3.3.1 函数的单调性与导数(一)
【课前导学】 1、判断函数的单调性有哪些方法？判断y=x2-4x+3的单调性，并指出其单调区间？
思考：如果遇到函数：y=2x3-6x2+7判断单调性呢？还有其他方法吗？
2、【探究1】 观察下面函数的图象，并探讨函数的单调性与其导数正负的关系
函数
定义域
导数
增区间
增区间上导数的正负
减区间
减区间上导数的正负
4、函数的单调性与导数的关系: 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内 ；如果，那么函数在这个区间内 。
特别的，如果，那么函数在这个区间内是 ．
【预习自测】 1、（1）函数的减区间是 ；
（2）函数的增区间是 ；减区间是 .
2、（1）函数的增区间是 ；
（2）函数的增区间是 ；减区间是 .
3、函数在上（ ）A、是增函数B、是减函数 C、有最大值D、有最小值
【典例探究】
例1、已知导函数的下列信息：当时，；
当，或时，；当，或时，.
试画出函数图像的大致形状．
变式1：课本P93练习第2题
例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）；（2）；（3）.
变式2：P93 练习 第4题
【课后作业】
1、函数y=x+（x>0）的单调减区间为（ ）
A. （2，＋∞） B. （0，2） C. （，＋∞） D. （0，）
2、若在区间内有，且，则在有（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
3、函数在区间 递增。
4、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1）；（2）；
（3）；（4）.
5、讨论二次函数的单调区间.
课件17张PPT。3.3.1函数的单调性与导数（一）复习引入：1、一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.(2)作差f(x1)－f(x2) (作商)2．用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取x1、x2∈D，且x1< x2.(4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与０比较)(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)结论练习：判断函数y=x2－4x＋3的单调性.定义法增区间：(２，+∞).减区间：(－∞，２).图象法思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？
下面我们通将过函数的y=x2－4x＋3图象来考察单调性与导数有什么关系【学习目标】
1．探索函数的单调性与导数的关系；会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。
2.能由导数信息绘制函数大致图象。
重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。
难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
2.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结: 该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负; 而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变. 在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.y ‘= x结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间注意:1、如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数如果f′(x)<0, 则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.如果f′(x)>0, 示例：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.故，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)单调递减区间(0,2)说明：当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单调性发生改变.小结：根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f′(x)>0,得函数递增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数递减区间.示例：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.故，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)单调递减区间(0,2)4.求出函数的导数.【预习自测】 例1、已知导函数的下列信息：试画出函数 图象的大致形状。分析：题型：应用导数信息确定函数大致图象【典例探究】 解： 的大致形状如右图：(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类)高考试练习：尝设 是函数 的导函数， 的图象如
右图所示,则 的图象最有可能的是( )变式1：
课本P93练习第2题2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状Oabcxy变式1：课本P93练习第2题解:(1) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递减.(2) 因为 , 所以 当 , 即 时, 单调递增;当 , 即 时, 单调递减.【典例探究】 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：故，所求函数增区间为减区间为(1)的图象(2)的图象总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、
单调区间较简便？2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？【总结提升】注：单调区间不以“并集”出现。 【课后作业】DA解: 由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是 由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是3.3.1 函数的单调性与导数(二)
【课前导学】
函数的单调性与导数的关系:
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内 ；如果，那么函数在这个区间内 。
特别的，如果，那么函数在这个区间内是 ．
【基础练习】
1、是( )
A、单调递增函数 B、单调递减函数
C、部份单调增，部分单调减 D、单调性不能确定
2、(12辽宁)函数的单调递减区间为( )
A、 B、 C、 D、
3、函数的单调减区间是___________________________.
【典例探究】
例1、 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
变式：
例3：求证：方程只有一个根。
【课后作业】
1、下列函数中，在内为增函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、P110 复习参考题 A组 第9题：（ ）
3、当时，在[0，2]上是减函数．
4、（1）
（2）
课件13张PPT。3.3.1函数的单调性与导数（二）结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间注意:1、如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数如果f′(x)<0, 则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.如果f′(x)>0, 小结：根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f′(x)>0,得函数递增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数递减区间.4.写出单调区间.【基础练习】BB例1、如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO【典例探究】 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象“平缓”.通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。函数单调性与导数的关系在区间(a,b)内f ’(x)>0(f ’ (x)<0)
函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）2. 函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）f ’(x)≥0 （f ’(x)≤0）在区间(a,b)内恒成立。法一：法二：恒成立问题转化为最值问题分离参数法【总结提升】导数在研究函数的单调性中的应用1、由函数在某一范围内导数的绝对值的大小,可以看出变化的快慢：绝对值较大函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.2、根据函数的单调性求参数的取值范围时，单调性问题在区间(a,b)内f ’(x)>0(f ’ (x)<0)
函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）f ’(x)≥0 （f ’(x)≤0）在区间(a,b)内恒成立。恒成立问题最值问题解：f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，∴a<0且△=36+12a≤0，∴a ≤-3CD分离参数法∵函数在（0，1]上单调递增 3.3.2函数的极值与导数
【学习目标】
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
【课前导学】
1．极值点与极值
如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则把点b叫做函数y＝f(x)的 ，f(b)叫做函数y＝f(x)的 ，极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为 ．
2．求函数f(x)极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么，f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么，f(x0)是极小值．
【预习自测】
1．如图是函数的图象,试找出函数
的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
2. 如果把函数图象改为导函数的图象?
3. 下列结论中正确的是（ ）。
A、导数为零的点一定是极值点。
B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么 f(x0)是极大值。
C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极大值。
Ｄ、极大值一定大于极小值。
【典例探究】
例１：求函数的极值
变式：已知函数在处取得极值。
（1）求函数的解析式 （2）求函数的单调区间
例２：设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)= a有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．
【总结提升】
【反馈检测】
函数的定义域为开区间,导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有（ ）个极小值点。
A.1 B.2 C.3 D. 4
2. 函数f(x)=x3-x2+7的极大值是( )
(A)7 (B)-7 (C)3 (D)-3
3. 方程x3-6x2+9x-4=0的实根个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
4.函数f(x)=x3-3x2+1在x=______处取得极小值.
5.函数在时有极值10，则a，b的值为（ ）
A、或 B、或
C、 D、 以上都不对
6.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
课件15张PPT。3.3.2 函数极值与导数 1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．会用导数求函数的极大值、极小值
(其中多项式函数一般不超过三次) 知识回顾:如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.用“导数法” 求单调区间的步骤:①求函数定义域②求③令④求单调区间探究 （3）在点 附近, 的导数的符号有
什么规律?
（1）函数 在点 的函数值与这些点
附近的函数值有什么关系?（2）函数 在点 的导数值是多少?(图一)问题：探究(图一)极大值f(b)点a为函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b为函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，
极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)思考：极大值一定大于极小值吗？
1.如图是函数 的图象,试找出函数
的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？ 2. 如果把函数图象改为导函数 的图象?答：1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)
的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。【预习自测】B例１：求函数 的极值 当 时, 有极大值，并且极大值为∴当 时, 有极小值，并且极小值为
解:∵ ∴
令 ，得 ，或
下面分两种情况讨论：
（1）当 ，即 时；
（2）当 ，即 ，或 时。
当 变化时， 的变化情况如下表：（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，
那么 是极小值归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，
那么 是极大值；解方程 ，当 时：(最好通过列表法)探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点? 若寻找可导函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可? f?(x)=3x2 当f?(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0) =0注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件变式：已知函数 在 处取得极值。（1）求函数 的解析式（2）求函数 的单调区间
解：（1）
∵ 在 取得极值,∴
即 解得
∴
（2） ∵ ， 由 得
∴ 的单调增区间为
由 得
的单调减区间为
【反馈检测】 5.函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ）
A、 或
B、 或
C、 D、 以上都不对 ，6. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 3.3.3函数的最值与导数
【学习目标】
1．能够区分极值与最值两个不同的概念．
2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
【课前导学】
1. 观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.
发现图中____________是极小值，_________是极大值，
在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ；
(2)将函数y＝f(x)的 与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【预习自测】
1．下列说法正确的是( )
(A)函数的极大值就是函数的最大值
(B)函数的极小值就是函数的最小值
(C)函数的最值一定是极值
(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.
2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则( )
(A)等于0 (B)大于0 (C)小于0 (D)以上都有可能
3.函数y=,在［－1,1］上的最小值为( )
(A)0 (B)－2 (C)－1 (D)
【典例探究】
例2 已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2c恒成立，求c的取值范围．
【总结提升】
【反馈检测】
1．函数y＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是 ( )．
A．－ B．－ C．－4 D．－
2．函数f(x)＝sin x＋cos x在x∈的最大、最小值分别是________．
3．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为 ( )． A．－37 B．－29 C．－5 D．－11
4．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
5. 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
课件15张PPT。3.3.3 函数的最值与导数【学习目标】1．能够区分极值与最值两个不同的概念．
2．会求闭区间上函数的最大值、最小值
(其中多项式函数一般不超过三次)．复习引入 ①如果f /(x0)=0，且在x0附近的左侧 f /（x）>0 ,右侧f/(x)<0 ,那么,f (x0)是极大值;
②如果f /(x0)=0，且在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那么,f (x0) 是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充
分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,
哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:课前导学 观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 导数的应用-----求函数最值. (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的
一个最小值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)所有极值连同端点函数值进行比较，
最大的为最大值，最小的为最小值极值和最值的区别与联系？极值反映的是函数在某一点附近的局部性质：
如果x0是函数y＝f(x)的极大(小)值点，
那么在点x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值；
最值反映的是函数在整个定义域内的性质：
如果x0是函数y＝f(x)的最大(小)值点，
那么f(x0)不小(大)于函数y＝f(x)在相应区间上
的所有函数值． 【典例探究】1、求出f(x)的极值；2、计算端点值；3、比较大小，确定最值。变式解：(1)∵f ′(x)＝6x2－12x.
令 f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝2，
∵ f (－2)＝－40＋a，f (2)＝－8＋a， f (0)＝a，
∴[f (x)]min ＝ f (－2)＝－40＋a ＝－ 37．
故，a＝3.
(2) 由（1）得[f(x)]max＝ f (0)＝a ＝3【例2】已知函数f (x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f (x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．【反馈检测】5. 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1 (x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：
∴对t∈(0,2)，当t＝1时，[g (t)] max＝1－m，
h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.※拓展提高我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？ 函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。有两个极值点时，函数有无最值情况不定。如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。
