离为3
抛物线的标准方程
2、
标准方程
(1)=20x
(2)=4
焦点到准线的距离
焦点坐标
准线方程
【典例探究】
例1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1) =4； (2)=； (3)2+5 x=0； (4)+8=0。
【小结】一整形(整成四种标准形式的一种)；二定位(确定焦点所在位置)；三定量(求)。
例2、一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面4米时，水面宽8米：
(1)建立适当的平面直角坐标系，求出此拱桥所在的抛物线方程；
(2)若水面上升2米，则水面宽度为多少米(可用无理数表示)？
此时一宽为4米的船能安全过桥吗(船高忽略不计)？
【总结提升】
(1)体会椭圆、双曲线、抛物线的统一性之一；(2)辩证地看待适当的坐标系。记住四种标准形式，不能混淆。(3)数形结合思想及方程思想是本课最重要的思想与方法。
【课后作业】
1、填下表：
所给抛物线方程
(1)=2
(2)4+3=0
(3)2+x=0
(4)—6x=0
抛物线标准方程
焦点坐标
准线方程
2(12佛山)探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点F处，灯口直径60，
灯深40，则光源F到反射镜顶点O的距离是_______。
3、若=4x上一点M到焦点的距离为2，则M到准线的距离为_________，
且点M坐标是___________________。
4、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上
5、（选做）抛物线=4x上的点M( )到A(4，2)的距离与M到焦点F的距离之和|AM|+|FM|最小： A、(4，4 ) B、(1，2 ) C、(，1 ) D、(2，2)
提示：如图，由抛物线定义得|FM|=|HM|，故即求|AM|+|HM|取最小值的点M。
而在ΔA HM中，|AM|+|HM|>|AH|。何时能把“>”改为“=”呢？
课件19张PPT。2.3.1抛物线及其标准方程问题导学1、二次函数y= (a≠ 0)的顶点
坐标是__________，对称轴方程为 。
2、二次函数y= 的顶点坐标是 ，对称轴方程为 。如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？
问题导学3、抛物线定义：平面内到定点F的距离与到不过F的定直线l的距离 的点的轨迹。 点F叫抛物线的 ，直线叫抛物线的______ 。定点F能否在定直线上？为什么?相等焦点准线否是一条过点F垂直l的直线结合求曲线方程的步骤，类比椭圆、
双曲线方程的推导过程，怎样求抛物线的标准方程．K设︱KF︱= p设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知，问题导学4推导抛物线方程思考：这里的p的几何意义是什么？（抛物线的标准方程）以不同的方式建立坐标系，就能得到不同的标准方程以不同的方式建立坐标系，就能得到不同的标准方程图 象标准方程焦 点(F)准 线(l)y2=2pxx2=2pyx2=－2pyy2=－2px 抛物线的四种标准方程：p>0图 象|MF|= 抛物线的四种标准方程：p>0MMMM预习自测：填表：1、预习自测：填表：2、原方程标准方程焦 点准 线 例1 例2、一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面4米时，水面宽8米. (1)建立适当的平面直角坐标系，求出此拱桥所在的抛物线方程； (2)若水面上升2米，则水面宽度为多少米(可用无理数表示)？ 此时一宽为4米的船能安全过桥吗(船高忽略不计)？ BACD(4,-4)(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程方法
一整形(整成四种标准形式的一种)；
二定位(确定焦点所在位置)；
三定量(求p）
(2)求抛物线方程方法，待定系数法，不确定焦点的可设为
记住四种标准形式，不能混淆，。
(3)数形结合思想及方程思想是本课最重要的思想与方法。 总结提升原方程标准方程焦 点准 线 课后作业12、(12佛山)探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点F处，灯口直径60cm， 灯深40cm，则光源F到反射镜顶点O的距离是_________cm。 课后作业BOFAxy(30,40)3、若 =4x上一点M到焦点的距离为2，则
M到准线的距离为____，且点M坐标是______。
课后作业2kOFMxy4、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上5、抛物线 =4x上的点M( )到A(4，2)的距离与M到焦点F的距离之和|AM|+|FM|最小：
A、(4，4 ) B、(1，2 )
C、( ，1 ) D、(2，2 )
课后作业BkOFAMxy(4,2)课件11张PPT。图 象标准方程焦 点(F)准 线(l)y2=2pxx2=2pyx2=－2pyy2=－2px 抛物线的四种标准方程：p>0问题导学K图 象|MF|= 抛物线的四种标准方程：p>0MMMM范围对称轴顶点离心率问题导学结论：抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线. 抛物线由P决定开口大小 ， P越大开口越大，而椭圆、双曲线由e决定拓展探究：（1）过抛物线的 且垂直于 的弦称为通径.（2）过抛物线 的焦点 且不垂直于x轴的直线 与抛物线相交于 ，求 .焦点对称轴（2）过抛物线 的焦点 且不垂直于x轴的直线 与抛物线相交于 求预习自测1、抛物线 的准线方程是 ，则 的值为（ ）
2 、求《选修1-1》P63或《选修2-1》P72第1题
（顶点在原点）
(1)关于x轴对称，且过点M(5，-4)：_______；
(2)焦点是F(0，5)：_______；
(3)准线是x=4：___________。
(4)焦点F（0，-8）准线y=8 3、过点M（2，0）作斜率为1的直线，交抛物线 于 A,B两点，求 .B例1、已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程 变式、求顶点在坐标原点、对称轴为坐标轴、且过点
的抛物线的标准方程。 例2、斜率为2的直线过抛物线 =4x的焦点F，且交抛物线于A、B两点，求：(1)线段AB的中点M到y轴的距离；(2)|AB|；(3)线段AB的中点M到 =4x准线的距离|MN|。OxyABFM总结提升(1)待定系数法求抛物线的标准方程；
(2)求弦长方法：
法一)：联立方程组解出交点坐标，再用两点间的距离公式；
法二)：斜率为k的直线和曲线C相交所得的弦长|AB|= 。
特别地，过抛物线焦点的弦长
|AB|= 或【课后作业】1、过抛物线 =2x的焦点的弦为AB，
设A(x1，y1)、B(x2，y2)。若x1 +x2 =3，
则|AB|=___。 423、已知抛物线顶点在原点对称轴与椭圆 短轴所在的直线重合，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程。思路点拔解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程4、在抛物线 上求一点P，使点P到直线 ： 的距离最短。 【课后作业】P§2.3.2 抛物线的简单几何性质(一)
【问题导学】阅读<<选修1-1>>P60-61或<<选修2-1>>P68-69完成下表：
1、抛物线的几何性质列表如下：
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
顶点
离心率
结论:抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线. 抛物线由P决定开口大小 ， P越大开口越大，而椭圆、双曲线由e决定
拓展探究：（1）通径：过抛物线的 且垂直于 的弦称为通径.
（2）过抛物线的焦点且不垂直于x轴的直线与抛物线相交于求
【预习自测】
1、抛物线的准线方程是，则的值为（ ）
A、 B、 C、8 D、
2 、求《选修1-1》P63或《选修2-1》P72第1题
（1）____________________ （2） （3） （4）
3、过点M（2，0）作斜率为1的直线，交抛物线于A,B两点，求
【例题探究】
例1．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程
变式：已知抛物线顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点，求它的标准方程
例2、 斜率为2的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长。
【小结提升】
（1）待定系数法求抛物线方程
（2）求弦长方法：法一：联立方程组解出交点坐标，再用两点距离公式；法二：韦达定理，弦长公式。
过焦点的弦长可以用抛物线定义公式
（3）抛物线的几何性质.（对称性、范围、顶点、离心率）
【课后作业】
过抛物线的焦点的弦AB,设A (x1 ， y1) 、B (x2 ， y2) .若x1 +x2 =3，则等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
抛物线的弦AB垂直于x轴，若AB的长，则焦点到AB的距离为
3、已知抛物线顶点在原点，对称轴与椭圆短轴所在的直线重合，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程。
4、在抛物线上求一点P，使得点P到直线y=x+3的距离最短。
课件17张PPT。选修1、2—1第二章 圆锥曲线抛物线的简单几何性质2【复习引入】【预习自测】CBBFxy问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？【课内探究】问题导学1交22交11切00离⑴只有一个公共点⑵有两个公共点⑶没有公共点判断直线与圆锥曲线位置关系的操作程序：把直线方程代入曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的
对称轴平行相交（一个交点） 计 算 判 别 式【方法小结】变式：过抛物线y2=4x 焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴。【课堂小结】（3）无论是弦长问题,还是中点问题,以及对称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.【检测反馈】CBAB5、直线y=x—2交 = 2x于A、B两点，
求证：OA⊥OB 思考、直线y=x—2交 = 2px于A、B两点，
且OA⊥OB，如何求正数p的值？ 由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。因为x轴垂直于AB，且 ，6、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,AB(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.X1>0，X2>0，2p>0,X1=X2.所以(x1,y1)(x2,y2)2.4.2 抛物线的几何性质（二）
【课前导学】阅读教材后，完成下列问题：
1. 在直角坐标系中证明过两点的直线与坐标轴平行，可转化为证明这两点的 相等.
2. 点M在抛物线上时,点M的坐标可设为 ,点M到焦点的距离为 .
3. 直线与抛物线联立,消去.
(1) k=0时，a=0，直线=与抛物线有 个交点，即相______。
(2) k≠0时，a≠0： ①Δ>0，方程(*)有____个解，直线=+与抛物线有_____个交点，即相____；
②Δ=0，方程(*)有____个解，直线=+与抛物线有_____个交点，即相____ ；
③Δ<0，方程(*)有____个解，直线=+与抛物线有_____个交点，即相____。
4.过抛物线的焦点且斜率为k的直线交抛物线于两点，则有
， ，|AB｜＝ .
5. 直线与抛物线相交于两点,则 .
【预习自测】
1. 直线与抛物线的公共点的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）1或2 （D）可能为0
2. 直线与抛物线交于两点,且的中点的横坐标为2,则的值是（ ）
（A）-1 （B）2 （C）-1或2 （D）以上都不是
3. 已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上一点P(－3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为 ( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x
【课内探究】
例1、已知抛物线，直线l过定点P(0，1)，当其斜率为何值时，直线l与抛物线：
(1)有1个公共点； (2)有2个公共点； (3)无公共点？
变式：过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
例2、已知抛物线与直线相交于两点.
(1) 求证: ; (2) 当的面积等于时,求的值.
【小结提升】直线和抛物线的位置关系问题、弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等问题可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.
【检测反馈】
1、过点P(0，1) 且与抛物线=x只有1个公共点的直线有( )
A、1 B、2 C、3 D、4
2、直线与抛物线交于两点,且的中点的横坐标为2,则的值是（ ）
（A）-1 （B）2 （C）-1或2 （D）以上都不是
3、直线与抛物线交于两点为坐标原点,且,则的值是（ ）.
(A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -1
4、过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
5、直线与抛物线相交于A、B两点，求证：
(思考：直线与抛物线相交于A、B两点，且，求p的值。)
6、(理)已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长。
