3.131------3.1.2变化率问题及导数的概念
【学习目标】1、理解平均变化率及导数的概念；2、会求给定函数在某个区间上的变化率。
3、会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数。
重点、难点：导数的概念及简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的求法。
【课前导学】阅读《选修1-1》课本P72～76的内容后回答下列问题：
问题一：已知物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系：S（t）＝2t＋5t2，:则：
（1）物体从第1秒到第3秒这段时间内的平均速度= = ；
（2）物体从t1秒到t2秒这段时间内的平均速度= = 。
1、平均变化率：一般地，对于一个函数y＝f（x），我们将式子称为f（x）从x1到x2的平均变化率。令△x＝ ，△y＝ ，则平均变化率可表示为 。
思考：观察函数f（x）的图象平均变化率＝ 的几何意义是什么？
问题二：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝－4.9t2＋6.5t＋10。
（1）计算运动员在t1秒到t2秒这段时间里的平均速度= 。
（2）计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度为 ，思考：运动员在这段时间里是静止的吗？
（3）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
2、瞬时速度：物体在某一时刻的速度。
问题三：跳水运动员在t＝2秒时的瞬时速度是多少呢？先来观察一下2秒附近的情况。
时，在这段时间内
时，在这段时间内
当0.01时，13.051；
当0.01时，13.149；
当0.001时，13.095 1；
当0.001时，13.104 9；
当0.000 1时，13.099 51；
当0.000 1时，13.100 49；
当0.000 01时，13.099 951；
当0.000 01时，13.100 049；
当0.000 001时，13.099 995 1；
当0.000 001时，13.100 004 9；
。。。。。。
。。。。。。
当 0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。为了方便，我们用来表示。
3、导数定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作= = 。
【预习自测】
1、已知质点运动规律为，则时间在（3，3+）中相应的平均速度为 。
2、已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝2t＋5 t2，则物体第2秒的瞬时速度为
【典例探究】
例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑料等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度（单位：℃）为f（x）＝x2－5x＋8（0≤x≤8），计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
变式：计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率。
例2、已知函数f（x）＝x2－3x.
（1）求f（x）在x＝x0处的导数；（2）求f（x）在x＝1处的导数；（3）求f（x）在x＝3处的导数。
【总结与提升】
【反馈检测】
已知函数,则f(x)在下列区间[1 , 3]的平均变化率为 。
2、 .
3、设，若，则的值（ ）
A. 2 B . －2 C . 3 D. －3
4、已知y=x2+3x，求︱x=2.
课件16张PPT。3.1.1-3.1.2变化率问题与导数的概念微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。一、变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题 的快慢程度．变化率问题问题1 位移问题
问题一：已知物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系：S（t）＝2t＋5t2，:则：
（1）物体从第1秒到第3秒这段时间内的平均速度= = ；
（2）物体从t1秒到t2秒这段时间内的平均速度= = 。怎么理解平均速度定义:平均变化率: 一般地，对于一个函数y＝f（x），我们将式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.令△x = x2 – x1 , △y= f (x2) – f (x1) ,则理解：
1、式子中△x 、△ y的值可正、可负，但△x值不能为0， △ y的值可以为0
2 、若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3 、变式 思考?观察函数f(x)的图象
平均变化率
表示什么?直线AB的斜率即割线的斜率问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
（1）计算运动员在t1秒到t2秒这段时间里的平均速度= 。
（2）计算运动员在0≤t≤ 这段时间里的平均速度为 ，
思考：运动员在这段时间里是静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 又如何求
瞬时速度呢?
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?跳水运动员2s时的瞬时速度的多少呢？当△t = – 0.01时,当△t = 0.01时,当△t = – 0.001时,当△t =0.001时,当△t = –0.0001时,当△t =0.0001时,△t = – 0.00001,△t = 0.00001,△t = – 0.000001,△t =0.000001,…………从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度我们用
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”，就说运动员在t=2时的瞬时速度为-13.1
思想：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。导数的定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即预习自测
1、已知质点运动规律为 ，则时间在(3，3+ )中相应的平均速度为___________。
2、已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝2t＋5 t2，则物体第2秒的瞬时速度为__________
例题解: 在第3h和第5h时, 原油温度的瞬时变化率就是根据导数的定义,所以,变式：计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率。例2、已知函数f(x)＝x2－3x
（1）求f(x)在x＝x0处的导数;
（2）求f(x)在x＝1处的导数。
（3）求 f(x)在x＝3处的导数。
口诀：一差、二化、三极限反馈检测３.１.３导数的几何意义
【学习目标】
通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.
【课前导学】
1：曲线切线的定义
(1) 割线和切线的斜率。当点，沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋是什么？
当割线P无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P 处的切线 割线的斜率是： ，当点无限趋近于点P时，无限趋近于切线PT的斜率. 因此，函数在处的导数就是切线PT的斜率，即
(2). 导数的几何意义和切线的方程
函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的 . 也就是说，曲线在点的切线的斜率是 ，切线的方程为
2.导数的概念。
由函数 在 处导数的过程可以看到，当时， 是一个确定的数，那么当 变化时，便是 的一个函数，我们称它为的导函数，记作 或
即：
【预习自测】
1.设f′(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( )
(A)不存在 (B)与x轴平行或重合 (C)与x轴垂直 (D)与x轴斜交
2.函数f(x)=， 在x=1处的切线方程为_________.
3.设函数可导，则=（ ）
A、 B、 C、不存在 D、以上都不对
【典例探究】
例1 已知曲线 ；
(1)求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率；
(2)判断曲线在点P(1，1)处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程.
【总结提升】
【反馈检测】
1. 已知曲线上一点,则点处的切线斜率为 切线方程为
2. 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A、
B.
C.
D.
3.若曲线在点处
切线方程为，那么（ ）
A、 B、 C、 D、的符号不定
4．已知函数的图像在点处的切线方程是，则
5.已知曲线C：y=x3（提示：） .
(1)求曲线在x=1处的切线方程； *(2)求曲线过点P(1，1)的切线方程.
课件15张PPT。3.1.3导数的几何意义 【学习目标】通过导数的图形变换理解导数的几何意义
就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数
的概念并会运用概念求导数. 课前导学P相切相交再来一次PPn切线T当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.曲线在点P处切线的定义思考：这与我们以前的切线概念有什么区别？（1）一条直线与某曲线有且只有一个交点，则这条直线就是该曲线的切线。（2）一条直线与某曲线有且只有两个交点，则这条直线就是该曲线的割线。M△x△y割线的斜率与切线的斜率是什么呢？ 即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，导数的几何意义【预习自测】 例1、已知曲线y=x2；
(1)求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率;
(2)判断曲线在点P(1，1)处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程.解：(1)求曲线在点(x0,f(x0))处切线方程的步骤：
①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
②由直线方程的点斜式得切线方程y－f(x0)=f′(x0)(x－x0).(2)在曲线y=x2上点P的附近取一点Q，
设点Q的横坐标为1+Δx，
则函数的增量为Δy=(1+Δx)2－1=2Δx+(Δx)2，
∴割线PQ的斜率为 ，
∴k=f′(1)= (2+Δx)=2,
∴曲线y=x2在点P处有切线，且切线的斜率为2，
∴所求切线方程是y－1=2(x－1)，即y=2x－1.【反馈检测】解：（1)将x=1代入曲线的方程得，y=1，则切点为(1，1).则k=1.曲线C在x=1处的切线方程为：y－1=x－1，即y=x.(2)设过点(1，1)的切线与曲线C相切于点(x0, )，则切线斜率k=f′(x0)=∴切线方程为y－ =x02 (x－x0),
即y=x02·x－ x03+ .
∵点P(1，1)在切线上，∴1=x02－ x03+ ,
2x03－3x02+1=0,(x0－1)2(2x0+1)=0，
解得x0=1或x0=－ ，
所求的切点分别为(1,1)或(- , )
故所求的切线方程为：y=x或x-4y+3=0.
