新津成外2023-2024学年高二下3月月考数学
参考答案：
一，单选题
1．B 2．D 3．C 4．B 5．B 6．A
7．B【详解】由，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
即，
所以有，显然当时，，
因此中最小的一项是，
8．C【详解】由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是：
.故选：C
二，多选题
9．BD【详解】对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误；
对于B，，，，，…，，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确；
对于C，，，，…，，…中，故不是递增数列，故C错误；
对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列的，故D正确.
10．ACD【详解】依题意，，，AD正确；
，，B错误；
，，C正确.
11．BCD【详解】对于A，当时，
由外观数列的定义可得：，，，故A错；
对于B，由外观数列的定义可知，每次都是从左向右描述，
所以第一项的始终在最右边，即最后一个数字，故B正确；
对于C，取，则，此时既是等差数列又是等比数列，故C正确；
对于D，当时，由外观数列的定义可得：，，，.
设第一次出现数字4，则中必出现了4个连续的相同数字.
而的描述必须包含“个，个”，显然的描述不符合外观数列的定义.
所以当时，均不包含数字4，故D正确.
填空题 12．6 13．
14．390【详解】数列满足，
，在任意相邻两项与之间插入个3，
其中之间插入2个之间插入4个之间插入8个之间插入16个，
之间插入32个之间插入64个.又，
数列的前71项含有前6项和65个3，故.
四 解答题
15．(1)405 (2)5 (3)an＝
【详解】（1）易知，，故.（2）由.
（3）.所以.
16．(1)(2)最小值为,
【详解】（1）由知为等差数列，设的公差为，则，
成等比数列，所以，即，
解得，又，所以的通项公式为；
（2）由(1)得，
所以当时，取得最小值，最小值为
17．(1)(2)
【详解】（1）①②
①-②整理得 数列是正项数列，
当时， 数列是以2为首项，4为公差的等差数列，
；
（2）由题意知， ，
故.
18．(1)元 (2)能，理由见解析
【详解】（1）每月还款金额构成等差数列，设为，表示数列的前项和，
则，，故，
故总利息为：(元).
（2）设王先生每月还款为元，则，
即，解得，，
故贷款能够获批.
19．(1)不是等差数列，是等差数列
(2) (3)2
【详解】（1）因为，所以，
因为，，，故，，
显然，所以不是等差数列；
因为，则，，所以是首项为12，公差为6的等差数列.
（2）因为数列是以1为公差的等差数列，
所以，故，所以数列是以公比为的正项等比数列，，
所以，且对任意的，都存在，使得，即，所以，因为，所以，
①若，则，解得（舍），或，
即当时，对任意的，都存在，使得.
②若，则，对任意的，不存在，使得.综上所述，.
（3）因为为常数列，则是等差数列，
设的公差为，则，若，则，与题意不符；
若，所以当时，，与数列的各项均为正数矛盾，所以，
由等差数列前项和公式可得，所以，
因为，所以，因为，故，
所以则当时，不等式恒成立，另一方面，当时，令，，，
则，，则，
因为，，当时，，
即，不满足不等式恒成立，
综上，的最大值为2.
答案第1页，共2页新津成外2023-2024学年高二下学期3月月考测试题
数学
满分：150分 考试时间:120分钟 命题人：黄志平 审题人：黄立秋
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知等差数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知等比数列的前两项分别为1，－2，则该数列的第4项为（ ）
A．4 B．－4 C．8 D．－8
3．在数列中，已知，，且（），则（ ）
A．13 B．9 C．11 D．7
4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．110
6．“数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ）
A． B． C． D．
8．谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，错选或不选得0分，少选得部份分.
9．下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）．
A．1，，，，…，，…
B．，，，，…，，…
C．，，，…，，…
D．1，，，…，，…
10．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ）
A． B． C． D．
11．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，则（ ）
A．若，则从开始出现数字2； B．若，则的最后一个数字均为；
C．可能既是等差数列又是等比数列； D．若，则均不包含数字4.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12．在等差数列中，，则 ．
13．数列是等比数列，且前项和为，则实数 ．
14．习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.按新数列的各项依次派遣支教学生.记为派遣70批学生后支教学生的总数，则的值为 .
四、解答题：本大题共6个小题，共计70分.
15．（13）在等比数列中.
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求；
(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求；
(3)若a4＝2，a7＝8，求an.
16（15分）．已知数列满足，且成等比数列，
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.
17（15分）．已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，的前项和为，求
18（17分）．王先生今年初向银行申请个人住房贷款80万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)．
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还12000元，最后一个还贷月应还5000元，试计算王先生该笔贷款的总利息；
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3％，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为 17000元，试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素)．参考数据
19（17分）．随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
(1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？
(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值；
(3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值。
